Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o quÕ s¬n
Tµi liÖu båi dìng
m«n h×nh häc 8
( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái )
Lu hµnh néi bé
1
Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !
Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,
học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận
chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy
cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn.
Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các
chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để
khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không
theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau :
I. Tứ giác, hình thang.
II. Hình bình hành .
III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông .
IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm .
V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng .
VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago.
Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản :
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
- Chứng minh thẳng hàng .
- Chứng minh song song, vuông góc . . .
- Chứng minh đồng quy.
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
- Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng .
- Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân

Bài toán 1b :
Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD
đồng quy .
HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là
trung điểm của AC .
- Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA.
- Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung
điểm I của FE.
- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I
- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I .
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
3
A
B
KD C
D
C
A
B
F
A
J
E
I
Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh
A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác
NMPH là hình thang cân .
HD : - MNHP là hình thang

M
K
A
EB C
D
B C
A
H P
M
N
DME+DEM = 180
0
- D .
KMD = (180
0
- C - B)/2
KED = (180
0
-A-B)/2
Thay vào ta đợc : MKE = 180
0
-((180
0
-C-B +180
0
-A-B )/2 +180
0
-D)
= (360
0

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác
OE =OF
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích :
Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M.
AE cắt BC tại I .
Có : S
ADM
= S
ABCM
= S
AME
=> S
ABI
= S
CEI
S
ABC
= S
EBC
=> BE// AC.
Cách dựng :
- Dựng đờng chéo AC.
5
A
B
C

. Lúc đó S
BIC
= S
FIC
.Suy ra
BF//IC .
Xác định điểm E trên tia CD sao cho S
IJAD
= S
IJE
. Lúc đó S
AID
= S
EID
.Suy ra
AE//ID .
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
- Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng
thẳng song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB +
MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt
giá trị nhỏ nhất .
Thật vậy, M O ta có :
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .

MN (BC + AD) / 2 =>đpcm . A
D
II. Hình bình hành :
1. Các bài toán về vị trí tơng đối :
Bài toán 1a :
Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi
D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm
của OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
Giải :
Dựa vào tính chất của đờng trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
NEDL là hình bình hành .
đpcm
Bài toán 1b :
7
A
B C
D
E
F
L
N
O
M
Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy .
HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quy
bằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng .
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh
đối diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .

H
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;
G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành
CABH .
a. Chứng minh BD // GH .
b. Chứng minh HD = 2EF .
HD :
a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình
hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :
Bài toán 3a :
Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75
0
và O là giao đIểm hai đờng
chéo . Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc
BC ) . Tính góc EOF .
Có O là trung điểm của DB .
Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75
0
= 150
0
.
9
A

và GBI = 30
0
.
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a :
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên
cạnh AB .
Bài toán 4b :
Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax
điểm M và trên Ay điểm N để :
a. O là trung điểm của MN .
b. OM =2ON.
Giải :
10
B C
A
K
I
G
D
A
E
O
O
A
B
C
E
D

(y)
HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung
tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5a :
Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng :
AB + AC 2AM .
Giải : Lấy A
1
là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
ABA
1
C là hình bình hành .
BA
1
= AC và AA
1
= 2AM
AB +AC = AB + BA
1
. B C
Lại có : AB + BA
1
> AA
1
M
11
A
O
M

12
P
Q
N
M
P
II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm
của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH )
- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC có AD là đờng cao . Về phía ngoài của tam giác dựng
các hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng
nhau để đợc :
IAH = BCA .
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đờng cao của tam
giác IBC .
13
A D
CB
H
M
K

:
Dựng về phía ngoài của tam giác
tam giác đều ABF. Các tam giác FAF và
FBF bằng nhau từ đó chứng minh đợc
tam giác FAF cân tại F (Hai góc đáy
bằng 75
0
) => FF = FA = AB.
Tứ giác ADFF có DA song song
và bằng FF nên nó là hình bình hành .
DF = FA = AB
Tơng tự cũng có CF = FB = AB
Tam giác FDC đều
C
2
: Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =15
0
. CI cắt FB tại J.
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90
0
-(15
0
+15
0
) = 60
0
. nên tam giác
FBI đều .
IJB = 15
0

Có DK là phân giác góc EDC và (2) . Chứng minh đợc KDE = KDA
Lại có : KDA = EKD
Tam giác EDK cân tại E
ED = EK
DE = EK = AE + KC đpcm )
Bài toán 3b :
Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB
sao cho AE=AF . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE . Tính góc CHF

HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC . O là giao điểm của BK và FC .
- Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật .
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H. Hay góc
FHC = 90
0
.
15
A
B
C
D
E
K
E
A
D
E
K C
H
O

. Tìm quỹ tích trung điểm I của O
1
O
2
khi C chạy trên AB .
HD :
Hạ O
1
M,IJ,O
2
N vuông
góc với AB
O
1
MNO
2
là hình thang có IJ là đờng
16
A
-
B
D
C
M
O
N
N
M
F
-

QP = 2GD
A Q D
MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD
Dấu = xảy ra lúc E,F,G BD .
E BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B
G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D
Từ (1) và F BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5b :
Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lợt là hình
chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .
A
Giải :
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
DE = AM . D E

B M C
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M B
Nếu AC >AB thì M C
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C .
Bài toán 5c :
17
A BJM N
Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đờng vuông góc
với CM tại C cắt đờng thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị
nhỏ nhất .
Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K
MK = 2CI

Dấu = xảy ra lúc x =a/2 .
A C B
C là trung điểm của AB
6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông
ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O
1
,O
2
, O
3
lần lợt là tâm các hình vuông . M là trung
điểm của BC, D là trung điểm của HF.
a. Chứng minh O
1
MO
2
là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
e. Chứng minh O
1
O
2

a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :
- HC = BF
-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF .
O
1
M và O
2
M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF
nên : - O
1
M song song và bằng nửa HC; O
2
M song song và bằng nửa BF
Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
Tơng tự ta chứng minh đợc O
1
DO
2
là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra
đpcm.
c. Gọi A là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh đợc BA song song và
bằng AC => BA vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA bằng
nhau => HF = AA = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.

1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao . Gọi E,F lần lợt là điểm đối
xứng của H qua các cạnh AB,AC . Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF với
AB,AC. Chứng minh rằng MC AB và NB AC .
19
Giải :
Tam giác MNH có AM,AN là phân giác
ngoài của hai góc M,N nên AH là
phân giác của góc MNH
Do CH AH nên CH là phân giác
ngoài của góc MNH.
Tam giác MNH có CN,CH là phân giác
ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN .
CM MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) .Hay CM AB .
Tơng tự chứng minh đợc NB AC
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ . Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểm
của AB,AC,BC . Gọi A,B,C lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M . Chứng
minh AA,BB,CC đồng quy .
Giải :
Chứng minh ABAB là hình bình hành :
Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC .
Tơng tự chứng minh đợc CACA là hình bình hành
đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác . M là điểm thuộc miền trong của
góc . M
1

2
20
A
O
B
M
1
C
M
M
x
H
t
N
y
E
z
F
A
B
C
A
C B
P
b. Có zOM
2
= zOM
1
= xOy
zoy + yOM

trên AC để tam giác MPN cân tại P và MN // BC .
HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc đó
21
M
2
E
F
G
D
A
C
B
P
P
Q
N
M
d
M đối xứng với N qua trục là đờng
thẳng (d) qua P vuông góc với MN .
Do MN//BC nên (d) vuông góc
với BC .
Đờng thẳng đối xứng với đờng
thẳng AB qua trục (d) cắt đờng
thẳng AC tại N .
Nên có cách dựng :
- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC .
- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát
đờng thẳng AC tại N .
- Dựng M đối xứng với N qua (d)

trên Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất .
Giải : M
1
Gọi M
1
, M
2
lần lợt là hình chiếu
22
A
M N
B C
B
A
B
NM
A
d
P
A
1
của M qua trục Ox; Oy . A M
MA + AB +BM = M
1
A +AB +BM
2
M
1
M
2

đối xứng với B qua Oy. Do AB cố định
nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất .
Có AC +CD +DB = A
1
C + CD +DB
1
A
1
A
2
.
Dấu = xảy ra lúc C,D [A
1
B
1
].
C là giao điểm của A
1
B
1
với Ox và D là giao điểm của A
1
B
1
với Oy
B
1
D B

O A

2
.
AM
1
=AM=AM
2
.
M
1
AM
2
=2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M
1
M
2
min (max)
<=> AM
1
min (max) <=> AM min (max) .
AM nhỏ nhất khi AM BC .
AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M
1
M
2
.
Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại
V. Định lý Thalet

OA
OC
GM
GH
OA
OC
EN
FN
BM
BH
GM
HM
CN
CD
=
BM
BH
CN
CD
=
I
D
E
FA
C
G
H
B
O
M

HD :
25
1
IF
1
AB
=
1
CD
+
AM
AB
IF
AB
IF
CD
IF
AB
AN
AC
FC
BC
BF
BC
BF + FC
BC
IF
CD
=
=