1

BIÃN SOAÛN TRÁÖN MINH CHÊNH PHÆÅNG PHAÏP TÊNH
DUÌNG CHO SINH VIÃN NGAÌNH CÅ KHÊ
ÂAÌ NÀÔNG 2004


l säú dỉång bẹ
nháút cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1).
Nãúu säú xáúp xè a ca A cọ sai säú giåïi hản l ∆
a
thç ta qui ỉåïc viãút :
A = a ± ∆
a
(1-2)
Våïi nghéa ca (1-1) tỉïc l :
a - ∆
a
≤ A ≤ a + ∆
a
(1-3)
1.1.2 Sai säú tỉång âäúi
T säú :
a
a
a
∆
=
δ
(1-4)
gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a
Ta suy ra : ∆
a
= |a| δ
a
(1-5)
Cạc cäng thỉïc (1-4) v (1-5) cho ta liãn hãû giỉỵa sai säú tỉång âäúi v sai säú tuût

bàòng nhau, m phn nh qua sai säú tỉång âäúi :

025,0
2
05,0
005,0
10
05,0
==<==
ba
δδ

1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ
1.2.1. Chỉỵ säú cọ nghéa
Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø
cạc chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc 0 âáưu tiãn tênh tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa.
Chàóng hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa.
1.2.2. Chỉỵ säú âạng tin
Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng :
∑
±=
s
s
a 10
α
(1.7)
trong âọ α
s
l nhỉỵng säú ngun tỉì 0 âãún 9, chàóng hản säú 76,809 âỉåüc viãút
76,809 = 7.10

≤ 0,5.10
s
thç nọi α
s
l chỉỵ säú âạng tin, nãúu ∆
a
≥ 0,5.10
s
thç nọi
α
s
l chỉỵ säú âạng nghi.
Thê dủ : Cho a = 56,78932 våïi ∆
a
= 0,0042 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7,8 l âạng
tin cn cạc chỉỵ säú 9,3,2 l âạng nghi. Cn nãúu ∆
a
= 0,0075 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7 l
âạng tin cn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi.
R rng nãúu α
s
l âạng tin thç cạc chỉỵ säú bãn trại nọ cng l âạng tin v
nãúu α
s
l âạng nghi thç cạc chỉỵ säú bãn phi nọ cng l âạng nghi.
1.2.3. Cạch viãút säú xáúp xè
Cho säú a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l ∆
a
. Cọ hai
cạch viãút säú xáúp xè a; cạch thỉï nháút l viãút km theo sai säú nhỉ åí cäng thỉïc (1-2)

a’
, tỉïc l :
| a’ - a | ≤ θ
a
(1 - 8)
Hy tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản ∆
a’
ca a’. Ta cọ:
a’ - A = a’ - a + a - A
Do váûy :
| a’ - a | ≤ | a’ - a | + | a - A | ≤ θ
a’
+ ∆
a
Tỉì âọ cọ thãø láúy:
∆
a’
= ∆
a
+ θ
a’
(1 - 9)
R rng ∆
a’
> ∆
a
tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản.
1.3.3 nh hỉåíng ca sai säú quy trn
Xẹt mäüt thê dủ sau âáy:
p dủng cäng thỉïc nhë thỉïc Niuton ta cọ cäng thỉïc âụng :


1.4 CẠC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ
1.4.1 Måí âáưu
Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y :
u = f(x,y) (1-11)
 biãút sai säú ca x v y, hy tênh sai säú ca u.
ÅÍ âáy lỉu ∆
x
, ∆
y
,∆
u
l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai
säú tuût âäúi ca x, y, u. Theo âënh nghéa (1-1) ta ln cọ:
|∆
x
| ≤ ∆
x
; |∆
y
| ≤ ∆
y
(1-12)
Ta phi tçm ∆
u
âãø cọ |∆
u
| ≤ ∆
u
1.4.2 Sai säú ca täøng u = x + y

u
| ≤ ∆
u
. Váûy cọ quy tàõc sau:
Sai säú tuût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàòng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản
ca cạc säú hảng.
Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x v y cng dáúu. Khi âọ

|||| yxu
yx
u
u
−
∆
+
∆
=
∆
=
δ

Cho nãn nãúu |x - y| ráút bẹ thç sai säú tỉång âäúi giåïi hản ráút låïn. Do váûy trong quạ
trçnh tênh toạn ta phi tçm cạch trạnh phi trỉì cạc säú gáưn bàòng nhau.
1.4.3 Sai säú ca têch u = xy
Ta cọ ∆
u
≈ du = ydx + xdy ≈ y∆
x
+x∆
y

∆
=
∆+∆
=
∆
=
δ5
Tỉïc l cọ
yxxy
δ
δ
+=
∆
(1-14)
Váûy ta cọ quy tàõc :
Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi
hản ca cạc thỉìa säú ca têch. Âàûc biãût cọ:
yx
nn
δ
δ
= våïi n ngun dỉång. (1-15)
1.4.4 Sai säú ca mäüt thỉång u = x/y, y ≠ 0;
Tỉång tỉû nhỉ trỉåìng håüp têch ta cọ quy tàõc:
Sai säú tỉång âäúi ca mäüt thỉång bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi ca cạc säú
hảng:


u
i
x
f
1
|| (1-17)
V tỉì âọ ta suy ra δ
u
theo âënh nghéa (1.4).
Thê dủ : Tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca thãø
têch hçnh cáưu:

3
6
1
dV
π
=
nãúu cho âỉåìng kênh d = 3,7 ± 0,05 cm v π = 3,14.
Gii : Xem π v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ :

δ
V
=
δ
π

+ 3
δ
d

bi toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàòng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc
nhåì mạy tênh âiãûn tỉí. Phỉång phạp thay thãú bi toạn nhỉ váûy âỉåüc gi l phỉång
phạp gáưn âụng. Sai säú do thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp. Khi

6
gii cạc bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn cạc phẹp tênh, trong quạ trçnh tênh
toạn áúy ta ln phi quy trn cạc kãút qu trung gian. Sai säú tảo ra båïi viãûc quy
trn gi l sai säú tênh toạn. Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca
hai loải sai säú phỉång phạp v sai säú tênh toạn.
1.5.2. Thê dủ
a/ Hy tênh täøng:

.
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
333333
−+−+−=A

Gii : A l täøng ca 6 phán säú. Ta cọ thãø tênh trỉûc tiãúp A m khäng cáưn phi thay
nọ bàòng mäüt täøng âån gin hån. Vç váûy bi toạn khäng cọ sai säú phỉång phạp.

6
1
0008,0
125
1
5
1
10.4016,0
64
1
4
1
10.1037,0
27
1
3
1
0125,0
8
1
2
1
−
−
−
===
===
===
===
===

Hay |A - a| ≤
|)005,0
6
1
()008,0
5
1
()016,0
4
1
()037,0
3
1
()125,0
2
1
()1
1
1
(|
333333
−−−+−−−+−−−
≤
θ
1
+
θ
2
+
θ

333
+−+−+−=
−
n
B
n

Våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 5.10
-3
.

7
Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ. Do âọ viãûc tênh B l håüp l.
Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khäng thãø tênh hãút âỉåüc. Vç
váûy âãø tênh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè tênh B
bàòng täøng ca n säú hảng âáưu:

3
1
333
1
)1(
3
1
2
1
1
1
n
B

=−
nnn
BB
n

Nãúu ta chn n = 6 thç tháúy :

3
3
10.3
343
1
7
1
|| <=<−
n
BB

Chụ ràòng B
6
= A ta â tênh åí thê dủ trãn (xem (1-18)).
B
6
= A = 0,899 ± 9.10
-4
Váûy ta cọ:
B - 0,899 = B - B
6
+ A - 0,899
|B - 0,899| ≤ |B - B

9
phaới õoỡi hoới quaù trỗnh tờnh ọứn õởnh mồùi hy voỹng vồùi mọỹt sọỳ hổợu haỷn bổồùc coù thóứ
õaỷt õổồỹc mổùc õọỹ chờnh xaùc mong muọỳn.

BAèI TP
1) Khi õo mọỹt goùc ta õổồỹc caùc giaù trở sau :
a = 21
o
373; b = 1
o
10
Haợy tờnh sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa caùc sọỳ xỏỳp xố õoù bióỳt rũng sai sọỳ tuyóỷt õọỳi
trong caùc pheùp õo laỡ 1
o
.
2) Cho a = 10,00 0,05, b = 0,0356 0.0002, c = 15300 100,
d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa S
1
= a + b + c + d; S
2
= a+ 5c - d.
S3 = c
3.
3) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa noù :
* a = 1,8921 a = 0,001
* a = 22,351 a = 0,1
4) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa noù :
* a = 0,3941 a = 0,0025
* a = 38,2543 a = 0,0027
5) Haợy quy troỡn caùc sọỳ õuùng dổồùi õỏy vồùi ba chổợ sọỳ coù nghộa õaùng tin rọửi xaùc

mäüt nghiãûm ca (2-1).
Trỉåïc khi v âäư thë ta cng cọ thãø thay thãú phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh
tỉång âỉång g(x) = h(x) (2-5) räưi
v âäư thë ca hai hm säú (hçnh 2-2)
x
y
f
g
M
α
y = g(x)
y = h(x) (2-6)
Gi sỉí hai âäư thë áúy càõt nhau tải M
Cọ honh âäü x = α thç ta cọ:
g(α) = h(α) (2-7)
Váûy honh âäü α ca giao âiãøm M
ca hai âäư thë (2-6) chênh l mäüt nghiãûm
ca (2-5) tỉïc l ca (2-1).
H
çnh 2-2

2.1.3. Sỉû täưn tải nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1)
Trỉåïc khi tçm cạch tênh gáưn âụng nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1) ta
phi xẹt xem phỉång trçnh cọ nghiãûm hay khäng. Cọ nhiãưu cạch âãø biãút nghiãûm

10
coù tọửn taỷi hay khọng, chúng haỷn nhổ veợ õọử thở, khaớo saùt haỡm Ta cuợng coù thóứ sổớ
duỷng õởnh lyù sau õỏy:
ởnh lyù 1: Nóỳu coù hai sọỳ thổỷc a vaỡ b (a<b) sao cho f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu tổùc
laỡ : f(a).f(b) < 0 (2-8); õọửng thồỡi f(x) lión tuỷc trón [a,b] thỗ ồớ trong khoaớng


2-1-4. Khoaớng phỏn ly nghióỷ
m (Khoaớng taùch nghióỷm)

ởnh nghộa: Khoaớng [a,b] naỡo õoù goỹi laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh (2-1) nóỳu noù chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa phổồng trỗnh õoù.
óứ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm ta coù thóứ duỡng caùc õởnh lyù sau.

ởnh lyù 2: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm sọỳ f(x) lión tuỷc vaỡ õồn
õióỷu, õọửng thồỡi f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu, tổùc laỡ coù (2-8) thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1). ióửu naỡy coù thóứ minh hoaỷ trón õọử thở (H. 2-4).
ọử thở cuớa haỡm sọỳ y = f(x) cừt truỷc hoaỡnh taỷi mọỹt vaỡ chố mọỹt õióứm ồớ trong [a,b].
Vỏỷy [a,b] chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Nóỳu f(x) coù õaỷo haỡm thỗ õióửu kióỷn õồn õióỷu coù thóứ thay bũng õióửu kióỷn
khọng õọứi dỏỳu cuớa õaỷo haỡm vỗ õaỷo haỡm khọng õọứi dỏỳu thỗ haỡm sọỳ õồn õióỷu.

ởnh lyù 3: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm f(x) lión tuỷc, õaỷo haỡm
f(x) khọng õọứi dỏỳu vaỡ f(a), f(b) traùi dỏỳu thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly nghióỷm
cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Muọỳn tỗm caùc khoaớng phỏn ly nghióỷm ngổồỡi ta thổồỡng khaớo saùt sổỷ bióỳn
thión cuớa haỡm sọỳ rọửi aùp duỷng õởnh lyù 3.

11
2-1-5. Thê dủ
Cho phỉång trçnh:
f(x) = x
3
- x - 1 = 0 (2-9)
Hy chỉïng t phỉång trçnh trãn cọ nghiãûm thỉûc v tçm khong phán ly nghiãûm.
Gii: Trỉåïc hãút ta xẹt sỉû biãún thiãn ca hm säú f(x), nọ xạc âënh v liãn

-2 - 1 > 0
Váûy khong [1,2] chỉïa nghiãûm thỉûc duy nháút ca phỉång trçnh (2-9).
Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-9) cọ mäüt nghiãûm thỉûc duy nháút α nàòm trong khong
phán ly nghiãûm [1,2].

y
x
α
+1/3
½
-1/3
½ 2-2 PHỈÅNG PHẠP CHIA ÂÄI
2-2-1. Näüi dung phỉång phạp
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly åí trong khong
[a,b].Ta tçm cạch thu nh dáưn khong phán ly nghiãûm bàòng cạch chia âäi liãn
tiãúp cạc khong phán ly nghiãûm â tçm ra. Trỉåïc hãút ta chia âäi [a,b] âiãøm chia
l c = (a+b)/2. R rng khong phán ly nghiãûm måïi s l [a,c] hay [c,b]. Ta tênh

12