25
BAèI TP
Cỏu 1 : Tỗm nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x
3
- 2x
2
+ 3x - 5 = 0
Bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn. Sai sọỳ khọng quaù 10
-5
.
Cỏu 2 : Tỗm nghióm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
4x - 5lnx = 5
Bũng phổồng phaùp lỷp. Sai sọỳ khọng quaù 10
-3
.
Cỏu 3 : Tỗm nghởóm dổồng gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x
3
- 0.2x
2
- 0.2x - 1.2 = 0
Bũng phổồng phaùp chia õọi, sai sọỳ khọng quaù 0.002.
Cỏu 4 : Tỗm nhổợng nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau vồùi 4 chổợ sọỳ õaùng
tin:
x
4
- 5x
3
- 12x

+
+

2211
22222121
11212111
(3.1)
trong âọ a
ij
l hãû säú ca áøn x
j
åí phỉång trçnh thỉï i. Gi sỉí â biãút a
ij
v f
i
ta phi
tçm cạc áøn x
j
.
Ma tráûn

321
22221
11211
T
n
T
n
xxxxffff ) () (
2121
==
Biãút ràòng têch ca ma tráûn A våïi vẹc tå x viãút l Ax. Mäùi dng ca ma tráûn Ax l
mäüt vẹc tå cọ ta âäü thỉï i l : ∑
=
=
n
j
jiji
xaAx
1
)(
Âọ cng chênh l vãú trại ca phỉång trçnh thỉï i ca hãû (3.1).
Váûy hãû (3.1) cọ thãø viãút dỉåïi dảng sau :
Ax = f (3.4)

26

3.1.2. Sỉû täưn tải v duy nháút nghiãûm ca hãû
Gi âënh thỉïc ca ma tráûn A l âënh thỉïc ca hãû, viãút l ∆ , tỉïc l : ∆ = det(A).

Âáy l phỉång phạp khỉí dáưn cạc áøn âãø âỉa hãû vãư mäüt hãû cọ dảng tam giạc trãn.
Lục âọ ta tçm âỉåüc x
n
åí phỉång trçnh cúi cng, tỉì âọ tênh ngüc lãn ta tçm âỉåüc
cạc áøn cn lải. Nhỉ váûy ta phi thỉûc hiãûn qua hai bỉåïc Thûn v Ngỉåüc nhỉ sau.
Cho hãû (3.1) viãút dỉåïi dảng vectå :

∑
=
+
==
n
j
nijij
niaxa
1
1,
),1( (3.6)
Bỉåïc thûn : Dng phẹp biãún âäøi tỉång âỉång âỉa (3.6) vãư dảng tam giạc trãn.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+

)0(
132
)0(
121
n
nnn
n
nnn
n
nnn
nnnnn
nnnnn
bx
bxbx
bxbxbxbx
bxbxbxbxbx
(3.7)
Ta cọ cạc cäng thỉïc tênh toạn sau :

(3.8) ),(
)1()1()1()(
kjibaaa
k
kj
k
ik
k


k
kk
a nk ,1= trong õoù

11
0
11
a a=
Bổồùc ngổồỹc : Tỗm caùc ỏứn theo thổù tổỷ tổỡ x
n
õóỳn x
1
tổỡ hóỷ (3.7) .
Bỏy giồỡ ta kióứm chổùng caùc cọng thổùc trón cho mọỹt hóỷ ba phổồng trỗnh ba ỏứn.
Hóỷ xuỏỳt phaùt (3.1) coù daỷng :





=++
=++
=++
34333232131
24323222121
14313212111
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa

j

Nhổ vỏỷy cọng thổùc (3.9) vồùi k = 1 õổồỹc chổùng minh. Tióỳp theo ta duỡng (3.11) õóứ
khổớ x
1
trong caùc phổồng trỗnh thổù hai vaỡ thổù ba cuớa hóỷ (3.10) bũng caùch lỏỳy
phổồng trỗnh (3.11) nhỏn vồùi a
i1
(i = 2,3) rọửi trổỡ õi phổồng trỗnh thổù i tổồng ổùng.
Ta coù :

(3.10)





=+
=+
)1(
343
)1(
332
)1(
32
)1(
243
)1(
232
)1(

>= j
a
a
b
j
j
.
Bỏy giồỡ ta chố coỡn khổớ x
2
trong phổồng trỗnh cuọỳi cuỡng cuớa (3.10) ta õổồỹc :

(3.10)
)2(
343
)2(
33
axa =
Trong õoù ).3,(
)1(
2
)1(
2
)1()2(
= jibaaa
jiijij
Tổỡ (3.10) ta tỗm õổồỹc
)2(
34
)2(
33

)2(
343
bx =
Âãún âáy bỉåïc thûn kãút thục.
Bỉåïc ngỉåüc l viãûc tênh cạc nghiãûm theo trçnh tỉû ngỉåüc: 2
)0(
123
)0(
13
)0(
141
3
)1(
23
)1(
242
)2(
343
xbxbbx
xbbx
bx
−−=
−=
=
3.2.2 Thê dủ
Gii hãû phỉång trçnh :
x

Bỉåïc thûn
1 1 2 3 1 7
2 2 1 3 2 8
3 3 2 1 3 9
4 x d1 våïi -2 räưi + våïi d2 0 -3 -3 0 -6
5 x d1 våïi -3 räưi + våïi d3 0 -4 -8 0 -12
6 Chia d4 cho -3 0 1 1 0 2
7 x d6 våïi 4 räưi + våïi d5 0 0 -4 0 -4
8 Chia d7 cho -4 0 0 1 0
Bỉåïc nghëch
9 0 0 1 0 1
10 0 1 0 0 1
11 1 0 0 1 2

Khäúi lỉåüng tênh toạn ca phỉång phạp Gauss (kãø c cạc phẹp tênh kiãøm tra ∑) :
ÅÍ bỉåïc thûn, säú phẹp tênh nhán, chia l:
n(n+1)+(n-1)n+ +1.2 = (1
2
+2
2
+ +n
2
)+(1+2+ +n) =
3
)2)(1( +
+
nnn

bổồùc ngổồỹc sọỳ pheùp tờnh nhỏn, chia laỡ n(n-1). Vỏỷy sọỳ pheùp tờnh nhỏn, chia cuớa
phổồng phaùp Gauss laỡ :

= b
n
/a
nn
i=n-1,n-2, ,1
S = b
i
j
= i+1
,

,
n
S = S -
a
ij
x
j
a
ii

0
x
i
= S/
a
ii
end
IER = 1
S

30
Dổồùi õỏy laỡ sồ õọử khọỳi cuớa chổồng trỗnh giaới hóỷ bũng phổồng phaùp Gauss
coù chổùa thuớ tuỷc ngổồỹc. S

a
kk

0
P
i
=
a
ik
/
a
kk
a
ij

IER = 0
N
hỏỷp n, [
a
ij
] ,{b
i
}; (i,j =1 n)
GAUSS

Trong âọ:

suy ra detB = 1.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 00

10
1
)1(
2
)0(
1
)0(
12
n
n

= E nãn :

),1,(
1
njixa
n
k
ëkjik
==
∑
=
δ
(3-13)
Nhỉ váûy âãø tçm ma tráûn nghëch âo A-1, ta phi gii n hãû phỉång trçnh âải säú
tuún tênh våïi cng mäüt ma tráûn A. Ta cọ thãø dng chung mäüt så âäư Gauss.

3.3 PHỈÅNG PHẠP LÀÛP ÂÅN
3.3.1. Mä t phỉång phạp
Phỉång phạp Gauss thüc loải phỉång phạp âụng, tỉïc l nãúu khäng cọ sai
säú tênh toạn thç ta s cọ nghiãûm âụng ca hãû. Ngoi ra cn mäüt säú phỉång phạp
khạc, dỉåïi âáy ta xẹt phỉång phạp làûp âån mäüt cacïh så lỉåüc.
Xẹt hãû (3-1) â viãút dỉåïi dảng vectå (3-4) : Ax = f Ta chuøn hãû ny vãư
dảng tỉång âỉång cọ dảng
x = Bx + g (3. 14)
Trong âọ ma tráûn B suy tỉì A cn vectå g suy tỉì f bàòng mäüt cạch no âọ,
gi sỉí : ⎥
⎥


(3-15) gBxx
mm
+=
− )1()(
x
(0)
chn trỉåïc (3-16)
Trong âọ

(3-17)
∑
=
=
n
j
jëi
xbBx
1
)(
Phỉång phạp tênh x(m) theo (3-15), (3-16) gi l phỉång phạp làûp âån. Ma tráûn
B gi l ma tráûn làûp.
3.3.2 Âiãưu kiãûn häüi tủ
Âënh nghéa1 : Gi sỉí
α
= (
α
1
,
α

{
}
22
2
2
1
2
21
1
0max
n
n
i
ZZZZ
ZZZZ
iZZ
+++=
+++=
∀=

Gi l âäü di måí räüng ca vectå Z hay cn gi l chøn ca Z.
Chụng cọ cạc tênh cháút sau âáy :
Våïi p = 0 hay 1 hay 2 ta âãưu cọ :
1)
=⇔=≥ ZZz
pp
0,0 vectå khäng.

=
=
=
N
I
N
j
ij
n
i
ij
j
n
j
ij
i
br
br
br
11
2
2
1
1
1
0
max
max

Ngỉåìi ta chỉïng minh âỉåüc âënh l vãư âiãưu kiãûn häüi tủ ca phỉång phạp làûp âån:

mm
p
p
p
m
xx
r
r
x
)1()()(
1





(3-21)
Trong õoù :
p = 0 nóỳu r
0
< 1
p = 1 nóỳu r
1
< 1
p = 2 nóỳu r
2
< 1
3.3.3 Thờ duỷ
Giaới hóỷ sau bũng phổồng phaùp lỷp õồn :
4x

2
= -0,03 x
1
+ 0,05 x
3
+ 3
x
3
= -0,01 x
1
+ 0,02 x
2
+ 2,5
Luùc naỡy hóỷ coù daỷng x = Bx + g. óứ kióứm tra õióửu kióỷ họỹi tuỷ ta tờnh :




=
=
=
=++=
=++=
=++=
3
1
3
3
1
2

0 2 1,92 1,9094 1,90923
)(
2
m
x
0 3 3,19 3,1944 3,19495
)(
3
m
x
0 5 2,04 2,0446 2,04485
óứ õaùnh giaù sai sọỳ ta tờnh:
{
}
.3,2,1,max
)3()4(
0
)3()4(
== ixxxx
ii

= max{0,00017 ; 0,00055 ; 0,00025}

34
= 0,00055
p dủng cäng thỉïc (3-21) ta cọ :
0022,000055,0.
08,01
08,0
0

4) Chn x
(0)
ty .
5) Tênh x
(m+1)
=Bx
(m)
+g ; m = 0,1,2, cho tåïi khi
ε
<−
+
pxx
mm )()1(
thç
dỉìng quạ trçnh tênh.
6) Kãút qu x
(m+1)
≈ α Våïi sai säú
εα
p
p
p
m
r
r
x
−
≤−
+
1

0.92x
1
+ 1.38x
2
- 2.54x
4
- 3.69 = 0

35

Cáu 2 : Gii hãû phỉång trçnh sau bàòng phỉång phạp làûp :
4 x
1
+ 0.24 x
2
- 0.08 x
3
+ 0.16 x
4
- 8 = 0
0.09 x
1
+ 3 x
2
- 0.15 x
3
- 0.12 x
4
- 9 = 0
0.04 x

1
+ 2,5 x
2
- 1,0 x
3
= 1,55
1,0 x
1
- 0,2 x
2
+ 0,1x
3
= 0,4

36

Cáu 4 : Duìng phæång phaïp làûp giaíi hãû , tênh làûp ba láön vaì cho biãút sai säú :
24,21 x
1
+ 2,42 x
2
+ 3,85 x
3
= 30,24
2,31 x
1
+ 31,49 x
2
+ 1,52 x
3