Sở GD & ĐT Hà Tĩnh Đề thi thử đại học lần 2 - năm 2011
Trờng THPT Vũ Quang Môn: toán
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I. phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I (2 điểm). Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
-
( 1 ) có đồ thị ( )C .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1).
2. Chứng minh rằng đờng thẳng ( ) : 2d y x m = + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất .
Câu II (2 điểm). 1. Giải phơng trình:
4 4
sin s 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
x x
+
= -
2. Giải hệ phơng trình:
3 2 1
0
x y x y

3 3 3 1
x y z - - -
+ + =
. Chứng minh rằng:
9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y + + +
+ +
+ +
+ + +
PHầN RIÊNG (Thí sinh đợc chọn một trong hai phần, không bắt buộc chọn phần nào cả)
Theo chơng trình chuẩn.
Câu VIa (2 điểm). 1. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hai đờng
thẳng:
1 2
( ) : 2 2 0 ( ) : 2 3 17 0d x y d x y - + = + - = . Đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của
1
( )d và
2
( )d
cắt hai tia Ox, Oy lần lợt tại A và B. Viết phơng trình đờng thẳng (d) sao cho:
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
2. Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm (1, 2, 1)A - và vuông góc với hai mặt phẳng có
phơng trình
1

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:.
www.laisac.page.tl
Câu
Đáp án vắn tắt
Điể
m
Câu I
2
2. Chứng minh rằng đờng thẳng ( ) : 2d y x m = + luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn
nhất .
. Để đờng thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phơng trình.
1
2
1
x
x m
x
+
= +
-
có hai nghiệm phân biệt với mọi m và
1 2
1x x < <
1 ( 1) (2 )
1
x x x m
x
+ = - +
ỡ

( 1) 16 0
(1) 2 ( 3) 1 2 0
m m
f m m
ỡ
D = + + > "

ớ
= + - - - = - <
ợ
Vậy với mọi giá trị của m thìđờng thẳng ( ) : 2d y x m = + luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau.
. Gọi
1 1 2 2
( 2 ), ( 2 )A x x m B x x m + + là hai điểm giao giữa (d) và (C).(
1 2
x x là hai
nghiệm của phơng trình (*))
Ta có
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
( 2( )) ( ) (2( )) 5( )AB x x x x AB x x x x x x = - - ị = - + - = -
uuur
Theo Vi ét ta có
2
1
5 ( 1) 16 2 5
2
AB m m
ộ ự

5sin 2 2 8sin 2
x
x
x x
-
= -
2
1
8(1 sin 2x) 20 cos 2 x 5
2
- = -
9
cos 2 ( )
2
1
cos 2
2
x loai
x
ộ
=
ờ

ờ
ờ
=
ờ
ở
( )
6

x y x y
ỡ
+ + = +
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ
2 2
( 1) ( 3 2 )
0
x y x y
x y x y
ỡ
+ + = +
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ
1 1
2 2
x y x y
x y y x
ỡ
+ = + -
ù

ớ
ù

ù
ù
ợ
ợ
1
3
x
y
=
ỡ

ớ
=
ợ
(R )
Câu
III
Câu
IV
Câu
V
. Tính
2
0
sin 2011
1
x x
I dx
cosx



+
=
+
ũ
Đặt
2011
tan
1 cos
2
u x
du dx
dx x
dv
v
x
= +
=
ỡ ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
=
=
ù ù
+
ợ ợ
2011 ln 2
2
K

3
3 3
2
.
2 4
a
a
S a a
+
= =
,
3
2
a
AH =
Thể tích khối chóp A.BCNM là
3
3
8
a
V = (đvtt)
. MN, BC kéo dài cắt nhau tại K
ị
C là trung điểm của BK
ị
ABK D vuông tại
A
AK AM ị ^
. Từ đó suy ra
ã

+ + + + + + +
2 3 3 3
2 2
( )( )
b b b b
a ac b abc b ab ac bc b c b a
= = =
+ + + + + + +
2 3 3 3
2 2
( )( )
c c c c
c ab c abc c ab ac bc c a b c
= = =
+ + + + + + +
áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c a
a b a c
+ +
+ +
+ +
3
3
( )( ) 8 8 4
b a b b c b
a b b c
+ +

1 2
( ),( )d d thì (43)M . Xét tam giác
OAB vuông tại O ta có:
2 2 2
1 1 1
OA OB OH
+ =
( trong đó H là chân đờng cao hạ từ
O xuống AB của tam giác OAB ). Để
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất thì
2
1
OH
nhỏ nhất

OH
lớn nhất

H M . Khi đó (d) nhận véc tơ
OM
uuuur
làm véc tơ pháp tuyến
(43)OM =
uuuur
. Phơng trình đờng thẳng (d) là: 4 3 25 0x y + - = ( R)
. Ta có:

4 3 2z i + - =
. Tìm số phức z có mô
đun nhỏ nhất.
Gọi ( , )z x yi x y = + ẻĂ ta có
4 3 2z i + - = ( 4) ( 3) 2x y i + + - =
2 2
( 4) ( 3) 4x y + + - =
là đờng tròn (C) tâm I(-4;3) bán kính R = 2
2
2 2 2 2
z x y z x y = + = + (
1
C ). Đặt
z r =
. Để r nhỏ nhất thì ( C) và (
1
C )tiếp
xúc ngoài
Tọa độ điểm tiếp xúc của hai đờng tròn là giao điểm của đờng tròn (C) và
đờng thẳng IO. Mà
( 43)OI = -
uur
. Phơng trình đờng thẳng OI là
4
( )
3
x t
t
y t
= -

ờ
ù
-
+ + - =
ợ
ờ
ở
Ta thấy với
12 9
( )
5 5
M - thì z đạt giá trị nhỏ nhất và
12 9
5 5
z i = - + (R)
.Tọa độ trung điểm của AB là (13)I .
Ta có
( 4 2) (1 2)
AB
AB n = - - ị = -
uuur uuur
. Phơng trình đờng thẳng AB là: 2 5 0x y - + =
Ta có ( ) 3 ( )d C AB d G AB = . Mà
1 3 3
. ( ) ( )
2 2
4 5
ABC
S AB d C AB d C AB = = ị =
2.

+
- +
= =
+ -
0
0
0
25
3
4
7
31
4
4
x
x
x
-
ộ
=
ờ
+ =
ờ
-
ờ
=
ờ
ở
25 3 83 33
( ) ( )

- - -
= + + + +
Xét
0 1 2 2
(1 )
n n n
n n n n
x C xC x C x C + = + + + + . Lấy tích phân hai vế trên đoạn
[ ]
1 2 ta
có.
2 2
0 1 2 2
1 1
(1 ) ( )
n n n
n n n n
x dx C xC x C x C dx + = + + + +
ũ ũ
2
2 3 1
0 1 2
1
2 1 2 1 2 1
(1 )
2 3
n
n n
n n n n
x dx C C C C S

0 0
2 2
m m
f m m
S m
ỡ ỡ
ù ù
D > - + + >
ù ù
- + Ê -
ớ ớ
ù ù
-
ù ù

ợ ợ
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng các cách khác để giải các bài toán trên.
Tính giới hạn sau:
3
2
4
tan 1
lim
1 2cos
đ
-
=
-
x
x