f(c), nãúu f(c) = 0 thç c chênh l nghiãûm âụng α. Nãúu f(c) ≠ 0, lục âọ ta so sạnh
dáúu ca f(c) våïi dáúu ca f(a) âãø chn khong phán ly nghiãûm måïi:
Nãúu f(c) trại dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [a,c].
Nãúu f(c) cng dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [c,b].
Lục ny ta cọ khong phán ly nghiãûm måïi chè nh bàòng nỉía khong phán ly
nghiãûm ban âáưu, v k hiãûu l [a
1
,b
1
]. Ta lải tiãúp tủc nhỉ váûy cho khong phán ly
nghiãûm måïi [a
1
,b
1
] cho âãún láưn thỉï n ta âỉåüc khong phán ly [a
n
,b
n
] nọ nàòm
trong [a,b] v chè di bàòng 1/2
n
ca [a,b]. Theo âënh nghéa ta cọ:
a
n
≤ α ≤ b
n
; b
n
- a
n
=

−
=−≤−
α
(2-11)
Do âọ våïi n â låïn a
n
hay b
n
âãưu â gáưn våïi α. Khi n→∞ thç a
n
→α, b
n
→α nãn ta
nọi phỉång phạp chia âäi häüi tủ.
Chụ : Trong quạ trçnh chia âäi liãn tiãúp, cọ thãø gàûp âiãøm chia m tải âọ f bàòng
khäng. Khi âọ ta cọ âiãøm chia chênh l nghiãûm âụng ca f(x) .
2.2.2 Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh (2-9), ta â chỉïng t nọ cọ khong phán ly nghiãûm [1, 2]
v cọ f(1) < 0, f(2) > 0. Ta chia âäi khong [1,2] âiãøm chia l 3/2.

01
2
3
2
3
2
3
2
>−−
⎟

2.2.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp chia õọi
1) Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2) n õởnh sai sọỳ cho pheùp .
3) Xaùc õởnh khoaớng phỏn ly nghióỷm [a, b].
4) Lỏỷp chổồng trỗnh tờnh theo sồ õọử khọỳi sau õỏy:

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh c = (a+b)/2; Tờnh f(c)
f(c).f(a) < 0

o
no âọ ∈[a, b] lm xáúp xè âáưu räưi tênh dáưn dy säú x
n

theo quy tàõc:

()
2,1,
1
=
=
−
nxx
nn
ϕ
(2-13)
x
o
cho trỉåïc ∈ [a, b] (2-14)
Quạ trçnh ny cọ tênh làûp âi làûp lải nãn phỉång phạp ny cọ tãn l phỉång phạp
làûp, hm
ϕ
gi l hm làûp.
2.3.2. Sỉû häüi tủ ca phỉång phạp làûp
Âënh nghéa:Nãúu dy x
n
→ α khi n → ∞ thç ta nọi phỉång phạp làûp (2-13), (2-14)
häüi tủ.
Khi phỉång phạp làûp häüi tủ thç x
n

n-1
) (2-17)
Ta s ạp dủng cäng thỉïc Lagrangiå vo vãú phi ca âàóng thỉïc trãn.
Cäng thỉïc Lagrangiå âỉåüc phạt biãøu: Cho hm säú F(x) liãn tủc trãn [a,b], cọ âảo
hm trong (a,b) thç täưn tải säú c ∈ (a,b), tỉïc l c = a + θ(b-a), 0< θ <1 sao cho:
F(b) - F(a) = F’(c)(b-a) (2-18)

15
Aùp duỷng (2-18) ta coù :
- x
n
= (c) ( - x
n-1
) (2-19)
vồùi c = a + ( - x
n-1
) (a,b).
Theo giaớ thióỳt (2-15) ta coù |(c)| q <1. Do vỏỷy (2-19) cho
| - x
n
| = |(c)| | - x
n-1
| q | - x
n-1
|
Nón coù | - x
n
| q | - x
n-1
|

Vỗ vaỡ x
0
õaợ xaùc õởnh, q
n
0 khi n do 0 < q < 1, nón vóỳ phaới 0 vaỡ ta coù
| - x
n
| 0 khi n
où chờnh laỡ õióửu phaới chổùng minh.
2.3.3 Chuù thờch
Khi haỡm õaợ thoớa maợn giaớ thióỳt 3) cuớa õởnh lyù 4 thỗ sổỷ thoớa maợn giaớ thióỳt 2) phuỷ
thuọỹc vaỡo vióỷc choỹn x
o
vaỡ noù thoớa maợn trong õióửu kióỷn sau: Giaớ sổớ |(x)| q < 1
Nóỳu (x) > 0 ta coù thóứ choỹn x
o
[a, b] mọỹt caùch bỏỳt kyỡ, coỡn nóỳu (x) < 0 thỗ
phaới choỹn xo theo quy từc:

b
ba
khibx
ba
akhiax
<<
+
=
+
<<=


Nhổng cọng thổùc naỡy thổồỡng cho sai sọỳ quaù lồùn so vồùi thổỷc tóỳ. Ta xeùt mọỹt cọng
thổùc õaùnh giaù sai sọỳ khaùc nhổ sau.
ởnh lyù 5 : Xeùt phổồng trỗnh
F(x) = 0 (2-23)

16
Cọ nghiãûm X ∈ [c,d] v
X
l mäüt säú ∈[c,d] âỉåüc xem l giạ trë gáưn âụng ca X.
Lục âọ ta cọ

m
XF
XX
)(
≤−
(2-24)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
|F’(x)| ≥ m > 0, c< x < d (2-25)
Chỉïng minh : Theo gi thiãút ta cọ F(X) = 0 nãn cọ F(
X
) = F(X)
p dủng cäng thỉïc Lagrangiå (2-18) vo vãú phi âỉåüc F(
X
) = F’(C) (
X
-X)
Trong âọ C = X + θ(
X
-X) ∈ (c,d). Theo gi thiãút (2-25) ta cọ

n
) - x
n
= ϕ(x
n
) - ϕ(x
n-1
)
= ϕ’(c)(x
n
- x
n-1
)
Trong âọ c = x
n-1
+ θ(x
n
- x
n-1
) ∈ (a,b)
Do âọ :
|ϕ(x
n
) - x
n
| = |ϕ’(c)| |(x
n
- x
n-1
)| ≤ q|x

nghiãûm α âọ. Mún thãú trỉåïc hãút ta tçm hm làûp ϕ(x) thêch håüp âãø phỉång phạp
làûp häüi tủ, tỉïc l ϕ(x) phi tha mn nhỉỵng gi thiãút ca âënh l 4.
Phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút thnh : x = x
3
-1 (2-28)
V âàût ϕ(x) = x
3
-1 nhỉng lục ny ϕ’(x) = 3x
2
≥ 3 tai mi x ∈ [1,2].

17
Nãúu hm làûp chn nhỉ váûy phỉång phạp làûp s khäng cọ hy vng häüi tủ. Ta viãút
phỉång trçnh dỉåïi dảng khạc nhỉ sau :
x
3
= x + 1
x = (x + 1)
1/3
Ta âàût ϕ(x) = (x + 1)
1/3
(2-29)
Lục âọ ϕ’(x) = (1/3)(x + 1)
-2/3
=
3
2
)1(
1
3

| ≤ 0,027
x
3
= 1,322353819; |α - x
3
| ≤ 0,005
x
4
= 1,324268745; |α - x
4
| ≤ 0,00096
x
5
= 1,324632625; |α - x
5
| ≤ 0,000182
Kãút qu ny cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi. Ta quy trn nọ âãún 4 chỉỵ säú l tháûp
phán bàòng cạch viãút: α - 1,3246 = α - x
5
+ x
5
- 1,3246
|α - 1,3246| ≤ |α - x
5
| + |x
5
- 1,3246|
|α - 1,3246| ≤ 0,000182 + 0,00003265
Do âọ : |α - 1,3246| ≤ 0,00025
Váûy ta cọ kãút qu l α = 1,3246 ± 0,00025.

n
−
≤−
1
trong âọ q l säú dỉång nh hån 1
tha mn |ϕ’(x)| ≤ q<1 våïi mi x ∈ (a,b).

18
2.4. PHỈÅNG PHẠP TIÃÚP TUÚN
2.4.1. Mä t phỉång phạp
Mủc tiãu ca phỉång phạp tiãúp tuún l tçm cạch thay phỉång trçnh (2-1),
phi tuún âäúi våïi x, bàòng mäüt phỉång trçnh gáưn âụng tuún tênh âäúi våïi x. Chụng
ta dng khai triãøn Taylo âãø lm âiãưu âọ.
Cäng thỉïc Taylo : Cho hm säú F(x) xạc âënh v cọ âảo hm âãún cáúp n+1
tải x
0
v lán cáûn x
0
. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n ca F(x) tải x
0
l:

)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2

+
−
++
−
+++=
(2-30)
c = x
0
+ θ(x - x
0
); 0 < θ < 1 (2-31)
Cäng thỉïc ny cọ giạ trë tải cạc giạ trë x tải lán cáûn
x
0
, c l mäüt säú trung gian nàòm
giỉỵa
x
0
v x.
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly trong [a,b]. Gi
sỉí hm f cọ âảo hm f’(x) ≠ 0 tải x ∈ [a,b] âảo hm cáúp hai f’’(x) tải x ∈ (a,b). Ta
chn x
0
∈ [a,b] räưi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút ca f tải x
0
:

),()(],,[
)('')(
2

) = 0 (2-32)
Tỉïc l ta â thay phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh báûc nháút (2-32). Âọ l
viãûc thay thãú gáưn âụng. Gi x
1
l nghiãûm ca (2-32) ta cọ ngay :

)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx −=
(2-33)
Tỉì x
0
ta tênh mäüt cạch tỉång tỉû ra x
1
, vv v mäüt cạch täøng quat, khi â biãút x
n

ta tênh x
n+1
theo cäng thỉïc

)('
)(
1
n

Chuù yù 2 : Vóử mỷt hỗnh hoỹc thỗ f(x
0
) laỡ hóỷ sọỳ goùc cuớa tióỳp tuyóỳn cuớa õọử thở haỡm sọỳ
y = f(x) taỷi x
0
. Ta xem trón hỗnh 2-6.
y
x
b
P

M
B
a

A

oỹan õọử thở AB cừt truỷc hoaỡnh taỷi M
Coù hoaỡnh õọỹ chờnh laỡ nghióỷm õuùng .
óứ tờnh gỏửn õuùng ta thay mọỹt caùch
gỏửn õuùng cung AB bồới tióỳp tuyóỳn taỷi B,
B coù hoaỡnh õọỹ x
0
, tióỳp tuyóỳn naỡy cừt
truỷc hoaỡnh taỷi P, P coù hoaỡnh õọỹ x
1
vaỡ ta
xem x
1
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa .

khi n
. ióửu naỡy õổồỹc khúng õởnh ồớ õởnh lyù sau.
ởnh lyù 6: Giaớ sổớ [a,b] laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1), f coù
õaỷo haỡm f, f vaỡ f lión tuỷc trón [a,b], f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu trong (a,b). Xỏỳp xố
õỏửu x
0
choỹn laỡ a hay b sao cho f(x
0
) cuỡng dỏỳu vồùi f. Khi õoù x
n
tờnh bồới (2-34) (2-
35) họỹi tuỷ vóử khi n , cuỷ thóứ hồn ta coù x
n
õồn õióỷu tng tồùi nóỳu ff<0, xn
õồn õióỷu giaớm tồùi nóỳu ff >0. Khi dổỡng laỷi ồớ n xaùc õởnh ta õổồỹc x
n
vaỡ coi x
n

gỏửn õuùng vồùi .
Vóử sai sọỳ aùp duỷng õởnh lyù 5 ta coù :

m
xf
x
n
n
)(|
||


A
a
B x
1
b
y
d)
y
x
A

a

Bx
1
b
c)
x
2
x
2
x
2
a)

1
n
nn
x
a
xx +=
+
(2-40)
Vồùi a = 2 ta coù f(2) =2
2
-2 > 0 cuỡng dỏỳu vồùi f nón ta choỹn x
0
= 2. Aùp duỷng cọng
thổùc (2-40) coù :
x
1
= 1,5
x
2
= 1,417
x
3
= 1,41421
Ta bióỳt
2 =1,414213562 nón ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn họỹi tuỷ rỏỳt nhanh.
Ta laỷi giaới phổồng trỗnh (2-9), f(x) = x
3
- x -1 = 0 ta õaợ tỗm õổồỹc khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa noù laỡ [1,2]. Trong khoaớng õoù
f(x) = 3x

n
nn
nn

Ta coù baớng kóỳt quaớ tờnh toaùn nhổ sau:
n x
n
Sai sọỳ
0 2
1 1,545454545
2 1,359614916
3 1,325801345
4 1,324719049 0,0000024
5 1,324717950 2.10
-10

2.4.4. Chuù yù
Trong thổỷc tóỳ ta dổỡng quaù trỗnh tờnh khi |xn - xn-1| < sai sọỳ cho pheùp
2.4.5. Thuỏỷt toaùn giaới bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0
2. n õởnh sai sọỳ cho pheùp
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b] trong õoù f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu.
4. Choỹn x
0

5.


e<

S
Tờnh e = |
x
1
-
x
0
|
Vồùi sai sọỳ
m
xf
x
)(
1
1


trong õoù 0 < m < |f(x)|, x(a,b).

22
2.5. PHỈÅNG PHẠP DÁY CUNG
2.5.1. Mä t phỉång phạp
Trong phỉång phạp tiãúp tuún ta â thay cung âäư thë AB ca hm y = f(x) båíi
tiãúp tuún v tải A hay B. Báy giåì ta thay cung AB båíi dáy cung AB räưi láúy
honh âäü x
1
ca giao âiãøm P ca dáy cung våïi trủc honh lm giạ trë gáưn âụng
ca nghiãûm α. (H. 2-8).

ax
afbf
af
−
−
=
−
−
1
)()(
)(

Tỉì âọ suy ra:

)()(
)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−= (2-41)
Hçnh 2-8
Hay:

)()(
)()(
1
bfaf

b = 2 f(b) = f(2) = 2
3
- 2 - 1 = 5 > 0
Theo (2-42) cọ :

167,1
)1(5
)1.(25.1
1
=
−−
−
−
=x

Tiãúp tủc ta cọ f(1,167) = -0,58 < 0; khong phán ly nghiãûm måïi l [1,167;2]. Ta
tçm âỉåüc

253,1
)58,0(5
)58,0.(25.167,1
2
=
−−
−
−
=x

23
Sai sọỳ tờnh theo (2-24) laỡ 0,15. Nhổ vỏỷy phổồng phaùp dỏy cung họỹi tuỷ chỏỷm hồn

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh
)()(
)()(
1
afbf
abfbaf
x


=
S
f(
x
1
).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S


Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <