1

BIÃN SOAÛN TRÁÖN MINH CHÊNH PHÆÅNG PHAÏP TÊNH
DUÌNG CHO SINH VIÃN NGAÌNH CÅ KHÊ
ÂAÌ NÀÔNG 2004
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

a
l säú dỉång bẹ
nháút cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1).
Nãúu säú xáúp xè a ca A cọ sai säú giåïi hản l ∆
a
thç ta qui ỉåïc viãút :
A = a ± ∆
a
(1-2)
Våïi nghéa ca (1-1) tỉïc l :
a - ∆
a
≤ A ≤ a + ∆
a
(1-3)
1.1.2 Sai säú tỉång âäúi
T säú :
a
a
a
∆
=
δ
(1-4)
gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a
Ta suy ra : ∆
a
= |a| δ
a
(1-5)

= 0,05m. R rng phẹp âo A
cháút lỉåüng hån phẹp âo B. Âiãưu âọ khäng phn nh qua sai säú tuût âäúi vç chụng
bàòng nhau, m phn nh qua sai säú tỉång âäúi :

025,0
2
05,0
005,0
10
05,0
==<==
ba
δδ

1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ
1.2.1. Chỉỵ säú cọ nghéa
Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø
cạc chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc 0 âáưu tiãn tênh tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa.
Chàóng hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa.
1.2.2. Chỉỵ säú âạng tin
Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng :
∑
±=
s
s
a 10
α
(1.7)
trong âọ α
s

. Nãúu ∆
a
≤ 0,5.10
s
thç nọi α
s
l chỉỵ säú âạng tin, nãúu ∆
a
≥ 0,5.10
s
thç nọi
α
s
l chỉỵ säú âạng nghi.
Thê dủ : Cho a = 56,78932 våïi ∆
a
= 0,0042 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7,8 l âạng
tin cn cạc chỉỵ säú 9,3,2 l âạng nghi. Cn nãúu ∆
a
= 0,0075 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7 l
âạng tin cn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi.
R rng nãúu α
s
l âạng tin thç cạc chỉỵ säú bãn trại nọ cng l âạng tin v
nãúu α
s
l âạng nghi thç cạc chỉỵ säú bãn phi nọ cng l âạng nghi.
1.2.3. Cạch viãút säú xáúp xè
Cho säú a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l ∆
a

a
. Ta s quy
trn a thnh a’ våïi sai säú quy trn tuût âäúi l θ
a’
, tỉïc l :
| a’ - a | ≤ θ
a
(1 - 8)
Hy tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản ∆
a’
ca a’. Ta cọ:
a’ - A = a’ - a + a - A
Do váûy :
| a’ - a | ≤ | a’ - a | + | a - A | ≤ θ
a’
+ ∆
a
Tỉì âọ cọ thãø láúy:
∆
a’
= ∆
a
+ θ
a’
(1 - 9)
R rng ∆
a’
> ∆
a
tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản.

10,02
0,508
0,00862
0,0001472

1.4 CẠC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ
1.4.1 Måí âáưu
Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y :
u = f(x,y) (1-11)
 biãút sai säú ca x v y, hy tênh sai säú ca u.
ÅÍ âáy lỉu ∆
x
, ∆
y
,∆
u
l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai
säú tuût âäúi ca x, y, u. Theo âënh nghéa (1-1) ta ln cọ:
|∆
x
| ≤ ∆
x
; |∆
y
| ≤ ∆
y
(1-12)
Ta phi tçm ∆
u
âãø cọ |∆

+ ∆
y
(1-13)
Âãø cọ |∆
u
| ≤ ∆
u
. Váûy cọ quy tàõc sau:
Sai säú tuût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàòng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản
ca cạc säú hảng.
Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x v y cng dáúu. Khi âọ

|||| yxu
yx
u
u
−
∆
+
∆
=
∆
=
δ

Cho nãn nãúu |x - y| ráút bẹ thç sai säú tỉång âäúi giåïi hản ráút låïn. Do váûy trong quạ
trçnh tênh toạn ta phi tçm cạch trạnh phi trỉì cạc säú gáưn bàòng nhau.
1.4.3 Sai säú ca têch u = xy
Ta cọ ∆
u

u
u
∆
+
∆
=
∆+∆
=
∆
=
δ5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Tỉïc l cọ
yxxy
δ
δ
+=
∆
(1-14)
Váûy ta cọ quy tàõc :
Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi
hản ca cạc thỉìa säú ca têch. Âàûc biãût cọ:
yx
nn
δ
δ
= våïi n ngun dỉång. (1-15)

=∆
n
i
x
i
u
i
x
f
1
|| (1-17)
V tỉì âọ ta suy ra δ
u
theo âënh nghéa (1.4).
Thê dủ : Tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca thãø
têch hçnh cáưu:

3
6
1
dV
π
=
nãúu cho âỉåìng kênh d = 3,7 ± 0,05 cm v π = 3,14.
Gii : Xem π v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ :

δ
V
=
δ

3

1.5 - SAI SÄÚ TÊNH TOẠN V SAI SÄÚ PHỈÅNG PHẠP
1.5.1. Måí âáưu
Khi gii gáưn âụng mäüt bi toạn phỉïc tảp ta phi thay bi toạn â cho bàòng mäüt
bi toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàòng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc
nhåì mạy tênh âiãûn tỉí. Phỉång phạp thay thãú bi toạn nhỉ váûy âỉåüc gi l phỉång
phạp gáưn âụng. Sai säú do thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp. Khi

6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
gii cạc bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn cạc phẹp tênh, trong quạ trçnh tênh
toạn áúy ta ln phi quy trn cạc kãút qu trung gian. Sai säú tảo ra båïi viãûc quy
trn gi l sai säú tênh toạn. Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca
hai loải sai säú phỉång phạp v sai säú tênh toạn.
1.5.2. Thê dủ
a/ Hy tênh täøng:

.
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1

3
2
3
10.4125,0
216
1
6
1
0008,0
125
1
5
1
10.4016,0
64
1
4
1
10.1037,0
27
1
3
1
0125,0
8
1
2
1
−
−

1
1
(|
333333
−−−+−−−+−−−

Hay |A - a| ≤
|)005,0
6
1
()008,0
5
1
()016,0
4
1
()037,0
3
1
()125,0
2
1
()1
1
1
(|
333333
−−−+−−−+−−−
≤
θ

2
1
1
1
3
1
333
+−+−+−=
−
n
B
n

Våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 5.10
-3
.

7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ. Do âọ viãûc tênh B l håüp l.
Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khäng thãø tênh hãút âỉåüc. Vç
váûy âãø tênh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè tênh B
bàòng täøng ca n säú hảng âáưu:

3
1
333
1
)1(
3

1
|||
+
<+
+
−
+
=−
nnn
BB
n

Nãúu ta chn n = 6 thç tháúy :

3
3
10.3
343
1
7
1
|| <=<−
n
BB

Chụ ràòng B
6
= A ta â tênh åí thê dủ trãn (xem (1-18)).
B
6

i ta gi sỉí sai säú chè xy ra tải mäüt bỉåïc, sau âọ
cạc phẹp tênh âãưu lm âụng khäng cọ sai säú, nãúu cúi cng sai säú tênh toạn
khäng tàng vä hản thç xem nhỉ quạ trçnh tênh l äøn âënh. Trong thỉûc tãú, màûc d
quạ trçnh tênh l vä hản m ta cng chè lm mäüt säú hỉỵu hản bỉåïc, nhỉng váùn

8
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

9
phaới õoỡi hoới quaù trỗnh tờnh ọứn õởnh mồùi hy voỹng vồùi mọỹt sọỳ hổợu haỷn bổồùc coù thóứ
õaỷt õổồỹc mổùc õọỹ chờnh xaùc mong muọỳn.

BAèI TP
1) Khi õo mọỹt goùc ta õổồỹc caùc giaù trở sau :
a = 21
o
373; b = 1
o
10
Haợy tờnh sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa caùc sọỳ xỏỳp xố õoù bióỳt rũng sai sọỳ tuyóỷt õọỳi
trong caùc pheùp õo laỡ 1
o
.
2) Cho a = 10,00 0,05, b = 0,0356 0.0002, c = 15300 100,
d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa S
1
= a + b + c + d; S
2
= a+ 5c - d.
S3 = c

y
Ta v âäư thë ca hm säú y = f(x) (2-3)
trong mäüt hãû ta âäü vng gọc Oxy
(hçnh 2.1). Gi sỉí âäư thë càõt trủc honh
tải mäüt âiãøm M thç âiãøm M ny cọ tung
âäü y = 0 v honh âäü x = α. Thay chụng
vo (2-3) ta âỉåüc
0 = f(α) (2-4)
Váûy honh âäü α ca gia âiãøm M chênh l
mäüt nghiãûm ca (2-1).
Trỉåïc khi v âäư thë ta cng cọ thãø thay thãú phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh
tỉång âỉång g(x) = h(x) (2-5) räưi
v âäư thë ca hai hm säú (hçnh 2-2)
x
y
f
g
M
α
y = g(x)
y = h(x) (2-6)
Gi sỉí hai âäư thë áúy càõt nhau tải M
Cọ honh âäü x = α thç ta cọ:
g(α) = h(α) (2-7)
Váûy honh âäü α ca giao âiãøm M
ca hai âäư thë (2-6) chênh l mäüt nghiãûm
ca (2-5) tỉïc l ca (2-1).
H
çnh 2-2


B
A
Hỗnh 2-4 2-1-4. Khoaớng phỏn ly nghióỷ
m (Khoaớng taùch nghióỷm)

ởnh nghộa: Khoaớng [a,b] naỡo õoù goỹi laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh (2-1) nóỳu noù chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa phổồng trỗnh õoù.
óứ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm ta coù thóứ duỡng caùc õởnh lyù sau.

ởnh lyù 2: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm sọỳ f(x) lión tuỷc vaỡ õồn
õióỷu, õọửng thồỡi f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu, tổùc laỡ coù (2-8) thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1). ióửu naỡy coù thóứ minh hoaỷ trón õọử thở (H. 2-4).
ọử thở cuớa haỡm sọỳ y = f(x) cừt truỷc hoaỡnh taỷi mọỹt vaỡ chố mọỹt õióứm ồớ trong [a,b].
Vỏỷy [a,b] chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Nóỳu f(x) coù õaỷo haỡm thỗ õióửu kióỷn õồn õióỷu coù thóứ thay bũng õióửu kióỷn
khọng õọứi dỏỳu cuớa õaỷo haỡm vỗ õaỷo haỡm khọng õọứi dỏỳu thỗ haỡm sọỳ õồn õióỷu.

ởnh lyù 3: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm f(x) lión tuỷc, õaỷo haỡm
f(x) khọng õọứi dỏỳu vaỡ f(a), f(b) traùi dỏỳu thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly nghióỷm
cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Muọỳn tỗm caùc khoaớng phỏn ly nghióỷm ngổồỡi ta thổồỡng khaớo saùt sổỷ bióỳn

1
)
3
1
( <−+−== fM
Váûy âäư thë càõt trủc honh tải mäüt âiãøm duy nháút (Hçnh 2-5) do âọ phỉång trçnh
(2-9) cọ mäüt nghiãm thỉûc duy nháút, k hiãûu nọ l α. Ta tênh thãm:
f(1) = 1
3
-1 -1 < 0 v f(2) = 2
3
-2 - 1 > 0
Váûy khong [1,2] chỉïa nghiãûm thỉûc duy nháút ca phỉång trçnh (2-9).
Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-9) cọ mäüt nghiãûm thỉûc duy nháút α nàòm trong khong
phán ly nghiãûm [1,2].

y
x
α
+1/3
½
-1/3
½


n
ca [a,b]. Theo âënh nghéa ta cọ:
a
n
≤ α ≤ b
n
; b
n
- a
n
=
n
ab
2
)(
−
.
Váûy cọ thãø láúy a
n
lm giạ trë gáưn âụng ca α, lục âọ sai säú l:

n
nnn
ab
aba
2
||
−
=−≤−
α


01
2
3
2
3
2
3
2
>−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
f
trại dáúu våïi f(1) váûy α ∈ [1,3/2].
Ta chia âäi khong [1, 3/2], âiãøm chia l 5/4 ta cọ f(5/4) < 0 cng dáúu våïi f(1),
váûy α ∈ [5/4, 3/2].
Ta chia âäi khong [5/4, 3/2], âiãøm chia l 11/8. Ta cọ f(11/8) > 0 trại dáúu våïi
f(5/4), váûy α ∈ [5/4, 11/8].
Ta chia âäi khong [5/4, 11/8], âiãøm chia l 21/16. Ta cọ f(21/16) < 0 cng dáúu

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh c = (a+b)/2; Tờnh f(c)
f(c).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S

S

Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <
Chuù yù: Xem phỏửn phuỷ luỷc õóứ tham khaớo chổồng trỗnh tờnh gỏửn õuùng phổồng
trỗnh mọỹt ỏứn bũng phổồng phaùp chia õọi.


o
cho trỉåïc ∈ [a, b] (2-14)
Quạ trçnh ny cọ tênh làûp âi làûp lải nãn phỉång phạp ny cọ tãn l phỉång phạp
làûp, hm
ϕ
gi l hm làûp.
2.3.2. Sỉû häüi tủ ca phỉång phạp làûp
Âënh nghéa:Nãúu dy x
n
→ α khi n → ∞ thç ta nọi phỉång phạp làûp (2-13), (2-14)
häüi tủ.
Khi phỉång phạp làûp häüi tủ thç x
n
cng gáưn våïi α nãúu n cng låïn. Cho nãn ta cọ
thãø xem x
n
våïi n xạc âënh l giạ trë gáưn âụng ca α. Nãúu phỉång phạp làûp khäng
häüi tủ thç x
n
cọ thãø ráút xa α. Vç váûy chè cọ phỉång phạp làûp häüi tủ måïi cọ giạ trë.
Âãø kiãøm tra xem mäüt phỉång phạp làûp cọ häüi tủ hay khäng ta dng âënh l sau.
Âënh l 4: Xẹt phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) gi sỉí :
1) [a, b] l khong phán ly nghiãûm α ca phỉång trçnh (2-1) tỉïc l ca
phỉång trçnh (2-12);
2) Mi x
n
tênh theo (2-13) (2-14) âãưu ∈ [a, b];
3) Hm ϕ(x) cọ âảo hm tha mn:
()
bxaqx <<<≤ 1

) (a,b).
Theo giaớ thióỳt (2-15) ta coù |(c)| q <1. Do vỏỷy (2-19) cho
| - x
n
| = |(c)| | - x
n-1
| q | - x
n-1
|
Nón coù | - x
n
| q | - x
n-1
|
Bỏỳt õúng thổùc naỡy õuùng vồùi moỹi n. Do vỏỷy coù :
| - x
n
| q | - x
n-1
|
| - x
n-1
| q | - x
n-2
|

| - x
2
| q | - x
1

[a, b] mọỹt caùch bỏỳt kyỡ, coỡn nóỳu (x) < 0 thỗ
phaới choỹn xo theo quy từc:

b
ba
khibx
ba
akhiax
<<
+
=
+
<<=


2
)(
2
)(
0
0
(2-21)
Muọỳn bióỳt thuọỹc khoaớng naỡo ta chố vióỷc tờnh f((a+b)/2) rọửi so saùnh dỏỳu cuớa noù
vồùi dỏỳu cuớa f(a).
2.3.4. aùnh giaù sai sọỳ
Giaớ sổớ ta tờnh theo (2-13) (2-14) n lỏửn vaỡ xem x
n
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa . Khi
õoù sai sọỳ | - x
n

≤−
(2-24)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
|F’(x)| ≥ m > 0, c< x < d (2-25)
Chỉïng minh : Theo gi thiãút ta cọ F(X) = 0 nãn cọ F(
X
) = F(X)
p dủng cäng thỉïc Lagrangiå (2-18) vo vãú phi âỉåüc F(
X
) = F’(C) (
X
-X)
Trong âọ C = X + θ(
X
-X) ∈ (c,d). Theo gi thiãút (2-25) ta cọ
|F(
X
)| = |F’(C)| |
X
-X| ≥ m|
X
- X| tỉì âọ ta rụt ra kãút lûn(2-24).
Ta ạp dủng kãút qu ny âãø âạnh giạ sai säú ca phỉång phạp làûp.
Våïi F(x) = x - ϕ(x), c = a, d = b
X = α,
X
= x
n
Ta thu âỉåüc
m

+ θ(x
n
- x
n-1
) ∈ (a,b)
Do âọ :
|ϕ(x
n
) - x
n
| = |ϕ’(c)| |(x
n
- x
n-1
)| ≤ q|x
n
- x
n-1
|
Váûy (2-26) tråí thnh:

1
1
−
−
−
≤−
nnn
xx
q

x
3
= x + 1
x = (x + 1)
1/3
Ta âàût ϕ(x) = (x + 1)
1/3
(2-29)
Lục âọ ϕ’(x) = (1/3)(x + 1)
-2/3
=
3
2
)1(
1
3
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
nãn
0 < ϕ’(x) ≤ 1/3 tải mi x ∈ [1,2]
Lục ny hm làûp ϕ(x) tha mn cạc âiãưu kiãûn ca âinh l 4 v chụ thêch åí cäng
thỉïc (2-21). Ta bàõt âáưu thỉûc hiãûn phẹp làûp tải x
0

5
| ≤ 0,000182
Kãút qu ny cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi. Ta quy trn nọ âãún 4 chỉỵ säú l tháûp
phán bàòng cạch viãút: α - 1,3246 = α - x
5
+ x
5
- 1,3246
|α - 1,3246| ≤ |α - x
5
| + |x
5
- 1,3246|
|α - 1,3246| ≤ 0,000182 + 0,00003265
Do âọ : |α - 1,3246| ≤ 0,00025
Váûy ta cọ kãút qu l α = 1,3246 ± 0,00025.
Chụ : Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta dỉìng quạ trçnh tênh khi
|(x
n
- x
n-1
)| < sai säú cho phẹp ε
2.3.6 Thût toạn ca phỉång phạp làûp
- Cho phỉång trçnh f(x) = 0
- ÁÚn âënh sai säú cho phẹp ε
- Xạc âënh khong phán ly nghiãûm [a,b]
- Tçm hm làûp häüi tủ ϕ
- Chn xáúp xè âáưu x
0


Cäng thỉïc Taylo : Cho hm säú F(x) xạc âënh v cọ âảo hm âãún cáúp n+1
tải x
0
v lán cáûn x
0
. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n ca F(x) tải x
0
l:

)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
)(')()()(
)1(
1
0
0
)(
0
0
2
0
000
cF

0
, c l mäüt säú trung gian nàòm
giỉỵa
x
0
v x.
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly trong [a,b]. Gi
sỉí hm f cọ âảo hm f’(x) ≠ 0 tải x ∈ [a,b] âảo hm cáúp hai f’’(x) tải x ∈ (a,b). Ta
chn x
0
∈ [a,b] räưi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút ca f tải x
0
:

),()(],,[
)('')(
2
1
)(')()()(
00
2
0000
baxxxcbax
cfxxxfxxxfxf
∈−+=∈
−+−+=
θ

Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-1) âỉåüc viãút thnh :


xx −=
(2-33)
Tỉì x
0
ta tênh mäüt cạch tỉång tỉû ra x
1
, vv v mäüt cạch täøng quat, khi â biãút x
n

ta tênh x
n+1
theo cäng thỉïc

)('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=
+
(2-34)
x
0
chn trỉåïc trãn [a,b] (2-35)
v xem x
n
l giạ trë gáưn âụng ca nghiãûm

B
a

A

oỹan õọử thở AB cừt truỷc hoaỡnh taỷi M
Coù hoaỡnh õọỹ chờnh laỡ nghióỷm õuùng .
óứ tờnh gỏửn õuùng ta thay mọỹt caùch
gỏửn õuùng cung AB bồới tióỳp tuyóỳn taỷi B,
B coù hoaỡnh õọỹ x
0
, tióỳp tuyóỳn naỡy cừt
truỷc hoaỡnh taỷi P, P coù hoaỡnh õọỹ x
1
vaỡ ta
xem x
1
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa .
Hỗnh 2-6
óứ tờnh x
1
ta vióỳt phổồng trỗnh tióỳp tuyóỳn taỷi B
Vồùi x
0
= b ta coù : Y - f(x
0
) = f(x
0
) (X - x
0

n
õồn õióỷu tng tồùi nóỳu ff<0, xn
õồn õióỷu giaớm tồùi nóỳu ff >0. Khi dổỡng laỷi ồớ n xaùc õởnh ta õổồỹc x
n
vaỡ coi x
n

gỏửn õuùng vồùi .
Vóử sai sọỳ aùp duỷng õởnh lyù 5 ta coù :

m
xf
x
n
n
)(|
||

(2-37)
Vồùi 0< m |f(x)|, x b (2-38)
Ta khọng chổùng minh õởnh lyù 6 nhổng coù thóứ hióứu trón caùc hỗnh 2-7 dổồùi õỏy.

20
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.comA
a
B


x
A

a

Bx
1
b
c)
x
2
x
2
x
2
a)
0
= 2. Aùp duỷng cọng
thổùc (2-40) coù :
x
1
= 1,5
x
2
= 1,417
x
3
= 1,41421
Ta bióỳt
2 =1,414213562 nón ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn họỹi tuỷ rỏỳt nhanh.
Ta laỷi giaới phổồng trỗnh (2-9), f(x) = x
3
- x -1 = 0 ta õaợ tỗm õổồỹc khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa noù laỡ [1,2]. Trong khoaớng õoù
f(x) = 3x
2
-1 > 0
f(x) = 6x > 0

21
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Vỏỷy coù thóứ aùp duỷng õởnh lyù 6. óứ choỹn x
0
ta tờnh f(2) = 2
3
-2 - 1 = 5 >0 cuỡng dỏỳu

2 1,359614916
3 1,325801345
4 1,324719049 0,0000024
5 1,324717950 2.10
-10

2.4.4. Chuù yù
Trong thổỷc tóỳ ta dổỡng quaù trỗnh tờnh khi |xn - xn-1| < sai sọỳ cho pheùp
2.4.5. Thuỏỷt toaùn giaới bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0
2. n õởnh sai sọỳ cho pheùp
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b] trong õoù f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu.
4. Choỹn x
0

5. Tờnh
)('
)(

Vồùi sai sọỳ
m
xf
x
)(
1
1


trong õoù 0 < m < |f(x)|, x(a,b).

22
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
2.5. PHỈÅNG PHẠP DÁY CUNG
2.5.1. Mä t phỉång phạp
Trong phỉång phạp tiãúp tuún ta â thay cung âäư thë AB ca hm y = f(x) båíi
tiãúp tuún v tải A hay B. Báy giåì ta thay cung AB båíi dáy cung AB räưi láúy
honh âäü x
1
ca giao âiãøm P ca dáy cung våïi trủc honh lm giạ trë gáưn âụng
ca nghiãûm α. (H. 2-8).
Phỉång trçnh dáy cung AB âỉåüc viãút :
ab
aX
afbf
afY
−
−
=
−

)()(
)(

Tỉì âọ suy ra:

)()(
)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−= (2-41)
Hçnh 2-8
Hay:

)()(
)()(
1
bfaf
abfbaf
x
−
−
= (2-42)
Phỉång phạp tênh x
1
nhỉ váûy gi l phỉång phạp dáy cung. Sau khi tênh âỉåüc x
1

=
−−
−
−
=x

Tiãúp tủc ta cọ f(1,167) = -0,58 < 0; khong phán ly nghiãûm måïi l [1,167;2]. Ta
tçm âỉåüc

253,1
)58,0(5
)58,0.(25.167,1
2
=
−−
−
−
=x

23
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Sai sọỳ tờnh theo (2-24) laỡ 0,15. Nhổ vỏỷy phổồng phaùp dỏy cung họỹi tuỷ chỏỷm hồn
phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn.
2.5.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp dỏy cung
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2. Choỹn sai sọỳ cho pheùp .
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b].
4. Sồ õọử tờnh


=
S
f(
x
1
).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S


Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <
Sai sọỳ | - x1| <
m
xf |)(|
1
trong õoù 0 < m < |f(x)|, x (a,b).

- 5x
3
- 12x
2
+ 76x - 79 = 0
Bióỳt rũng noù coù hai nghióỷm trong lỏn cỏỷn x = 2.
Cỏu 5: Tỗm nghióỷm nũm trong khoaớng (1,2) cuớa phổồng trỗnh:
x
6
= x
4
+ x
3
+ 1
Vồùi 6 chổợ sọỳ õaùng tin.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com