TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng :
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
a
n
=
.
n
a a a
1 2 3
; a
m
.a
n
= a
m+n
; a
m
: a
n
= a
m –n
( a
≠
0, m
≥
n)
(a

= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a
2
+… + a
n

b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1

. . .
n n
c c c
a a a a a a
−
+ + +
với a
2
– a
1
= a
3
– a
2
= … = a
n

n
a
a
+
−
−
b) Áp dụng
1 1
( )
.
c c
a b k a b
= −
với b – a = k
Ta có : A =
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
n n
c c c
k a a k a a k a a
−
− + − + + −
=
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( )
n n
c
k a a a a a a


HD : a) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….+ n
2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
= ( n(n+1):2)
2
Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A =
1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
b)
( )
( )

Bài 5: a) TÝnh
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+










Bài 6: a) Tính :






−






+
+






−−
7
2
14
3
1
12:
3

HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….

2012 2010 1
1 1 1 2011
1 2 2011
MS⇒ = + + + + + + −

2012 2012
2012 2011
2 2011
= + + + −
=
1 1 1 1
2012( )
2 3 4 2012
+ + + +
c)
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
−++−+−
−

615
7
3
4.
31
11
1


















−





25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2










−








1
2
1
2
1
20042002424642
<−++−+−+−=
− nn
S

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-
. .
a c
a d bc
b d
= ⇔ =

-Nếu
a c e
b d f
= =
thì
a c e a b e
b d f b d f
± ±
= = =
± ±
với gt các tỉ số dều có nghĩa

.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
Bài 2: Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
( 2012 )

2
= ac+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= c( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
+
+
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc
dc
ba

c d d k k
+ + +
= =
− − −
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=
−
+

Bài 4: BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d
≠
0 Chứng minh rằng :

( )
a b a b
c d c d
+ +
=
+ +
(1)

2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
=
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
− +
= =
− +
2
2
2
( )
( )


Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=

b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+ + + + + + + + + + + +
= = =
Nếu a + b + c + d = 0
⇒
a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

⇒

cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
= -4

cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
Th×
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
b) Cho:
d
c
c
b
b
a

⇒
2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
+ + + − − +
= =

⇒
2 2(2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
+ + + − − +
= = =
+ +
(1)

2( 2 ) (2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c b
x y z x y z
+ + + − − +
= = =
+ +
(2)

4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
+ + + − − +

++

chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.

zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
HD Từ
zyx
t
yxt
z

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t
≠
0 thì x = y = z = t
⇒
P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
= =
Hãy tính giá trị của biểu thức : B =
1 1 1
x y z
y z x
 
  
+ + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011

e
f
=
c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
2009 2010 2011
a b c
= =
.
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )
2

Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+

2 2
5 12
y y
x x
=
− −
với y = 0 thay vào không thỏa mãn
Nếu y khác 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®îc:
1 3 2
12 2
y y
y
+
= = −
−
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
1
15
−
Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7
Vậy x = 2, y =
1
15

thoả mãn đề bài
Bi 3 : Cho
a b c

+ + + +
(vỡ x+y+z

0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z
Bi 5 : Tỡm x, bit rng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
HD : T
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
x x
+ + + + + + + + +
= = = =
+

Suy ra :
1 1
1
6 6
x
x
= =
Bi 6: Tìm x, y, z biết:
zyx

1
2
- z , y +z =
1
2
- x , z + x =
1
2
- y thay vo ng thc
ban u tỡm x.
Bi 7 : Tìm x, y, z biết
216
3
64
3
8
3 zyx
==
và
122
222
=+ zyx
Bi 8 : Tỡm x , y bit :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ +
= =


A m
A m m
A m
≥

≥ ⇔ >

≤ −

;
( )
A m
A m hay m A m
A m
≤

≤ ⇔ − ≤ ≤

≥ −

với m > 0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A
2n

≥
0 với mọi A ; - A
2n

≤
0 với mọi A

+ − =
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013

⇒
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

2011.2012
. 2012.2013
2
x⇒ =

2.2013
2011
x⇒ =
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =

( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x− + − + − + − +
⇒ + + =

2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1

Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
• Dạng :
x a x b+ = +
và
x a x b x c+ ± + = +
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a)
2011 2012x x− = −
b)
2010 2011 2012x x− + − =
HD : a)
2011 2012x x− = −
(1) do VT =
2011 0,x x− ≥ ∀

nên VP = x – 2012
0 2012x
≥ ⇒ ≥
(*)
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012) : 2
x x v ly
x x x
− = − =
 


c) T×m x biÕt:
54232 =−−+ xx
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:
xxx 313 =+++
b) Tìm x biết:
2 3 2x x x− − = −
Bài 4 : tìm x biết :
a)
1 4x − ≤
b)
2011 2012x − ≥
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :
1 3 5 7 8x x x x− + − + − + − =
b) Tìm x biết :
2010 2012 2014 2x x x− + − + − =
HD : a) ta có
1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x− + − + − + − ≥ − + − + − + − =
(1)
Mà
1 3 5 7 8x x x x− + − + − + − =
suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”
Hay
1 7
3 5
3 5
x
x
x

Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết :
1 2 100 2500x x x− + − + + − =
Bài 3 : Tìm x biết
1 2 100 605x x x x+ + + + + + =
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:
x 1 x 2 y 3 x 4− + − + − + −
= 3
Bài 5 : Tìm x, y biết :
2006 2012 0x y x− + − ≤
HD : ta có
2006 0x y− ≥
với mọi x,y và
2012 0x − ≥
với mọi x
Suy ra :
2006 2012 0x y x− + − ≥
với mọi x,y mà
2006 2012 0x y x− + − ≤

⇒
0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
x y
x y x x y
x
− =

− + − = ⇒ ⇒ = =

= 25
⇒
x = 2
b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
⇒
3
x -1
(1 + 5) = 162
⇒
3
x – 1
= 27
⇒
x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20

: 5
y
= 20
y

⇒
10
x
= 10
2y

⇒
x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2
m
+ 2
n
= 2
m

+n
b) 2
m
– 2
n
= 256
HD: a) 2
m
+ 2

2 1 1
1
2 1 1
n
m
m n

− =

⇒ = =

− =


b) 2
m
– 2
n
= 256
⇒
2
n
( 2
m – n
- 1) = 2
8

Dễ thấy m
≠
n, ta xét 2 trường hợp :

+
− − − =
 
⇔ − − − =
 
Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

( )
( )
( )
1 10
8
6
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x
x
x x
x

2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =
HD : ta có
2011 0x y− ≥
với mọi x,y và (y – 1)
2012

≥
0 với mọi y
Suy ra :
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − ≥
với mọi x,y . Mà
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =

⇒

2011 0
2011, 1
1 0
x y
x y
y
− =

⇒ = =

− =



mà x NT
⇒
x = 2. Lại có 1000 – 13y
51M
, 1000 – 13y > 0 và y NT
⇒
y =

b) Từ
22
23)2004(7 yx −=−
(1)
do 7(x–2004)
2

≥
0
2 2
23 0 23 {0,2,3,4}y y y⇒ − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈
Mặt khác 7 là số NT
2
13 7y⇒ − M
vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoc x = 2003, y = 4
c) Ta cú xy + 3x - y = 6

( x 1)( y + 3) = 3

hoc
1 3
1 1
x
y
=


+ =

d) x
2
-2y
2
=1
2 2 2
1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y = + =
do VP = 2y
2
chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t
1 2 3
1 2
x y x
x y y
+ = =
= =



b
aa 553
23
=++
và
c
a 53 =+
HD : a) T
1 1 1
x y 5
+ =


5 ( x + y) = xy (*)
5
5
5
x
xy
y




M
M
M
+ Vi x chia ht cho 5 , t x = 5 q ( q l s t nhiờn khỏc 0) thay vo (*) suy ra:
5q + y = qy

= 5( 5
b
1
1)

1
2
1
5 1
5
b
c
a



=
Do a, b, c nguyờn dng nờn c = 1( vỡ nu c >1 thỡ 5
b 1
- 1 khụng chia
ht cho 5 do ú a khụng l s nguyờn.) . Vi c = 1

a = 2 v b = 2
Bi 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2 2 2
5 2013 5
p p
q+ = +
HD :

k
1 = ( 7 + 1)
k
-1 = 7.A + 1 -1 = 7.A
7M
Xột n = 3k +1 khi ú 2
n
1 = 2
3k+1
1 = 2.8
3k
1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng
chia ht cho 7
Xột n = 3k+2 khi ú 2
n
1 = 2
3k +2
-1 = 4.8
3k
1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng
chia ht cho 7 . Vy n = 3k vi
*
k N
* Tỡm x , y biu thc cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht:
Bi 1 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
b)
313 <−m

vì m nguyên
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6
1+x
chia hÕt cho 2
3−x
b) T×m
Zx ∈
®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
A =
3
21
+
−
x
x
. HD: A =
3
21
+
−
x
x
=
1 2( 3) 6 7
2
3 3
x
x x
− + +
= −

+
+

2009 1006 1x⇒ +M

⇒
x là số CP.
Với x >1 và x là số CP thì
1006 1 2012 2009x + > >
suy ra 2009 không chia
hết cho
1006 1x +
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì
2009 :1006 1 2009x + =
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2

≥
0 với mọi a,b
* a
2
– 2 .ab + b
2

2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2

≥
0 với mọi a,b
Và a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2

≥
0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012 = 2(x
2
– 2.x. + 1
2

+ 2.x.
2
b
a
+
2
( )
2
b
a
) + ( c -
2
4
b
a
)
= a(
2 2
2
4 4
) ( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
x x
a a a

+ +
Vy Min P(x) =
2
4

25
,
4
a
. Vy Max A =
25
4
khi a =
3
2
c) B =
2 2 2 2
2 ( 2. .1 1 ) 1 ( 1) 1x x x x x = + + = +
. Do
( 1) 0, 1,x x B x
Vy Max B = 1 khi x = 1
Bi 3 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau:
a) P =
2
2012
4 2013x x+ +
b) Q =
2012
2012
2013
2011
a
a
+
+



Min P = 0 khi
2 0 4024
2012 0 2012
x y x
y y
= =



= =

b) Ta cú
4
( 3) 0. ,x y x y+
v
2
( 2 ) 0. ,x y x y
suy ra : Q

2012 vi mi x,y


Min Q = 2012 khi
2
2
( 3) 0 2
1
( 2 ) 0

b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
HD :
3 2 4.(3 2) 12 8
3 3 3 23
. . .(1 )
4 5 4 3.(4 5) 4 12 15 4 12 15
x x x
C
x x x x
+ + +
= = = = +

C ln nht khi
23
12 15x
ln nht
12 15x
nh nht v
12 15 0x >

2x
=
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Vậy Max C =
3 23 8
(1 )
4 9 3
+ =
khi x = 2

và 14n – 21 có giá trị nhỏ
nhất
21 3
14 2
n⇒ > =
và n nhỏ nhất
⇒
n = 2
* Dạng vận dụng
0,A A≥ ∀
,
0,A A− ≤ ∀

, ,A B A B A B+ ≥ + ∀
dấu “ = ” xẩy ra khi A.B
≥
0

, ,A B A B A B− ≤ − ∀
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
≥
0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)
2
+
y x−
+ 3
b) B =
2011




b) Ta có
2010 0x− − ≤
với mọi x
⇒
2012
2010 2012x− − ≤
với mọi x
B
⇒
2011
2012
B⇒ ≤
với mọi x, suy ra Min B =
2011
2012
khi x = 2010
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a)
2011 2012A x x= − + −
b)
2010 2011 2012B x x x= − + − + −
c) C =
1 2 100x x x− + − + + −
HD : a) Ta có
2011 2012A x x= − + −
=
2011 2012 2011 2012 1x x x x− + − ≥ − + − =


− =

c) Ta có
1 2 100x x x− + − + + −
=
( 1 100 ) ( 2 99 ) ( 50 56 )x x x x x x− + − + − + − + + − + −
1 100 2 99 50 56x x x x x x≥ − + − + − + − + + − + −
= 99 + 97 + + 1 = 2500
Suy ra C
2050
≥
với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

( 1)(100 ) 0 1 100
( 2)(99 ) 0 2 99

( 50)(56 ) 0 50 56
x x x
x x x
x x x
− − ≥ ≤ ≤
 
 
− − ≥ ≤ ≤
 
⇔
 

Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10
HD: ta có
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
3 3 2 2
n n n n+ +
+ − −
=
2 2
3 (3 1) 2 (2 1)
n n
+ − +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2
n

Bài 3 : Cho m, n
∈
N
*
và p là số nguyên tố thoả mãn:
1−m
p
=
p
nm +
(1)
Chứng minh rằng : p
2
= n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p
( 1)p m⇒ −M
do p là số nguyên tố và m, n
∈
N
*⇒
m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p
2
= n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)
⇒
(m + n)(m – 1) = p
2

1998
= 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
4 = 3.1 + 1
Suy ra :
410
1998
−=A
= ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không
chia hết cho 9
b) Ta có 36
38
= (36
2
)
19
= 1296
19
= ( 7.185 + 1)
19
= 7.k + 1 ( k
∈
N
*
)
41
33
= ( 7.6 – 1)
33
= 7.q – 1 ( q
∈

(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta cú 17a 34 b
17M
v 3a + 2b
17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b + + M M M

10 16 17a b M
vỡ (2, 7) = 1
10 17 16 17 10 17a b b a b + +M M
b) Ta cú f(0) = c do f(0)
3M
3c M
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a b + c) = 2b , do f(1) v f(-1) chia ht
cho 3
2 3 3b b M M
vỡ ( 2, 3) = 1
f(1)
3 3a b c + +M M
do b v c chia ht cho 3
3a M
Vy a, b, c u chia ht cho 3
Bi 7 : a) Chứng minh rằng
2006
10 53
9
+
là một số tự nhiờn
b) Cho
12 +

< a
3
<. < a
n
thỡ n a
1
< a
1
+ a
2
+

+ a
n
< na
n

1 2 1
1 1 1 1 1

n n
na a a a na
< + + + <
* a(a 1) < a
2
< a( a+1)
2
1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a
< <

+
+
=
không là số nguyên.
HD : Ta cú
1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
+ +
= + + > + + = =
+ + + + + + + + + + +1M
>
Mt khỏc
( ) ( ) ( )a b c a b b b c c c a a
M
a b b c c a a b b c c a
+ + +
= + + = + +
+ + + + + +
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7

3 ( )
b c a
a b b c c a
+ +

2 2
1 1
( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0a b a b ab a b
a b
+ + +
(*)
Do (*) ỳng suy ra (1) ỳng
Cỏch 2: Ta cú
2a b ab+
v
1 1 2
a b
ab
+

1 1 2
( )( ) 2 . 4a b ab
a b
ab
+ + =
Du = xy ra khi a = b
b) Ta cú :
1 1 1
( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( )
b c a c a b a b b c a c
a b c
a b c a b c b a c b c a
+ + +
+ + + + = + + + = + + + + + +


b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
HD : b) Tớnh ( a + b + c)
2
t cm c
0
++
cabcab

Ch uyờn 8 : Cỏc bi toỏn v a thc mt n

Bi 1 : Cho a thc P(x) = a x
3
+ bx
2
+ cx + d ( a khỏc 0)
Bit P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tớnh P(3)
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7
HD : ta cú P(1) = 100

a + b + c + d = 100
P(-1) = 50

- a + b c + d = 50
P( 0) = 1


với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2)
có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyờn

c , a + b + c v 4a + 2b + c nguờn

a + b v 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyờn

2a , 2b nguyờn
Bi 4 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax +++=
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
Nu f(x) cú giỏ tr nguyờn vi mi x

d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d l cỏc s
nguyờn . Do d nguyờn

a + b + c nguyờn v (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b
nguyờn

2b nguyờn

6a nguyờn . Chiu ngc li cm tng t.
Bi 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
A(x) =
2005220042

= 0
Bi 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +
HD : t A =
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +

2010 2009 2008
( 2011) ( 2011) ( 2011) ( 2011) 1x x x x x x x x x + +


ti x = 2012 thỡ A = 2011

Chuyờn 9 Cỏc bi toỏn thc t
1. Kin thc vn dng
- Tớnh cht i lng t l thun :
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7
i lng y t l thun vi i lng x khi v ch khi :
y = k.x


3
1 2
1 2 3

n
n
y y

đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bi 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận
tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Bi 5 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon
thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i
l 2 ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu
cụng nhõn ?
Bi 6 : Ba ụ tụ cựng khi hnh i t A v phớa B . Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th
hai l 3 Km/h . Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB
ln lt l : 40 phỳt,
5
8
gi ,
5
9
gi . Tớnh vn tc mi ụ tụ ?

inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7
PHN HèNH HC
I. Mt s phng phỏp chng minh hỡnh hoc
1.Chng minh hai on thng bng nhau:
P
2
: - Chng minh hai tam giỏc bng nhau cha hai on thng ú
- Chng minh hai on thng ú l hai cnh bờn ca mt tam giỏc cõn
- Da vo tớnh cht ng trung tuyn, ng trung trc ca on thng
- Da vo nh lớ Py-ta- go tớnh di on thng

- Da vo nh lớ v quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu, ng xiờn
v ng vuụng gúc .
II. Bi tp vn dng
Bi 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC

BE
HD:
Phõn tớch tỡm hng gii
* CM DC = BE cn CM ABE = ADC ( c.g.c)
Cú : AB = AD, AC = AE (gt)


Cn CM :
ã
ã
DAC BAE=
Cú :
ã
ã
ã
0
90BAE BAC DAC= + =
* Gi I l giao im ca AB v CD
CM : DC

BE cn CM

ã
ã
0
90BAE BAC DAC= + =


ã
ã
DAC BAE=
, mt khỏc AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ABE = ADC(c.g.c)

DC = BE
b) Gi I l giao im ca AB v CD
Ta cú
à
à
1 2
I I=
( Hai gúc i nh) ,
à
ả
0
1 1
90I D+ =
( ADI vuụng ti A) v
à
ả
1 1
B D=

BE m BK

CD ti K suy ra ba im E, K, B
thng hng
*Khai thỏc bi 1.1
T bi 1.1 nu gi M l trung im ca DE k tia M A thỡ MA

BC t ú ta cú bi
toỏn 1.2
Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im
ca DE k tia M A . Chng minh rng : MA

BC
Phõn tớch tỡm hng gii
HD: Gi H l giao im ca tia MA v BC
CM MA

BC

ta cn CM AHC vuụng ti H

CM AHC vuụng ti H ta cn to ra 1 tam giỏc
vuụng bng AHC
Trờn tia AM ly im N sao cho AM = MN
K DQ

AM ti Q

ã
ã
BAC ADN=


inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7

ã
ã
0
180EAD ADN+ =
vỡ
ã
ã
0
180EAD BAC+ =
CM AE // DN (MDN = MEA)
Li gii
Gi H l giao im ca tia MA v BC , Trờn tia AM ly im N sao cho AM = MN
k DQ

AM ti Q
Ta cú MDN = MEA ( c.g.c) vỡ :
AM = MN ; MD = ME (gt) v
ã
ã

trờn )

ABC = DNA (c.g.c)


ả
ã
1
N ACB=
Xột AHC v DQN cú : AC = DN ,
ã
ã
BAC ADN=
v
ả
ã
1
N ACB=


AHC = DQN (g.c.g)

AHC vuụng ti H hay MA

BC
* Khai thỏc bi toỏn 1.3
+ T bi 1.2 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA

BC , ngc li
nu AH

ã
ACH EAR=
( cựng ph
ã
CAH
)
AC = AE (gt)

AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)


ER = AH ( 1) . T (1) v (2)

ER = DQ
Li cú
ả
ả
1 2
M M=
( hai gúc i nh )

QDM = REM ( g.c.g)

MD = ME hay M l trung
im ca DE
+ T bi 1.3 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA

DE , ngc li
nu H l trung im ca BC thỡ tia KA s vuụng gúc vi DE, ta cú bi toỏn 1.4
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an

ã
'DAE ABA =
Xột DAE v ABA cú : AE = AB , AD = AB (gt)
ã
ã
'DAE ABA=


DAE = ABA(c.g.c)


ã
ã
AA'ADE B=
m
ã
ã
ã
ã
0 0
AA' 90 90ADE B ADE MDA+ = + =
Suy ra HA vuụng gúc vi DE
Bi 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D
và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC
* Phõn tớch tỡm li gii

Cn cm O l im c nh
cm O l im c nh
inh vn Quõn Giỏo viờn trng THCS Ngha Hng Ngha n Ngh an
TI LIU BI DNG HC SINH GII TON 7


Cn cm OC

AC


Cn cm
ã
ã
0
90OAC OCN= =


Cn cm :
ã
ã
OBA OCA=
v
ã
ã
OBM OCM=


Cn cm OBM = OCN ( c.c.c) v OAB = OAC (c.g.c)
*Khai thỏc bi 2

cm AI

BC

Cn cm
à
ã
0
1
90A ACK+ =
cm
à
ã
0
1
90A ACK+ =


Cú
ã
ã
0
90AEK EAK+ =
cn cm
à
ã
1