37
CHỈÅNG 4
NÄÜI SUY V PHỈÅNG PHẠP BÇNH PHỈÅNG BẸ NHÁÚT
4.1 NÄÜI SUY ÂA THỈÏC
4.1.1 Váún âãư näüi suy
Trong thỉûc tãú nhiãưu khi phi phủc häưi mäüt hm säú f(x) tải mi giạ trë ca x
trãn âoản a ≤ x ≤ b m chè biãút mäüt säú hỉỵu hản giạ trë ca hm säú tải mäüt säú hỉỵu
hản cạc âiãøm råìi rảc ca âoản âọ. Cạc giạ trë âọ âỉåüc cung cáúp qua thỉûc nghiãûm
hay tênh toạn. Váûy ta cọ váún âãư toạn hc sau :
Trãn âoản a ≤ x ≤ b cọ mäüt lỉåïi cạc âiãøm chia ( ta gi cạc âiãøm chia ny l nụt)
x
i
, i = 0,1,2, ,n tỉïc l a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, , x
n
≤ b tỉång ỉïng tải cạc x
i
ta cọ giạ trë
ca hm säú y = f(x) l y
i
= f(x
i
) nhỉ trãn bng sau:
Bng 4-1
x x
0

n-1
x + a
n
. Sao
cho p
n
(x) trng våïi f(x) tải cạc nụt x
i
, tỉïc l p
n
(x
i
) = y
i
, i = 0,1,2, ,n . Âa thỉïc
p
n
(x) gi l âa thỉïc näüi suy ca hm f(x). Ta chn âa thỉïc âãø näüi suy hm f(x) vç
âa thỉïc l loải hm âån gin, ln cọ âảo hm v ngun hm, viãûc tênh giạ trë
cng dãù dng. Ta cọ p
n
(x) = ((a
0
x +a
1
)x +a
2
) ) +a
n
Do âọ cọ så âäư Hoocne

n
(x) ca hm säú f(x) âënh nghéa åí trãn nãúu cọ
thç chè cọ mäüt m thäi.
Chỉïng minh: Gi sỉí cọ hai âa thỉïc p
n
(x) v q
n
(x) cng näüi suy cho mäüt
hm f(x) Lục âọ ta phi cọ :
p
n
(x
i
) = y
i
, q
n
(x
i
) = y
i
Váûy hiãûu p
n
(x) - q
n
(x) l mäüt âa thỉïc cọ báûc ≤n lải triãût tiãu tải n + 1 giạ trë khạc
nhau x
i
vç p
n

110
niiiiii
nii
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xI





=
+
+

Roợ raỡng I
i
(x) laỡ õa thổùc bỏỷc n vaỡ I
i
(x
j
) = (4-1)




=
ij
ij

4.1.4 Mọỹt sọỳ trổồỡng hồỹp hay gỷp vaỡ thờ duỷ
1) Nọỹi suy bỏỷc nhỏỳt ( nọỹi suy tuyóỳn tờnh)
Vồùi n = 1 ta coù lổồùi trong baớng dổồùi:
Baớng 4-2
x x
0
x
1
y y
0
y
1
a thổùc nọỹi suy (4-2) seợ laỡ:
p
1
(x) = y
0
I
0
(x) + y
1
I
1
(x) (4-3)

01
0
1
10
1


+


=
a thổùc p
1
(x) laỡ bỏỷc nhỏỳt õọỳi vồùi x coù daỷng Ax + b.
2) Nọỹi suy bỏỷc hai
Vồùi n = 2 ta coù lổồùi
Baớng 4-3
x x
0
x
1
x
2
y y
0
y
1
y
2
a thổùc nọỹi suy (4-2) laỡ :
p
2
(x) = y
0
I
0

=



= 38
))((
))((
)(
1202
10
2
xxxx
xxxx
xI
−−
−
−
=

Âa thỉïc p
2
(x) l mäüt âa thỉïc báûc hai âäúi våïi x cọ dảng Ax
2
+ Bx + C.
3) Thê dủ ạp dủng
Cho lỉåïi
Bng 4-4

−−−
=
xxxxxx
xxxxxx
xp

Sau khi rụt gn ta âỉåüc :
p
3
(x) = 8x
3
- 29x
2
+ 41,5x - 3,5
4.1.5 Sai säú näüi suy v váún âãư chn nụt näüi suy
Âënh l 4-2. Nãúu hm f(x) liãn tủc trãn [a,b} v cọ trong (a,b) âảo hm
âãún cáúp n+1 thç sai säú näüi suy r
n
(x) = f(x) -p
n
(x) cọ biãøu thỉïc :
[
bac
n
x
cfxr
n
n
,,
)!1(

]. Trong trỉåìng håüp cạc nụt cạch âãưu
(hçnh 4-1 våïi n = 4) ta tháúy |π(x)| nh khi x åí khong giỉỵa ca x
0
, x
n
låïn dáưn khi
x ra gáưn hai mụt v cng låïn khi x vỉåüt ra ngoi khong âọ. Váûy liãûu cọ thãø chn
cạc nụt x
i
khäng cạch âãưu sao cho |π(x)| “bẹ nháút” âỉåüc khäng? Cọ cáu tr låìi l
våïi a = -1, b =1 thç cạc nụt täúi ỉu âọ l :

2
.
1
12
cos
π
+
+
=
n
i
x
i
i= 0,1, ,n (4-7)
Âọ l cạc nghiãûm ca âa thỉïc Trãbỉsẹp:
]arccos)1cos[(
2
1

theo (4-7). 40-1
x
4

x
3

x
2

x
1

x
0
1
Hçnh 4-1
Hçnh 4-2


)(
]),[],[(
],,[
ki
kjji
kji
xx
xxyxxy
xxxy
−
−
=

V tiãúp tủc nhỉ thãú ta cọ cạc tè hiãûu cáúp cao hån.
Våïi y(x) = P
n
(x) l mäüt âa thỉïc báûc n thç tè hiãûu cáúp mäüt tải x, x
0
l :

)(
)]()([
],[
0
0
0
xx
xPxP
xxP

, ,x
n
] = 0
Tỉì cạc biãøu thỉïc trãn ta suy ra:
P
n
(x) =P
n
(x
0
) + (x - x
0
)P
n
[x, x
0
]
P
n
[x, x
0
] = P
n
[x
0
, x
1
] + (x - x
1
) P

2
]
. . . . . .
P
n
[x, x
0
, , x
n-1
] = P
n
[x
0
, , x
n
] + (x - x
n
) P
n
[x, x
0
, , x
n
]

Chuù yù õóỳn P
n
[x, x
0
, ,x

0
) (x - x
n-1
) P
n
[x
0
, , x
n
] (4-8)
Nóỳu P
n
(x) = p
n
(x) laỡ õa thổùc nọỹi suy cuớa haỡm y = f(x) thỗ :
P
n
(x
i
) = p
n
(x
i
) = y
i
vồùi i = 0,1,2, ,n.
Do vỏỷy caùc tố hióỷu tổỡ cỏỳp mọỹt tồùi cỏỳp n cuớaPn vaỡ y trong cọng thổùc (4-8) laỡ
truỡng nhau.
Vỗ vỏỷy thay cho (4-8) ta coù :
p

0
cuớa haỡm y = f(x).
Ta cuợng tờnh õổồỹc õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ nuùt x
n
cuớa haỡm y = f(x) laỡ :
p
n
(x) = y
n
+ (x - x
n
) y[x
n
, x
n-1
] + (x - x
n
)(x - x
n-1
) y[x
n
, x
n-1
, x
n-2
] +
+ (x - x
n
)(x - x
n-1


2) a thổùc Niutồn (4-9) truỡng vồùi õa thổùc Lagrangiồ, nhổng thióỳt lỏỷp caùch
khaùc. Theo caùch cuớa Niutồn khi thóm mọỹt nuùt x
n+1
vaỡo lổồùi nọỹi suy ta chố phaới
thóm vaỡo p
n
(x) mọỹt sọỳ haỷng :
P
n+1
(x) = p
n
(x) + (x - x
0
) (x - x
n-1
)(x - x
n
) y[x
0
, , x
n
,x
n+1
]
maỡ khọng phaới xỏy dổỷng laỷi tỏỳt caớ caùc õa thổùc cồ baớn nhổ caùch thióỳt lỏỷp cuớa
Lagrangồ.
4.1.7 Trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu
Giaớ sổớ caùc nuùt x
i

= (
n-1
y
i
)
Khi õoù ta coù :

n
n
n
hn
y
xxy
h
y
xxxy
h
y
xxy
!
], ,[

2
],,[
],[
0
0
2
0
2

htxx
n

+


++

++=
+=
(4-11)
Goỹi laỡ a thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ x
0
trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu.
Vồùi n = 1 ta coù :

001
0
)( ytyxp
htxx
+=
+=

Vồùi n = 2 ta coù :

0
2
002
2
)1(

yyy



=
+==

=


Ta coù õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ x
n
trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu :
n
n
nnn
htxx
n
y
n
nttt
y
tt
ytyxp

+
+
++
+
++=

0.09685 -0.00096
2 0.3 0.29552 -0.00295
0.09390
3 0.4 0.38942
i x y y
2
y
3
y
a) Tờnh y(0,14) vỗ 0,14 0,1 0,2 nón ta duỡng õa thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ
x
0
= 0,1 vồùi h = 0,1 dổỷa vaỡo caùc sai phỏn tióỳn õi xuọỳng ồớ baớng 4-6 (gaỷch dổồùi
mọỹt gaỷch) :
00096,0
!3
)2)(1(
00199,0
!2
)1(
09884,009983,0)(
1,01,0




+=
+=
ttttt
xp


00096,0
!3
)2)(1(
00295,0.
!2
)1(
09390,0.38942,0)(
1,04,0
+
+

+
++=
+=
ttttt
txP
tx

Vồùi x = 0,46 ta coù 0,46 = 0,4 + 0,1t t = 0,6. Thay t = 0,6 vaỡo vóỳ phaới ồớ trón ta
tờnh õổồỹc : Sin(0,46) ) p(0,4 + 0,1.0,6) = 0,4439446
Sai sọỳ tờnh theo (4-5) nhổ trón ta coù |sin(0,46) - 0,4439446| 3,8.10
-5
Ta quy troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ leớ thỏỷp phỏn õổồỹc sin(0,46) = 0,44394 10
-5
Nhỏỷn xeùt : Sai sọỳ khi tờnh sin(0,46) gỏỳp 5 lỏửn khi tờnh sin(0,14). Bồới vỗ 0,46
[0,1;0,4] tổùc laỡ ta phaới ngoaỷi suy coỡn 0,14[0,1;0,4] õuùng laỡ nọỹi suy.
43
4.2 phỉång phạp bçnh phỉång bẹ nháút
4.2.1 Khại niãûm

2
y
n
Dỉûa vo âọ chụng ta xạc âënh cạc tham säú a, b, c bàòng phỉång phạp bçnh
phỉång bẹ nháút.
4.2.2 Trỉåìng håüp y = a + bx
Gi sỉí y phủ thüc x dỉåïi dảng y = a + bx khi âọ y
i
- ( a - bx
i
) = ε
i
; i = 1, 2, ,n
l cạc sai säú tải xi, do âọ

(4-13)
∑
=
−−=
n
i
ii
bxayS
1
2
)(
L täøng cạc bçnh phỉång ca cạc sai säú. S phủ thüc a, b cn cạc x
i
, y
i

, Σy
i
, Σx
i
2
, Σx
i
y
i
thay vo hãû (4-15) räưi gii hãû
âọ ta tçm âỉåüc a, b.
Thê dủ : Biãút quan hãû giỉỵa x v y cọ dảng y = a + bx v cọ lỉåïi sau :
x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
44
Haợy xaùc õởnh a, b bũng phổồng phaùp bỗnh phổồng beù nhỏỳt.
Giaới: Ta lỏỷp baớng caùc giaù trở sau

x
i
y
i
x
i
2
x
i
y
i
-1,1 0,78 1,21 -0,858

iiiii
iiiii
iii
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yxcxbna




=++
=++
=++
2432
32
2

3) Trổồỡng hồỹp y = ae
bx
vaỡ y = ax
b

Caùc trổồỡng hồỹp naỡy coù quan hóỷ phi tuyóỳn õọỳi vồùi a, b nón ta thổỷc hióỷn mọỹt sọỳ
bióỳn õọứi.
ọỳi vồùi y = ae
bx
vồùi a>0
Lỏỳy logarit thỏỷp phỏn hai vóỳ ta coù :
45
lgy = lga + bxlge

xx
thaỡnh tọứng caùc phỏn thổùc tọỳi giaớn.
Cỏu 5 : Bióỳt y coù quan hóỷ vồùi x daỷng y = a + bx + cx
2
vaỡ õaợ bióỳt lổồùi sau :
x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81
y 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28

Haợy xaùc õởnh haỡm y(x).
46