Môc lôc
i
ii
Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo
chúng tôi) hay nhất thế giới .
Trước đây, hầu hết những ngườilàmtoáncủaViệtNamthườngsửdụnghaicuốn
sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ được dịch ra tiếng Việt):
1.
Bài tập giải tích toán học
của Demidovich (
B. P. Demidoviq; 1969,
Sbornik Zadaq i Upraẳneniái po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo
"Nauka", Moskva
)
và
2.
Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập
của Ljaszko, Bojachuk, Gai,
Golovach (
I. I. Lxko, A. K. Boquk, . G. Ga
á
, G. P. Golobaq; 1975, Matem-
atiqeski
á
Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa
Xkola
).
để giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời
giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác.

Real Numbers, Sequences and Series
, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analysis II,
Continuity and Differentiation
,AMS,2001.
Sáchnàycócácưuđiểmsau:
Các bài tập được xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.
Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
Kết hợp được những ý tưởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại.
Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng như,
American Mathemati-
cal Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta
(tiếng Balan)
. Vìthế,sáchnàycóthểdùnglàmtàiliệuchocáchọcsinh
phổ thông ở các lớp chuyên cũng như cho các sinh viên đại học ngành toán.
Cáckiếnthứccơbảnđểgiảicácbàitậptrongsáchnàycóthểtìmtrong
5. Nguyễn Duy Tiến,
Bài Giảng Giải Tích, Tập I
, NXB Đại Học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
6. W. Rudin,
Principles of Mathematical Analysis
,McGraw-HilBook
Company, New York, 1964.
Tuyvậy,trước mỗi chương chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc
nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chương tương ứng.
Lời nói đầu v
Tập I và II của sách chỉ bàn đến
hàm số một biến số

+
-tậpcácsốthựcdương
Z - tập các số nguyên
N - tập các số nguyên dương hay các số tự nhiên
Q -tậpcácsốhữutỷ
(a; b) -khoảngmởcóhaiđầumútlàa và b
[a; b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
[x] - phần nguyên của số thực x
Với x 2 R,hàmdấucủax là
sgn x =
8
>
<
>
:
1 với x>0;
Ă1 với x<0;
0 với x =0:
Với x 2 N,
n!=1Â 2Â 3 Â ::: Â n;
(2n)!! = 2 Â 4 Â 6 Â ::: Â (2n Ă 2) Â (2n);
(2n Ă 1)!! = 1 Â 3 Â 5 Â ::: Â (2nĂ 3) Â (2n Ă 1):
Ký hiệu
Ă
n
k
Â
=
n!
k!(nĂk)!

Cho S là tập các điểm tụ của dy fa
n
g.Cậndưới đúng và cận trên đúng của
dy,kýhiệulầnlượt là lim
n!1
a
n
và lim
n!1
a
n
được xác định như sau
lim
n!1
a
n
=
8
>
<
>
:
+1 nếu fa
n
g không bị chặn trên;
Ă1 nếu fa
n
g bị chặn trên và S = ;;
sup S nếu fa
n

6=0với n á n
0
và
dy fa
n
0
a
n
0
+1
 :::  a
n
0
+n
g hội tụ khi n !1tới một giới hạn P
0
6=0.Số
P = a
n
0
a
n
0
+1
 ::: a
n
0
+n
 P
0

kéo theo
f(x
1
) f(x
2
)
(tương ứng
f(x
1
) <f(x
2
)
,
f(x
1
) á f(x
2
)
,
f(x
1
) >f(x
2
)
). Hàm tăng hay giảm
(tương ứng, tăng thực sự hay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tương ứng,
đơn điệu thực sự)
Định nghĩa 2. Tập
(aĂ "; a + ")nfag
,ởđây

á
;a;b>0;
(d)
lim
x!0
[x]
x
;
(e)
lim
x!1
x(
p
x
2
+1Ă
3
p
x
3
+1);
(f)
lim
x!0
cos(
ẳ
2
cos x)
sin(sin x)
:

(f(x)+
1
f(x)
)=2
.
Chứng minh rằng
lim
x!0
f(x)=1
.
1.1.4.
Giả sử
f
được xác định trên lân cận khuyết của
a
và
lim
x!a
(f(x)+
1
jf(x)j
)=
0
.Tìm
lim
x!0
f(x)
.
1.1.5.
Chứng minh rằng nếu

lim
x!0
+
(x([
1
x
]+[
2
x
]+ÂÂÂ+[
k
x
]));k2 N
.
1.1.7.
Tính
lim
x!1
[P (x)]
P (jxj)
,ởđây
P (x)
làđathứcvớihệsốdương.
1.1.8.
Chỉrabằngvídụrằngđiềukiện
lim
x!0
(f(x)+f(2x)) = 0(Ô)
không suy ra
f

f(x)
không tồn tại.
(b) Chứng minh rằng nếu trong một lân cận khuyết của
0
, các bất đẳng
thức
f(x) ájxj
đ
;
1
2
<đ<1;
và
f(x)f(2x) ájxj
được thoả mn, thì
lim
x!0
f(x)=0
.
5
1.1.10.
Cho trước số thực
đ
,giảsử
lim
x!1
f(ax)
x
đ
= g(a)

a>1
và
đ 2 R
thì
(a)
lim
x!1
a
x
x
=+1;
(b)
lim
x!1
a
x
x
đ
=+1:
1.1.13.
Chứng minh rằng nếu
đ>0
,thì
lim
x!1
ln x
x
đ
=0
.-

ả
x
= e;
(c)
lim
x!1
(1 + x)
1
x
= e:
1.1.16.
Chứng minh rằng
lim
x!0
ln(1+x)=0
. Dùng đằng thức này, suy ra hàm
logarit liên tục trên
(0;1)
.
1.1.17.
Tính các giới hạn sau :
(a)
lim
x!0
ln(1 + x)
x
;
(b)
lim
x!0

lim
x!0
(cos x)
1
sin
2
x
;
(d)
lim
x!1
(e
x
Ă 1)
1
x
;
(e)
lim
x!0
(sin x)
1
ln x
:
6 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.1.19.
Tìm các giới hạn sau:
(a)
lim
x!0

(1 + x
2
)
cotg x
:
1.1.20.
Tính
(a)
lim
x!1
(tg
ẳx
2x +1
)
1
x
;
(b)
lim
x!1
x(ln(1 +
x
2
) Ă ln
x
2
):
1.1.21.
Giả sử rằng
lim

= e

.Trường hợp
= 1
hoặc
= Ă1
,tagiảsử
e
1
= 1
và
e
Ă1
=0
.
1.1.22.
Biết rằng
lim
x!0
f(x)=1
và
lim
x!0
g(x)=1
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!0
g(x)(f(x) Ă 1) =
,thì
lim

x
2
sin
1
x
4

e
1
x
2
,
(c)
lim
x!0

1+e
Ă
1
x
2
arctg
1
x
2
+ xe
Ă
1
x
2

lim
x!1
f(x)
có tồn tại không ?
1.1.26.
Cho
f :[0; +1) ! R
là hàm sao cho với mọi
a á 0
và mọi
b>0
,
dy
ff(a + bn)g;aá 0;
hội tụ tới không. Hỏi giới hạn
lim
x!1
f(x)
có tồn tại
không ?
7
1.1.27.
Chứng minh rằng nếu
lim
x!0
f(x)=0
và
lim
x!0
f(2x)Ăf(x)

f
xác định trên
(a; +1)
,bịchặndưới trên mỗi khoảng hữu
hạn
(a; b) ;a < b
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!+1
(f(x +1)Ă f(x)) = +1
,thì
lim
x!0
f(x)
x
=+1
.
1.1.30.
Cho
f
xác định trên
(a; +1)
, bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ;a<b
. Nếu với số nguyên không âm
k
,
lim
x!+1
f(x+1)Ăf(x)

x!+1
f(x+1)
f(x)
tồn tại, thì
lim
x!+1
f(x)
1
x
cũng tồn tại và
lim
x!+1
(f(x))
1
x
= lim
x!+1
f(x +1)
f(x)
:
1.1.32.
Giả thiết rằng
lim
x!0
f

Ê
1
x
Ô

x!0
f
Ă
x
Ă
1
x
Ă
Ê
1
x
ÔÂÂ
=0
,thì
lim
x!0
f(x)=0
.
1.1.35.
Chứng minh rằng nếu
f
đơnđiệutăng(giảm)trên
(a; b)
,thìvới
mọi
x
0
2 (a; b)
,
(a)

Ă
0
)= inf
x<x
0
f(x));
(c)
f(x
Ă
0
) f(x
0
) f(x
+
0
)(f(x
Ă
0
) á f(x
0
) á f(x
+
0
))
.
1.1.36.
Chứng minh rằng nếu
f
đơnđiệutăngtrên
(a; b)

f
có giới hạn hữu hạn
khi
x ! a
, điều kiện cần và đủ là với mọi
">0
tồn tại
>0
sao cho
jf(x)Ă f(x
0
)j <"
bất cứ khi nào
0 < jx Ă aj <
và
0 < jx
0
Ă aj <
. Lập công
thức và chứng minh điều kiện cần và đủ tương tự để
lim
x!1
f(x)
tồn tại.
1.1.38.
Chứng minh rằng nếu
lim
x!a
f(x)=A
và

,nhưng
lim
x!a
g(f(x)) 6= B
.
1.1.40.
Giả sử
f : R ! R
là hàm tăng và
x 7! f (x)Ă x
có chu kì
1
.Kíhiệu
f
n
là phép lặp thứ
n
của
f
;tứclà,
f
1
= f
và
f
n
= f f
nĂ1
với
n á 2

f(0) > 0
và
p
là số nguyên dương cố định. Kí hiệu
f
n
là phép lặp
thứ
n
của
f
.Chứngminhrằngnếu
m
p
là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
f
m
p
(0) > 0
,thì
p
m
p
lim
n!1
f
n
(0)
n


tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi
x 2 R
,ởđây
f
n
kí
hiệu phép lặp thứ
n
của
f
.
9
1.2 Các tính chất của hàm liên tục
1.2.1.
Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm
f
xác định bởi
f(x)=
(
0
nếu
x
vô tỷ,
sinjxj
nếu
x
hữu tỷ.
1.2.2.
Xácđịnh tập các điểm liên tục của hàm
f

nếu
x = p=q; p 2 Z;q2 N
,và
p; q
nguyên tố cùng nhau,
(b)
f(x)=
8
>
<
>
:
jxj
nếu
x
vô tỷ hoặc
x =0
,
qx=(qx +1)
nếu
x = p=q; p 2 Z;q2 N
,và
p; q
nguyên tố cùng nhau,
(Hàm định nghĩa ở
(a)
được gọi là hàm Riemann.)
1.2.4.
Chứng minh rằng nếu
f 2 C([a; b])

Cho
f(x)=[x
2
]sinẳx
với
x 2 R
. Nghiên cứu tính liên tục của
f
.
1.2.7.
Biết
f(x)=[x]+(x Ă [x])
[x]
với
x á
1
2
:
Chứng minh rằng
f
liên tục và tăng thực sự trên
[1;1)
.
10 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.2.8.
Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng
(a)
f(x) = lim
n!1
n

(d)
f(x) = lim
n!1
n
q
4
n
+ x
2n
+
1
x
2n
;x6=0;
(e)
f(x) = lim
n!1
2n
p
cos
2n
x +sin
2n
x; x 2 R:
1.2.9.
Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
liên tục và tuần hoàn thì nó có giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1.2.10.

)j =inffjP (x)j : x 2 Rg
.
1.2.11.
(a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên
[0; 1]
nhưng không có giá trị nhỏ nhất,
cũng không có giá trị lớn nhất.
(b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên
[0; 1]
nhưng không có giá trị nhỏ nhất
trên mọi đoạn
[a; b] ẵ [0; 1];a<b
.
1.2.12.
Cho
f : R ! R;x
0
2 R
và
>0
,đặt
!
f
(x
0
;)=supfjf(x) Ă f(x
0
)j : x 2 R; jx Ă x
0
j <g

x 2 [a; b]
,đặt
h(x)=minff(x);g(x)g
và
H(x)=maxff(x);g(x)g
. Chứng minh rằng
h; H 2 C([a; b])
.
(b) Cho
f
1
;f
2
;f
3
2 C([a; b])
và với
x 2 [a; b]
,đặt
f(x)
là một trong ba giá trị
f
1
(x);f
2
(x)
và
f
3
(x)

(x)=infff(): 2 [a; x]g
và
M
Ô
(x)=supff(): 2 [a; x]g
có liên tục trái trên
(a; b)
hay không ?
1.2.17.
Giả sử
f
liên tục trên
[a;1)
và
lim
x!1
f(x)
hữu hạn. Chứng minh rằng
f
bị chặn trên
[a;1)
.
1.2.18.
Cho
f
là hàm liên tục trên
R
và đặt
fx
n

là dy bị chặn.
Chứng minh rằng
12 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
(a)
lim
n!1
f(x
n
)=f(lim
n!1
x
n
);
(b)
lim
n!1
f(x
n
)=f( lim
n!1
x
n
):
1.2.20.
Cho
f : R ! R
là hàm liên tục, giảm và gọi
fx
n
g

lim
x!1
f(x)=+1
.Xác
định
g
bằng cách đặt
g(x)=supft : f(t) <xg
với
x 2 R:
(a) Chứng minh rằng
g
liên tục trái.
(b)
g
có liên tục không ?
1.2.22.
Cho
f : R ! R
là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kì không thông
ước
T
1
và
T
2
; tức là
T
1
T

là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản và nếu nó liên tục tại ít nhất một điểm, thì nó là hàm hằng.
1.2.25.
Chứng minh rằng nếu
f;g : R ! R
là hàm liên tục, tuần hoàn và
lim
x!1
(f(x) Ă g(x)) = 0
thì
f = g
.
1.2.26.
Cho ví dụ hai hàm tuần hoàn
f
và
g
sao cho mọi chu kì của
f
không
thông ướcvớimọichukìcủa
g
và sao cho
f + g
(a) không tuần hoàn,
(b) tuần hoàn.
1.2.27.
Cho
f;g : R ! R
là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lượt với chu

Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu
f : R !
R
không quá đếm được.
1.2.30.
Giả sử
f
liên tục trên
[0; 1]
. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
n
n
X
k=1
(Ă1)
k
f(
k
n
)=0:
1.2.31.
Cho
f
liên tục trên
[0; 1]
. Chứng minh rằng
lim

x!1
f(x)
tồn tại (hữu
hạn hoặc vô hạn).
1.2.33.
Hàm
f
xác định trên khoảng
I ẵ R
được gọi là lồi trên
I
nếu
f(áx
1
+(1Ă á)x
2
) áf(x
1
)+(1Ă á)f(x
2
)
với mọi
x
1
;x
2
2 I
và
á 2 (0; 1)
.Chứngminhrằngnếu

hoặc
f(b) <v<f(a)
;tứclà,nếu
v
nằm giữa
f(a)
và
f(b)
,thìtồntại
c
nằm giữa
a
và
b
sao cho
f(c)=v
.
1.3.1.
Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng
I
nhưng không liên tục trên khoảng này.
1.3.2.
Chứng minh rằng hàm tăng thực sự
f :[a; b] ! R
có tính chất giá trị
trung gian thì liên tục trên
[a; b]
.
1.3.3.
Cho

0
)=g(x
0
)
.
15
1.3.5.
Cho
f : R ! R
liên tục và tuần hoàn với chu kì
T>0
. Chứng minh
rằng tồn tại
x
0
sao cho
f
à
x
0
+
T
2
ả
= f(x
0
):
1.3.6.
Hàm
f :(a; b) ! R

có ít nhất một
nghiệm trong
(0; 1)
.
(b) Với đa thức khác không
P
, chứng minh rằng phương trình
jP (x)j = e
x
có ít nhất một nghiệm.
1.3.8.
Với
a
0
<b
0
<a
1
<b
1
< ÂÂÂ <a
n
<b
n
, chứng minh rằng mọi nghiệm
của đa thức
P (x)=
n
Y
k=0

x
2
trong
[0; 2]
sao cho
x
2
Ă x
1
=1
và
f(x
2
)=f(x
1
):
Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên.
1.3.11.
Cho
f 2 C([0; 2])
. Chứng minh rằng tồn tại
x
1
và
x
2
trong
[0; 2]
sao
cho

[0;n]
thoả mn
x
2
Ă x
1
=1
và
f(x
2
)=f(x
1
):
1.3.13.
Hàm liên tục
f
trên
[0;n];n2 N
,thoảmn
f(0) = f(n)
. Chứng minh
rằng với mọi
k 2f1; 2;::: ;nĂ 1g
, tồn tại
x
k
và
x
0
k

0
k
sao cho
f(x
k
)=f(x
0
k
)
,ởđây
x
k
Ă x
0
k
= k
?
1.3.14.
6
Với
n 2 N
,gọi
f 2 C([0;n])
sao cho
f(0) = f(n)
. Chứng minh rằng
phương trình
f(x)=f(y)
có ít nhất
n

g
2
(x)=g(g(x))
).
Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục của
f
và
g
trong bài toán trên
không thể bỏ qua.
1.3.16.
Chứng minh rằng đơn ánh liên tục
f : R ! R
thì hoặc tăng thực sự,
hoặc giảm thực sự.
1.3.17.
Giả sử
f : R ! R
là dơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại
n
sao cho phép lặp thứ
n
của
f
là ánh xạ đồng nhất, tức là,
f
n
(x)=x
với
mọi

n 2 N
sao cho
f
n
(x)=Ăx; x 2 R
,ởđây
f
n
kí hiệu phép lặp thứ
n
của
f
.
17
1.3.20.
Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
có tính chất giá trị trung gian và
f
Ă1
(fqg)
đóng với mọi
q
hữu tỷ, thì
f
liên tục.
1.3.21.
Giả sử
f :(a;1) ! R
liên tục và bị chặn. Chứng minh rằng, với

liên tục và đơnđiệuthựcsựtừngmảnh.(Hàm
f
gọi là đơn điệu thực sự từng mảnh trên
[0; 1]
, nếu tồn tại phân hoạch của
[0; 1]
thành hữu hạn khoảng con
[t
iĂ1
;t
i
]
,ởđây
i =1; 2;::: ;n
và
0=t
0
<t
1
<
ÂÂÂ<t
n
=1
, sao cho
f
đơnđiệutrênmỗikhoảngconđó.)Chứngminhrằng
f
nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần.
1.3.24.
Hàm liên tục

0
)g
hội tụ.
1.3.26.
Hàm
f : R ! R
liên tục, tăng sao cho
F
xác định bởi
F (x)=f(x)Ă x
tuần hoàn với chu kì
1
. Chứng minh rằng nếu
đ(f) = lim
n!1
f
n
(0)
n
,thìtồntại
x
0
2 [0; 1]
sao cho
F (x
0
)=đ(f)
. Chứng minh thêm rằng
f
có điểm bất động