TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ðÔN
Lần II
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG NĂM 2011
Môn thi: TOÁN, khối A, B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao ñề

Câu I: (2,0 ñiểm)
Cho hàm số
2 4
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là một ñiểm bất kì trên ñồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A,
B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí
của M.
Câu II: (3,0 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y

Câu III: (2,0 ñiểm)
1. Tính tích phân:
2
3
1
l
n 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
.
2. Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau, trong ñó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Câu IV: (2,0 ñiểm)
1. Viết phương trình ñường tròn ñi qua hai ñiểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với ñường
thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0.
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác ñều cạnh
ñáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi
α
là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính
tan
α
và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Câu V: (1,0 ñiểm)

+
. Suy ra hàm số ñồng biến trên các khoảng xác
ñịnh của hàm số.
0.25
-
( )
1
lim 1
x
y x
±
→ −
= ∞ → = −m là tiệm cận ñứng
-
lim 2 2
x
y y
→±∞
= → =
là tiệm cận ngang
0.25
-Bảng biến thiên
0.25



Tiếp tuyến tại M có phương trình:
( )
( )
2
6 2 4
1
1
a
y x a
a
a
−
= − +
+
+

Giao ñiểm với tiệm cận ñứng
1x = −
là
2 10
1;
1
a
A
a
−
 
−
 

+∞
-∞
y
y'
x
x
y
2
-1
-4
2
1
I
www.VNMATH.com
( ) ( )
12 1 1
; 2 1 . .24 12
1 2 2
IAB
IA IB a S IA AB dvdt
a
= = + ⇒ = = =
+

Suy ra ñpcm
II
3
1 Giải hệ …(1,00 ñiểm)

( )

⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + =
+

( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
2 2
1 2 1 0
1 1 2 0
1 3
0 4
x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y
x y x y
⇔ + + − − + − =
⇔ + − + + + − = 
 
+ =
⇔

+ + + =





0.5
2 Giải phương trình….(1,00 ñiểm)

ðk:
cos 0x ≠
(*)
2 2 2
sinx
2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin
4 2 cos
x x x x
x
π
π
   
− = − ⇔ − − = −
   
   

0.25
(
)
2
cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x⇔ − − + ⇔ + − + =
0.25 cos 0
sinx cos tanx 1

)
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + −

ðk:
0x >
www.VNMATH.com
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2 2
3 1 3 5
5
2 2
3 1 5

(
)
2 2 2
5
12
log 1 1 1 5 1 5
5
x x x x x x x+ + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ <
Vậy BPT có nghiệm
12
0;
5
x
 
∈
 
 

0.25
0.25

0.25
2 4 8
e e e
e
x x
I dx x xd x x d x
x
x
+
= = + = + +
+
 
= = −
 
∫ ∫ ∫

0.5 0.5
2 Lập số … (1,00 ñiểm)
-Gọi số cần tìm là
(
)
0abcde a ≠

-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét ñến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:
2
5
A

4
4.
A
= 384
0.25
0.25 0.25 0.25
IV
2
1 Viết phương trình ñường tròn….(1,00 ñiểm)
Gọi
(
)
;I a b là tâm ñường tròn ta có hệ

www.VNMATH.com
( )
(
)
(
)
(




(
)
1 2 3a b⇔ = − thế vào (2) ta có
2
12 20 0 2 10b b b b− + = ⇔ = ∨ =

*) với
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − =
*)với
(
)
(
)
(
)
2 2
10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − =
0.25
OI AI= = =
2 2 2
2 2 2 2
3
' '
3 3
a b a
A O A A AO b
−
= − = − =

2 2
2 3
tan
b a
a
α
−
⇒ =

*)Tính
'. ' 'A BCC B
V
( )
'. ' ' . ' ' ' '.
2 2 2 2 2
1
' . ' .
3
2 3 1 3 3

2
x a y a a
π
 
= = ⇒ ∈
 
 
khi ñó
(
)
(
)
2 2 3 3
sin cos 1 sin .cos
cos sin cos sin
sin cos sina.cos sin .cos
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
ðặt
2
1
sin cos 2 sin sin .cos
4 2
t
t a a a a a

( )
( )
4
2
2
3
' 0 1; 2 2 2
1
t
f t t f t f
t
− −

= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =

−

Vậy
(
( )
(
)
1;
2
min 2 2
t
f t f

∈
