Kinh tế lợng nâng cao
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Bài 5
Chuỗi thời gian không dừng
1. đặt vấn đề
Từ đầu những năm 1980, một số trào lu phát triển
kinh tế lợng đã có ảnh hởng sâu sắc đến vấn đề ứng
dụng kinh tế lợng trong thực tiễn. Những phơng pháp
mới đợc các nhà kinh tế lợng quan tâm nhiều nhất đã
tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực mô hình hoá,
đặc biệt trong các lớp mô hình cân bằng và mô hình
động. Bài này sẽ trình bày những phơng pháp đó. Ta sẽ
bắt đầu bằng việc phân tích kỹ hơn các đặc tính thống
kê của các chuỗi số liệu sử dụng trong các mô hình kinh
tế lợng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ý nghĩa
quan trọng trong việc mô hình hóa mối quan hệ cân
bằng.
Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết
các sai số ngẫu nhiên thoả mãn các điều kiện sau:
+ Có kỳ vọng toán bằng không,
+ phơng sai đồng đều,
+ Không tơng quan với nhau.
Đây là trờng hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực
tế đối với khá nhiều chuỗi thời gian các giả thiết trên có
thể bị vi phạm.
thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà không phụ thuộc
vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là:
cov (X
t
,X
t+k
) = E[(X
t
-
)( X
t+k
-
)] =
k
Ví dụ: cov (X
1
, X
3
) = cov (X
11
, X
13
) = cov (X
26
, X
27
); nghĩa
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Nếu xét các hệ số tự tơng quan
k
theo độ dài của trễ
k ta sẽ thu đợc một hàm gọi là hàm tự tơng quan
( Autocorrelation function- ACF). Nh vậy tại điểm trễ k
ta có:
ACF(k) =
k
=
k
/
0
= Cov(X
t
, X
t+k
)/ Var(X
t
)
Chú ý rằng nếu k = 0 thì
0
= 1.
k
không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện:
-1
k
1.
2
cũng có giá trị không đổi
- Hiệp phơng sai cov (X
t
, X
t+k
) = 0
k
0
Cả 3 tính chất trên đều đợc thoả mãn do đó chuỗi
này dừng'.
Hình 1: "Nhiễu trắng" - Đồ thị phần d trong phơng trình hồi quy cổ điển
-2
-1
0
1
2
3
60 65 70 75 80 85
Y Residuals
3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR).
Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây :
X
t
.
Trong mục trớc ta đã biết hiện tợng nhiễu trắng
là dừng'. Để xác nhận X
t
có dừng hay không ta hãy biểu
diễn X
t
dới dạng
t
và xem xét kết quả. Có thể chứng
minh đợc rằng:
E(X
t
) =
t
E(X
0
)
Var(X
t
) =
2
(
2(t-1)
+
2(t-2)
X
t-p
+ u
t
Sẽ là dừng nếu -1
j
1 j.
Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) X
t
=
0,6X
t-1
+
t
trong đó X nhận các giá trị bắt đầu từ quan
sát X
0
= 1.
Hình 2: Dừng AR(1)
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
3. 3: Bớc ngẫu nhiên (
Random walk
).
Xét quan hệ: X
ớc lợng kết quả. Với giá trị đầu tiên là X
0
, chuỗi số
gồm các giá trị sau:
X
0
X
1
= X
0
+
1
X
2
= X
1
+
2
= X
0
+
1
+
2
2
+
t
t
X
t
= X
0
+
i
t = 1
Đối với một bớc ngẫu nhiên:
a. Giá trị trung bình của chuỗi không đổi: E [X
t
] = E [X
0
] + E[
i
] = X
0
Vì giá trị ban đầu của X
0
1
+
2
+
t
Do đó: Var (X
t
)= var (
1
+
2
+
t
) = t
2
Vì Var(X
t
) không phải là hằng số mà biến đổi theo t,
bớc ngẫu nhiên là một chuỗi 'không dừng'. Tuy nhiên,
cho một bớc ngẫu nhiên:
X
t
= X
t
= X
t-1
+
t
với giá trị đầu tiên X
0
= 0.
So sánh Hình 3 với Hình 1 và Hình 2. Lu ý sự khác biệt
về bản chất giữa bớc ngẫu nhiên không dừng' với
nhiễu trắng dừng' và hiện tợng AR(1). Giá trị trung bình
của bớc ngẫu nhiên là giá trị ban đầu của nó (X
0
=0),
nhng lu ý khoảng giá trị của X. Dãy bớc ngẫu nhiên
chạy rất xa khỏi giá trị trung bình của nó.
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
3.4: Bớc ngẫu nhiên lệch (
Random Walk with Drift
).
Bây giờ chúng ta xét mô hình sau:
X
t
= a
0
= a
0
+ X
0
+
1
X
2
= a
0
+ X
1
+
2
= a
0
+ a
0
+ X
0
+
1
+
2
= ta
0
+ X
0
+
1
+
2
+
t
X
t
= ta
0
+ X
0
+
i
E[X
t
] = ta
0
+ X
0
+
1
Trừ cả 2 vế cho X
t-1
, ta có :
X
t
= X
t
- X
t-1
= a
0
+
t
Bởi vì a
0
+
t
là dừng, sai phân cấp 1 của Bớc ngẫu
nhiên là chuỗi dừng.
Trong Hình 4 minh hoạ 250 quan sát của Bớc ngẫu
nhiên 'lệch'.
X
t
có dạng:
X
t
=
t
+
1
t-1
+ +
q
t-q
t = 1,2, ,n
Trong đó
t
là nhiễu trắng.
Có thể chỉ ra rằng:
E( X
t
) = 0
Var(X
t
) =
2
( 1 +
1
2
+ +
OLS không áp dụng đợc với các chuỗi không dừng.
Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng là là
vấn đề tơng quan giả tạo ( Spurious correlation). Nếu
nh mô hình có ít nhất một biến giải thích không dừng
và chứa đựng một xu thế tăng ( hoặc giảm) đồng thời
biến phụ thuộc cũng chứa đựng một xu thế nh vậy thì
khi uoc lợng có thể thu đợc các uoc lợng có ý nghĩa
thống kê cao và R
2
cao song đó chỉ là giả tạo vì cả hai
biến đều có cùng xu thế.
Kinh tế lợng nâng cao
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Xét mô hình:
Y
t
=
1
+
2
X
t
+ u
t
Trong đó cả Y
t
và X
t
t
=
2
X
t
+ v
t
(*)
Lúc đó mô hình trên có thể nảy sinh hai vấn đề:
+ v
t
có tự tơng quan,
+ Mô hình chỉ đánh giá đợc ảnh hởng trực tiếp
trong ngắn hạn giữa Y và X mà bỏ qua thông tin dài
hạn.
Vì: Với mỗi X giá trị cân bằng của Y là
1
+
2
X. ở cuối
kỳ t-1 có thể xảy ra ba trờng hợp:
a. Y
t-1
=
1
+
2
X
t-1
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
5.Kiểm định tính dừng dựa trên lợc đồ tự tơng quan
( Correlogram)
Một trong những đặc trng rất cơ bản đối với m
ột chuỗi
dừng, nh đã nói ở trên, là tơng quan theo k thời gian
không đổi.
Xét chuỗi thời gian Y
t.
Để kiểm định đặc trng này,
một trong các kiểm định đơn giản là kiểm định dựa trên
hàm tự tơng quan
k
(autocorrelation function).
AFC(k) =
k
=
o
k
Nếu k = 0, ta có
0
= 1; k ta đều có -1
k
1. Nếu
))((Y
t
Var(Y
t
) =
n
Y
2
0
)(Y
t
Trong trờng hợp kích thớc của mẫu nhỏ thì mẫu
số của
k
và
= 0 ( Chuỗi Y
t
là dừng)
H
1
:
k
0 ( Chuỗi Y
t
là không dừng)
Nếu nh:
k
) ;(
22
n
Z
n
Z
thì H
0
bị bác bỏ. Các hệ số tự tơng quan bậc cao
k
và Y
t-k
,
kk
đợc tính theo công thức đệ quy của
Durbin:
1
1
j 1
1
1
j-kj 1
1
Bảng sau là kết quả tính hàm tự tơng quan và hàm
tự tơng quan riêng cho chuỗi CPI89 của Việt Nam
trong thời kỳ từ quý I/91 - IV/97. Trên bảng cũng trình
bày khoảng tin cậy 95% cho các hệ số tơng ứng. Đối với
hệ số tự tơng quan, từ trễ thứ 7 trở đi. Chúng mới xấp
xỉ không, còn với hệ số tự tơng quan riêng điều này
nhận ra từ thành phần thứ hai.
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Khoảng tin cậy Khoảng tin cậy
95% 95%
Đối với các hệ số tơng quan riêng, nếu chuỗi là dừng
thì các
kk
sẽ có phân bố chuẩn N(0, 1/n). Do vậy, chúng
ta có thể kiểm định giả thiết đối với các
kk
tơng tự
nh kiểm định giả thiết đối với các
Kinh tế lợng nâng cao
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Giả thiết H
0
đợc kiểm định bằng thống kê:
Q= n
m
k
k
1
2
Trong đó: n là kích thớc mẫu, m độ dài của trễ Q có
phân bố xấp xỉ
2
(m). H
0
bị bác bỏ nếu Q nhận đợc từ
mẫu lớn hơn
2
(m).
Một dạng khác của Q là thống kê Ljung-Box(LB):
LB= n(n+2)
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
6. Quá trình dừng Sai phân và quá tRình dừng xu thế
Hình 5: Bớc ngẫu nhiên lệch và chuỗi số có xu thế dừng
RWD
TS
Hình 5 biểu diễn 2 chuỗi số liệu đều có 2 đờng xu
hớng thẳng. Đờng RWD tạo bởi Bớc ngẫu nhiên
"lệch" nh đã mô tả trong mục trớc. Đồ thị TS tạo bởi
đờng thẳng có xu thế xác định kết hợp với phần tử
nhiễu trắng. Chúng ta sẽ xem xét theo thứ tự từng
trờng hợp.
RWD là chuỗi không dừng - nhng sai phân cấp 1
của chuỗi sẽ là chuỗi dừng. Chuỗi phải thực hiện phép
lấy sai phân cấp 1 để tạo ra chuỗi dừng đợc gọi là chuỗi
liên kết bậc 1, ký hiệu là I(1). Xu hớng sẽ đợc loại bỏ
bằng cách lấy sai phân. Một chuỗi I(1) gọi là dừng sai
phân và nói rằng đợc tạo ra bởi một phép dừng sai phân
(DSP). Nh vậy chuỗi dừng sai phân có dạng:
X
t
= X
t
- X
t-1
= a
2
). Đờng
thẳng xu thế có phơng trình là a
0
+
t . Nếu loại bỏ
đờng xu thế, sẽ cho kết quả là:
X
t
- a
0
-
t =
1
là một chuỗi dừng vì phần tử nhiễu là nhiễu trắng, mà
nh đã thấy ở mục trớc đó là chuỗi dừng. Trong
trờng hợp đó, xu thế có thể đợc loại bỏ bằng cách tiến
hành hồi quy chuỗi theo mô hình đờng xu thế. Các
phần d của phép hồi quy là chuỗi dừng. Chuỗi số đợc
xây dựng là chuỗi dừng xu thế (TSP).
Chúng ta đã biết, có thể rất khó phân biệt trên thực tế
chuỗi số liệu đợc xây dựng trên cơ sở bớc ngẫu nhiên
hay bớc ngẫu nhiên lệch. Đồng thời cũng khó phân biệt
chuỗi số đợc tạo nên bởi mô hình DSP hay là TSP. Mỗi
chuỗi tạo nên đều có đờng xu thế. Tuy nhiên, chuỗi xây
dựng bằng phơng pháp xu thế dừng có khuynh hớng
bám theo đờng xu thế sát hơn chuỗi tạo nên bởi bớc
Kinh tế lợng nâng cao
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Hình 7 biểu diễn tỉ giá hối đoái của đồng đô la Mỹ
với Bảng Anh, số liệu thể hiện là chuỗi không dừng và
I(1).
Hình 7: Tỉ giá đô la Mỹ và bảng Anh
Hình 8 biểu diễn lãi suất - đó là mức lãi cho
vay liên ngân hàng qua đêm. Chuỗi này không dễ
nhận dạng. ở đây có sự biến động hàng ngày tơng
đối lớn. Lãi suất cao 50% không phải là một sai số
mà nó tơng ứng với thời kỳ bất ổn định khi Anh là
còn là thành viên của EU.
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
qua xem xét hàm tự tơng quan của chúng. đồ thị tơng
quan biểu diễn quan hệ giữa
k
và k. Đồ thị tơng
quan rất tiện lợi trong việc thể hiện tơng quan giữa
các giá trị trong một chuỗi quan sát đơn. Đối với một
quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên nhiễu trắng, hàm tự
tơng quan ACF bằng 0 ở bất kỳ độ trễ nào lớn hơn
không. Đối với chuỗi số liệu không dừng, hàm ACF
giảm dần khi độ trễ k tăng. Để minh họa các đồ thị
tơng quan của chuỗi nhiễu trắng, bớc ngẫu nhiên
cùng với đồ thị tơng quan đối với chỉ số chứng
khoán thị trờng Tôkyô và lãi suất của ngân hàng
Anh đợc trình bày dới đây:
Hình 10a: Đồ thị tơng quan chuỗi Nhiễu trắng
Hình 10b: Đồ thị tơng quan bớc ngẫu nhiên
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội So sánh 2 đồ thị trên, đối với chuỗi dừng nhiễu
trắng ACF xấp xỉ giá trị 0 với mọi độ trễ lớn hơn không
Hình 13: Đồ thị tơng quan - lãi suất qua đêm tại Anh
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
8. Kiểm định bậc liên kết dickey - fuller
Bên cạnh kiểm định bằng hệ thống đồ thị rất hữu
ích về mặt trực quan, thực hiện các phép kiểm định
thông dụng cho tính chất của chuỗi số liệu cũng rất
quan trọng. Kiểm định đợc sử dụng rộng rãi nhất cho
giả thuyết H
0
: 'chuỗi số I(1)' là kiểm định Dickey - Fuller
(DF) (còn gọi là kiểm định nghiệm đơn vị).
Chúng ta nghiên cứu về chuỗi không dừng tập trung
vào dạng: có đờng xu thế - bớc ngẫu nhiên lệch và
chuỗi dừng có xu thế - và dạng không có xu thế - dạng
bớc ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ xem xét 2 phép kiểm định
là
tổng của đờng xu thế xác định và một chuỗi dạng dừng
AR(1) và vì vậy, X
t
là chuỗi dừng có xu thế. Trớc tiên,
chúng ta loại bỏ những phần tử nhiễu không quan sát
đợc u
t
và sau đó, từ phơng trình nhận đợc cho thấy
nếu = 1 thì X
t
là chuỗi bớc ngẫu nhiên lệch. Hai
phơng trình này sẽ tiến hành biến đổi theo 3 bớc cần
thiết.
Kinh tế lợng nâng cao
Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Bớc 1: Phần tử nhiễu u
t
có thể biểu diễn theo X
t
bằng
cách chuyển vế phơng trình (1):
u
1
= X
t
- a
0
-
+
(1-) t + X
t - 1
+ v
1
(4)
Bớc 3: Trừ cả 2 vế cho X
t - 1
, ta có:
X
t
= a
0
(1-) +
+
(1-) t + ( -1) X
t - 1
+ v
1
(5)
Hay: X
t
= + t + X
t 1
+ v
nh sau:
Copyright: Tài liệu đại học ©