www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
1

Bài 1: Cho hai đường tròn (
1
S
) và (
2
S
) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A
sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.

GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán .


* Cách dựng:
Dựng
1
( ')
S

1 1
( ) ( ')
A
S S
=
Ñ1 2
( ') ( )
S S C
∩ =
( khác A )
Nối AC
Dựng
1
( )
AC S B
∩ =

Ta có ABC là đường thẳng cần dựng.

* Chứng minh: AB = AC,thật vậy:
Chứng minh:
1
ACS
∆
cân tại
'
1
S

1
'
S
⇒
=
180

-

'
1
2
CAS

Mà:

1
BAS
=


S
,
2
( )
S
cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.

Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi
các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm
trung điểm.

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán .
Với B
∈
( )
O
, C
∈

( )
l
, AB = AC

=
Đ
( )
A
l

D
ự
ng B =
'
( ) ( )
l O
∩

N
ố
i BA
D
ự
ng C = BA
( )
l
∩

Ta
đượ
c
đườ
ng th
ẳ

ầ
n l
ượ
t t
ạ
i H, K.
Ch
ứ
ng minh
ACH
∆
=
ABK
∆

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
3

Ta có:






1
( )
( )


* Biện luận: (l’) =
Đ
( )
A
l

Nếu
'
(l )
tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm . Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần
lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm. GIẢI

* Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán.

=
Ñ

Dựng
' '
E B C AB
= ∩

Nối DE
Dựng E’=BC
∩
DE
Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng.

* Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì:
Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’.
Suy ra DH = DH’ (1)
Mà
'
DE H
∆
đồng dạng
'
DEH
∆
, Vì:





Bài 4:Cho hai đường tròn (O
1
), (O
2
) có giao điểm A. Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai
đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước.

GIẢI
* Phân tích:
Gi
ả
s
ử

đ
ã d
ự
ng
đượ
c
đườ
ng th
ẳ
ng qua A và AB – AC = a (a cho tr
ướ
c).


2
) là d =
2
a
( vì
'
2 2 2
AB AC a
− =
).
Suy ra (l
2
) là tiếp tuyến của đường tròn (O
1
;
2
a
).
* Cách dựng:
Dựng
'
2 2
( ) ( ) ' ( )(1)
A A
O O C C= ⇒ =Ñ Ñ

Dựng
1
( ; )
2

C l O
= ∩
Ta có đường thẳng BAC cần dựng.

*Chứng minh: AB – AC = a
Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’
Chứng minh: AB – AC’ = a
Ta có: d =
2
a'
2 2 2
'
AB AC a
AB AC a
⇔ − =
⇔ − =

Vậy: AB - AC = a

*Biện luận:
Nếu (O
1
) tiếp xúc (O
2
) thì có 1 nghiệm hình.
Nếu (O
1
*Phần thuận:
Gọi I là trung điểm BC.
A’ đối xứng của A qua O
Suy ra:


' ' 90
ABA ACA= =


Ta có:
'
' / /
' à ình ình ành.
'
/ / '
AB A B
A B HC
AB HC
BHCA l h b h
AC A C
BH A C
AC BH
⊥ 

⇒



Ñ
).

*Phần đảo:
Lấy H
∈
(O’;BC) Bài 6: Cho tam giác ABC.Tìm các điểm trong tam giác sao cho 3 điểm đối xứng với nó qua trung
điểm các cạnh tam giác đều thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
7

GIẢI *Phần thuận:



1 1
ì ( ), ên 180
180
V E O n AE B C
AEB C
∈ + =
⇒ = −



Tương tự:


180
AEC B
= −


180
BEC A
= −

.
Vậy E là giao điểm của 3 cung chứa góc (


≡

Chứng minh: E
1
thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi C’ đối xứng với C qua O, C’
∈
(O).
Nhận thấy:


' ' 90
CAC CBC
= =
'
/ / '
à
C A AC
BE C A
M BE AC
⇒
⊥

⇒

⊥


www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
8

Bài 7: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD không cắt nhau, J thuộc CD. Dựng X trên
đường tròn sao cho các dây cung AX, BX chắn trên dây CD đoạn EF nhận J làm trung điểm.

GIẢI

* Phân tích:
XA, XB chắn dây CD tại E, F.
Dựng E’ là điểm sao cho AEJE’ là hình bình hành
F’ là điểm sao cho JFBF’ là hình bình hành
Gọi I là trung điểm AB.
Xét phép đối xứng :
I
J K
→
Ñ

Ta có: AE’ // = F’B
Suy ra:
' '

( )
I
K J
=
Ñ
(1)
Dựng cung chứa góc: (
δ
) nhìn dây JK với góc (

180
ACB
−

) cùng phía với A so với JK. (2)
Dựng (d) qua A và song song CD. (3)
Dựng: E’ = (d)
∩
(
δ
). (4)
Dựng cung chứa góc: (
'
δ
) nhìn dây JK với góc (

180
ACB
−


Mà:
( )
I
K J
=
Ñ

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
9

' '
' '
' '( )
' '
IE IF
IA IB AIE BIF
AIE BIF dd
AE BF

⇒ =

= ⇒ ∆ = ∆


=

E JF ACB
à

= −

⇒ =





Suy ra:


AXB ACB
=
,C
∈
(O) hai góc cùng nhìn cung CB nên X
∈
(O).

* Biện luận:
Số nghiệm hình là số giao điểm của (d) và (
δ
).


2
, B
3
, B
4
, B
5
lần lượt là trung điểm các
cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, A
4
A
5
, A
5
A
1
.
Ta có

Ñ
(2)
Lấy X bất kì trên mặt phẳng.
Giả sử:
3 51 2 4
1 2 3 4 5
B BB B B
X X X X X X
→ → → → →
Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ

Do (2) suy ra:
1
5
A
X X
→
Ñ

Vậy: A
1
là trung điểm XX
5
.

* Cách dựng:
Lấy X bất kì thuộc mặt phẳng.
Dựng:
1

5
4 5
B
X X
→
Ñ

Dựng A
1
: A
1
là trung điểm XX
5

Dựng: A
2

1
1 2
B
A A
→
Ñ

A
3

2
2 3
B

1
A
2
A
3
A
4
A
5
cần dựng .

* Chứng minh: B
5
là trung điểm A
1
A
5

Theo phép dựng: A
1
là trung điểm XX
5

⇒

1 1 5
XA A X
=
 


2 1 2 3 4 3 4 5
A X X A A X X A
= = =
   

Suy ra:
4 5 1 5
X A A X
=
 

Vậy: X
4
A
5
X
5
A
1
là hình bình hành .
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
11

Mà:
5
4 5
B
X X