SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM VIỆC
VỚI PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHO
HỌC SINH A- Mở đầu

I- Lý do chọn đề tài
Phương trình mũ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán học ở
phổ thông . Rất nhiều đề thi , đặc biệt là đề thi Đại học , cao đẳng khai thác vấn đề
này . Trong khi đó do thời gian có hạn nên SGK mới chỉ dừng lại ở các dạng bài
tập cơ bản , mặc dù SGK cũng có sự phân loại song số lượng bài tập để học sinh
tự rèn luyện rất ít và chưa phong phú Vì vậy, để giúp học sinh đỡ lúng túng khi
gặp những bài toán về phương trình mũ , tôi đưa ra một số bài tập đã được phân
loại cùng với phương pháp giải các loại bài tập này.

II- Nhiệm vụ của đề tài
Thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại cùng với phương pháp giải
các dạng bài tập đó , thì nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần
giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng làm việc với
phương trình mũ. Đó là các kỹ năng sau:

đổi để đưa phương trình mũ đã cho về một trong hai dạng đơn giản nhất là :

1) a
x
= a
b
( 0 < a ¹ 1)
Û x = b

2) a
x
= c
Û x = log
a
c ( 0 < a ¹ 1 , c > 0 )
Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ là :

I - Biến đổi hai vế của phương trình về những lũy thừa có cùng cơ số :

a = 1
¦(x) & g(x) có nghĩa
a
¦(x)
= a
g(x)
Û
0 < a ¹ 1
¦(x) = g(x)

a) Ví dụ : Giải các phương trình sau:


Þ Đối với những phương trình có dạng a
¦(x)
= 1 ( 0 < a ¹ 1) ta có
phương trình tương đương với phương trình trên là : ¦(x) = 0
2) 32 = 0,25 . 128

Nhận thấy : 32 = 2
5
; 0,25 = = 2
– 2
; 128 = 2
7
Vì thế 2) Û 2 = 2
–2
. 2 Û 2 = 2 Û =
-
2

5(x + 5)

x
-

7

7( x +17 ) – 2( x –3
)

x
-

3

x - 3
x - 1
x + 1
x + 3
x - 3
x - 1
x + 1
x + 3
x - 3
x - 1
x + 1
x + 3

5) (x + 1) = 1
x + 1 = 1 x = 0
x – 3 ³ 0 x ³ 3
Û Û Û x = 3
0 £ x + 1 ¹ 1 - 1< x ¹ 0
x – 3 = 0 x = 3

6) 8.3
x
+ 3. 2
x
= 24 + 6
x

Û 8 ( 3
x
– 3 ) + 2
x
(3 – 3
x
) = 0
Û ( 3
x
– 3 ) (8 - 2
x
) = 0
Û 3
x
= 3 Û x = 1
2

{

{

{

{

Ö
x- 3
{

{
{

{
Ö
4 – x
2
4) x
2
. 2
x
+ 8 = 2. x
2
+ 2
x+ 2

a) Ví dụ : 5
x
= 3 Rõ ràng đây là phương trình không thể đưa về
cùng một cơ số được . Vậy ta logarit hóa 2 vế với cơ số 3 ta được :

log
3
5
x
= log
3
3 Txđ R

Û x. log
3
5 = x
2

Û x ( x – log
3
5 ) = 0

Û x = 0
x = log
3
5

2) 2 . 3
x
= 1,5

2

x
2

x
2

x
2
-

2x

x
2
-

2x

x
2
- 2x + 1

Û x - 1 = 0 Û x = 1
x – 1 + log
2
3 = 0 x = 1 – log
2
3

3) 2
3x
. 3
x
– 2 . 3 = 192

Û 2
3x
. 3
x
( 1- ) = 2
6
. 3

Û 2
3x
. 3 = 2
6
. 3

Û 2 = 3

Û 3x – 6 = (2 – x ) log
2
3
Þ Tìm được x 4) x = 10 ĐK : x > 0
x ¹ 1


x
-
1

3x -6
2 - x

1

lg x
{

1
lg x
x +1

x +2

x +2

x +1x

x +2
2
-


Þ a
2x
= t
2
, a
3x
= t
3
.
Þ Giải phương trình tìm t Þ tìm được x.
Ví dụ : Giải các phương trình sau:

1) 2 . 16
x
– 15 . 4
x
– 8 = 0
Û 2 . 4
2x
– 15 . 4
x
– 8 = 0
Đặt : 4
x
= t > 0
Þ 1) có dạng : 2. t
2
– 15. t - 8 = 0
Þ Từ đây ta có tìm được t Þ tìm được x.



Þ 3) có dạng : 2.t
2
–5.t – 12 = 0

Þ Tìm được t Þ tìm được x * Bài tập tương tự tự giải :

(
10
Ö 3
)
x

3
x+Ö x
2
- 2

x-1+Ö x
2
- 2

x+Ö x
2
- 2

x+Ö x

– 3 . 4
x
– 3 . 2 + 8 = 0

b) Nếu phương trình có dạng : a. a
x
+ b. b
x
+ g.c
x
= 0
Trong đó : a.c = b
2
thì chia 2 vế cho a
x
hoặc c
x
rồi đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải phương trình :

6 . 9
x
– 13 . 6
x
+ 6 . 4
x
= 0 (*)
Giải : Ta thấy : 9.4 = 36 = 6
2
nên

x
+ 50
x
= 2

3) 3 + 4. 15 = 3. 5

c) Nếu phương trình có dạng : a. a
x
+ b. b
x
+ c = 0
Trong đó : a
x
. b
x
= 1 thì :
Cách 1 : Đặt a
x
= t > 0 Þ b
x
=

Cách 2 : Đặt a
x
= U > 0
b
x
= V > 0
khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ : U > 0 , V > 0

9
4

6
4

3
2

3
2

3
2

3x

+ 12x
2
+6x

-
9x
2

x
. ( 5 - Ö 24 )
x
= 1
Cách 1 : Đặt ( 5 +Ö 24 )
x
= t > 0

Þ 1) có dạng : t + = 10

Û t
2
– 10 .t + 1 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x.
Cách 2 : Đặt ( 5 +Ö 24 )
x
= U > 0
( 5 - Ö 24 )
x
= V > 0
Þ 1) Û U.V = 1
U + V = 10
Þ Giải hệ tìm được U , V Þ tìm được x.

2) ( 7 +4Ö 3 )
x
– 3.( 2 - Ö 3 )
x
+ 2 = 0
Ta thấy : 7 +4Ö 3 = ( 2 + Ö 3 )
2

Û 1 £ t £ 2

Þ 2 =

1

t

{
3

t

Sin
2

x

Cos
2

x

Sin
2
x
Cos
2
x
Cos

2
Û
2 = V Î [ 1 ; 2 ] U +
4.V = 6 Từ hệ trên có thể tìm U Î [ 1 ; 2 ]
V Î [ 1 ; 2 ]

* Bài tập tương tự tự giải :

1) ( 2 + Ö 3 )
x
+ ( 2 - Ö 3 )
x
- 4 = 0

2) ( 7 +3Ö 5 )
x
+ 7.( 7 - 3Ö 5 )
x
= 2
x+ 3

3) ( 5 - Ö 21 )
x
+ 7.( 5 + Ö 21 )
x
= 2
x+ 3

+ + 2
x
+ = 10

Đặt : 2
x
+ = t ³ 2 ( BĐT Côsi)

Þ 1) có dạng : t
2
- 2 + t = 10
Sin
2

x

Cos
2

x

1
a
x
1
a
2x
1
a
3x
Û 2
3x
- - 6 . (2
x
- ) = 1 Đặt : 2
x
- = t (Lập phương trình 2 vế ) Þ 2
3x
- 3. 2
x
.2 + 3. - = t
3
Þ 2
3x
- = t
3
+ 6.( 2
x
- = t

là nghiệm duy nhất của
phương trình. Hoặc có thể dựa vào 2 mệnh đề sau:
· Mệnh đề 1 : Nếu trên Txđ D của phương trình ta có :
¦(x) luôn đẳng biến trên D
g(x) luôn nghịch biến trên D
$ x
0
Î D : ¦(x) = g(x)
Þ x
0
là nghiệm duy nhất của phương trình ¦(x) = g(x)
1
2
3(
x –
1)

12
2
x
8
2
3x
2
2
x
2
2
x
4

x
= 5
xÛ ( )
x
+( )
x
= 1

Cách 1 : - Có x = 2 là 1 nghiệm của phương trình .

+ Với x < 2 Þ ( )
x
> ( )
2 ( )
x
> ( )
2Þ Vế trái > 1 Þ Với x < 2 không thỏa mãn phương trình .

+ Với x > 2 Þ ( )
x
< ( )

2) x
2
– (3 – 2
x
). x + 2( 1- 2
x
) = 0
Có : D = ( 2
x
+ 1 )
2

Þ x = 2
x = 1- 2
x
(*)
{

4
5

3
5

4
5

4
5


3
5 (*) Û 2
x
= - x + 1
Thấy : x = 0 thoả mãn (*)
- Có : ¦(x) = 2
x
đồng biến trên R
- Có : g(x) = - x + 1 nghịch biến trên R
Þ x = 0 là nghiệm ! của phương trình (*)
Vậy phương trình 2 ) có 2 nghiệm là x = 2
x = 0

* Bài tập tương tự tự giải :

1) 9
x
+ 2 ( x – 2 ).3
x
+ 2x – 5 = 0

2) 3. 5
2x + 1
- 7. 2
4 x + 1
= 19


2
x – 1
– 2 £ 0 vì x – 1 £ x
2
- x nên 2
x – 1
£ 2
Û x
2
- 2.x + 1 ³ 0
Vậy 1) Û ( x – 1 )
2
= 0
Û x = 1
2
x – 1
– 2 = 0

x
2
-
x

}

{
Þ VP = VT Û
x
2
-x

2
£ 1 Þ VP £ 2

VT = 2
x
+ ³ 2 (BĐT Côsi)

2
x
+ = 2 2
x
= 2
- x

Þ 2 ) Û Û
Cos
2
= 1 = k.Õ (k Î Z )

x = 0
Û Û x = 0
= k.Õ

3) 4
S in x
– 2
1+Sin x
. Cos(xy) + 2
y
= 0

y
– Cos
2
(xy) = 0

2
Sin x
- Cos(xy) = 0 (1)
Û 2
y
= 1 (2)
Cos
2
(xy) = 1 (3)

Từ (2) Þ y = 0 thỏa mãn (3) và lúc đó (1) trở thành : 2
Sin x
= Cos xy =
1
Û Sin x = 0 Û x = k.Õ (k Î Z )
Þ Vậy phương trình có nghiệm là : x = k.Õ
y = 0

x
2
+ x
6

1
2

Với
"
x ,y

* Bài tập tương tự tự giải :

1) 2
x
+ 2
– x
= 2. Cos

2) 2 = ( VP ³ 4 ; VT £ 4) VI- phương trình mũ có chứa tham số

- Phương trình mũ có chứa tham số ta thường gặp một số dạng sau :
+ Giải và biện luận.
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm duy
nhất , có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình.
Đối với các dạng này ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình mũ đã cho
về những phương trình đại số đơn giản hơn rồi từ yêu cầu bài toán ta đưa về điều
kiện tương đương đối với phương trình đại số rồi giải quyết các điều kiện tương
đương đó.
- Ví dụ :
1)Xác định m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu :
m.4
x

sao cho x
1
+ x
2
=3
4
x
– m. 2
x+1
+ 2.m = 0 (2)
Đặt : 2
x
= t > 0 Þ (2) có dạng :
¦(x) = t
2
- 2m. t + 2.m = 0 (*)
x
3

tg
2
(xy) + cotg
2
(xy)
4
log
2
(4.x
2
– 4.x +

1
< t
2

t
1
. t
2
= 8
D
’
> 0
a. ¦(0) > 0

Û 0 < Þ Giải tìm được m

= 8

* Bài tập tương tự tự giải :
1) Cho phương trình : m.4
x
– 2(m + 1).2
x
+ m + 4 = 0
Xác định m để : a) Phương trình có nghiệm
b) Phương trình có nghiệm duy nhất
c) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x
1
, x
2

) (1+a
4
)

Û 1 - a
x + 1
= (1- a
2
) (1+a
2
) (1+a
4
) = 1- a
8

Û x + 1 = 8
Û x = 7
2) a
x
+ ( b + 1 )
x
= b
x
+ ( a + 1 )
x
( a ; b > 0 )
Û ( a + 1 )
x
- a
x

a
(*)
Xét hàm ¦(t) = ( t + 1 )
a
- t
a
với t > 0 (ở đây xem như a đã biết)
Từ (*) Þ ¦(a) = ¦(b)
Giả sử a > b . Theo định lý Lagrăng có $ t
0
Î (a ; b) sao cho ¦
‘
(t
0
) = 0
Û a.( t
0
+ 1 )
a - 1
- a.t
0
a - 1
= 0
Û a = 0
( t
0
+ 1 )
a - 1
- t
0

2

Þ V – U = (x – 1)
2

2
U
– 2
V
= (x – 1)
2

Þ 2
U
– 2
V
= V – U
Û 2
U
+ U = 2
V
+ V
Xét hàm ¦(t) = 2
t
+ t trên R ta có :
¦
‘
(t

) = 2

góp ý của các bạn đồng nghiệp để bản sáng kiến này được hoàn chỉnh hơn .
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
Hạ long , ngày tháng năm 2007
Người viết Nguyễn Thị Tiến Lộc