Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1

++
nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4

= x
2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=

babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++ xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22

baabba
+−+=
3
3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )

3
= 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔

a
x
z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z



++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a

22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị
biếu thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.

)(b
3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−

+++=
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0

*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx ++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y

zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2

n n
a a a a a a

=M M

1 1 0 0
5 0;5
n n
a a a a a

=M
1 1 0
4
n n
a a a a

M
( hoặc 25)
1 0
4a a M
( hoặc 25)

1 1 0
8
n n
a a a a

M
( hoặc 125)
2 1 0

A a a a a a a=

( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6
101 101A a a a a a a a a + + + +

M M
II.Vớ d
Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
a)
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
Giải:
a) Để
134 4 45x yM
ta phải có
134 4x y
chia hết cho 9 và 5

y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ
134 40 9x M
ta phải có 1+3+5+x+4
9M
4 9 5x x + =M

khi đó ta có số 13554
với x = 5 thì từ :
134 4 9x yM

N x x x x
=
= + + + + = =
M M
M M
Vậy số cần tìm là 713625
Ví dụ 3 a) Hỏi số
1991
1991 1991
1991 1991
so
A =
1 4 2 4 3
có chia hết cho 101 không?
b) Tìm n để
101
n
A M
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A
1991
có 2 cặp số là 91;19
Ti liu bi dng hc sinh gii Toỏn lp 8
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101A M
b)
101 .91 .19 72 101 101

và
b aM
thì a = b
c) Nếu
a bM
,
a cM
và (b,c) = 1 thì
a bcM
d) Nếu
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu



mb
ma


mba
+
- Nếu



mb
ma

B.Vớ d:
1. Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú:
( )
2411
2
2
+ nn
Gii:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n

= + = + + =

M
Bi tp t luyn:
2. Chng minh rng
a.
4886
23
nnn
++
vi n chn
b.
384910
24

+

a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi
chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo môđun m .
Kí hiệu :
(mod )a b m
b) Tính chất
a)
(mod ) (mod )a b m a c b c m
b)
(mod ) (mod )a b m na nb mM M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m
d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m
c) Mt s hng ng thc:

m m
a b a b M

n n
a b a b+ +M
(n l)

( )
( )
n
a b B a b+ = +
II.Vớ d:
1. Chng minh:

20022
999

+
4.
( )
183113
123456789


5.
( )
1980198219811979
19811979

+
6.
( )
1203 333
10032

++++
7.
( )
755552222
22225555

+

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

k+1
= 7 + 8 =7. 7 + 64.8 = 7(7 + 8 ) + 57.8 .
Vì 7 + 8 ( giả thiết qui nạp) và 57.8
M
57
⇒ A
k+1
M
57
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7 + 8
M
57.
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n
≥
n
0
. Thì ta
kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n
0
?
III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì:
1.
( )
23225
1412

+++
++
nnn

LUYỆN TẬP
1.
102521 cabA =
2.
( )
2
15
+==
cabcaB
3.
abE
=
sao cho
( )
3
2
baab +=
4. A =
( )
2
baab
+=
HD:
( )
2
baab
+=
⇔
( )( )
2

≤
99
2

Xét 2 khả năng :



<
=
)2(99
)1(99
x
x

(1)
⇒
B = 9801
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
(2)
⇒










6.
abcdefC
=
=
( )
2
defabc
+
7.
abcdH =
sao cho

3
1 1








+=+

n
n
nn
dddcccbbbaaa
8. Tìm
2

y
4

5/ Cho x + y = m và x
2
+ y
2
= n.Tính giá trị biểu thức x
3
+ y
3
theo m và n.
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 2.Tính giá trị của bt: a
4
+ b
4
+ c
4
.
b) Cho a +b +c = 0 và a
2
+ b
2
+ c

7. Chứng minh rằng: .
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
•
0A B A B
≥ ⇔ − ≥
• Cần lưu ý tính chất:
0
2
≥
A
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
2.
( )
edcbaedcba

2
– 4ab + 5b
2
– 2b + 5
≥
4
8. x
2
– xy + y
2

≥
0
9. x
2
+ xy + y
2
-3x – 3y + 3
≥
0
10. x
2
+ xy + y
2
-5x - 4y + 7
≥
0
11. x
4
+ x

2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
14. (a
2
+ b
2
).(a
2
+ 1)
≥
4a
2
b
15. ac +bd
≥
bc + ad với ( a
≥
b ; c
≥
d )
16.

c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++≤++
(với a
≥
b ≥ c > 0)
19.
ab
ab
ba
+
≥+
9
12
( Với a,b > 0)
20.
cbaab
c
ca
b
bc
a 111

Bài 4:
A – B =
( ) ( ) ( )
113321
222
+−+−+−
cba
Bài 5: A = ( a – 1)
2
+ (3a – 2b)
2
+ (b + 3)
2
Bài 6:
A–B = ( a – 1)
2
+(3b – 2)
2
+ (c - 2)
2
+
2
1
Bài 7:
A – B =
( ) ( )
22
12
−+−
bba

−+−−−−
yyxx
.
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10: Tương tự bài 9
Bài 11:
x
4
+ x
3
y + xy
3
+y
4
=
( )
( )
2
22
yxyxyx ++−
Bài 12: Tương tự bài 11
Bài 13: Xem ví dụ 7
Bài 14: A – B = (a
2
+ b
2
).(a
2
+ 1) - 4a
2

A - B =
( ) ( )
ab
baab
+
−+−
9
33
22

( Với a,b > 0)
Bài 20:
A - B =
( ) ( ) ( )
abc
abacacbcbcab
222
−+−+−
(Với a,b,c > 0)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I: DẠNG

• Nếu a > 0 :
2
2
2
4ac-b
ax + bx +c =
4a 2

 ÷
 

Suy ra
2
4 a c+b
ax
4 a
M P
=
Khi
b
x=
2 a
Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x
2
+ 5x + 7
Giải:A = 2x
2
+ 5x + 7 =
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
+ + − +
=

2 2 2

x x x
+
= − − + + = − − = − −
≤ .
Suy ra
81 5
8 4
MinA Khi x
= =
.
3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8.
⇒ MinB = 8 khi : ⇔ .
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10.
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ .
BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN
2
5 2008A x x
= − +
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x
2
7. Tìm GTLN D =
2
2007 5x x
− −
8. Tìm GTNN của F = x
4
+ 2x


8. F = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = (x +x+1) = .
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
11.C =
( )
513413
2
+−−−
xx
* Nếu x ≥ . C = (3x - 3) + 1
* Nếu x < .C = (3x + 1) + 6
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
Tiết 31-36
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để
chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si
và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để
tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1.
abba 2

cabcabcba
++≥++
222
7.
( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
++≤+
( Bu nhi a cop xki)
8.
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c






−++






−++






−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b

xy
.
Giải:
22222222
2
4
2
1
2
1
2
2
2
221
yxyxyx
xy
yx
xy
yx
xy
++
≥









b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Giải:
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒




( )
9
111
≥






++++
cba
cba
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng
a) a + b ≥ b) a + b ≥
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ≥ 9
5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
a. + ≥ 6
b. + ≥ 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) ≥
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
,
2
1
2
1

Chứng minh rằng :
2
222
cba
ab
c
ca
b
cb
a
++
≥
+
+
+
+
+
.
11. Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1
12. Chứng minh:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac

+
+
++
+
+
+
nnnnn
Chứng minh rằng
1>A
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
HƯỚNG DẪN:
1. A =
922233
=+++≥






++






++



Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥
8. + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
≥
2.
ab
c
c
b
aab
c
ac
b 1
.2
1
≥






+=+
bc
a
a
c
bbc
a

12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) . = Suy ra:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
13.Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số
444
cba
++
rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2

aa
aa
B
Với a
2
3
−≠
b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa
−
+
+
−
+
++
2
2
2
8
:
5,01
25,0
32
(a
≠
±

b.
( ) ( )
aaa
a
a
aa
aaa
a
a
aa
−
+
−
+
⋅
+
++
=
−
+
+
−
+
++
2
2
8
2
2
42

−
++−
++
=
• Ví dụ 9: Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
−+
+
−
−+
=
.( Với x
≠

±
y)
Giải:
( )( )
( )
( )

−+
=
−+
+
−
−+
=
• Ví dụ 10: Cho biểu thức :
12
1
234
34
+−+−
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
1
1
12
1
2234
34
234
34

2
22
2
2
22
3
222
3
+
+
=
++−
+−+
=
++−
++
=
+−++−
+++
=
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
xxx
b.
( )

23
3213
23
87658
8
123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
=⇒=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++

xxx
x
.
Biết x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
( )
033
2
=−+−⇔ xyx



=
=

+−
⋅
−
+−
=
−−
−
+−
−
=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
( )( )
( ) ( )
3
8
2.3
2.8
5
15
−=
−
=

.
a. Tìm tập xác định của M.
b. Tính giá trị của x để M = 0.
c. Rút gọn M.
15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
( )( ) ( )( ) ( )( )
accbbabcac
ba
cbab
ac
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
16. Cho biểu thức : B =
10999
10

−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A
với x
≠
-3; x
≠
3; y
≠
-2.
b. Cho Biếu thức : A =
32
2
2
2
2
3

−
+
.
a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A > 0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
c. Tìm giá trị của A trong trường hợp
47
=−
x
.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
19. a.Thực hiện phép tính:
a.A =
16842
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxx
xx
+

−
+
+
−
+
−
−
.
20. Cho a,b,c là 3 số
≠
nhau đôi một.
Tính S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb
ab
−−
+
−−
+
−−
.
21. Tính giá trị của biểu thức :
3
3
5
3

. Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của a,b,c
23. Bài 11: Cho Biếu thức :
13
5
13
12
+
−
+
−
−
=
a
a
a
a
A
.
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5.
b. Tính giá trị của A khi : 10a
2
+ 5a = 3.
24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì:

22
2
+−−
++−
=
−−
−−
+
−
+
26. Thực hiện phép tính:






−






−






5.2
1
+−
+++
nn
.
28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A =
2
217122
23
−
−+−
a
aaa
.
Biết a là nghiệm của Phương trình :
113
2
=+−
aa
.
29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
8111
=






−
=
−
−
−
ba
ab
a
b
b
a
31. Thực hiện phép tính:
A =
( )( ) ( )( ) ( )( )
zxzy
xyz
zyyx
xzy
zxyx
yzx
++
−
+
++
−
+
++
−
222
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8







+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
:
1
1
33
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
4
.
2
4
.
2
4
yxz
yzx
xyz
xyz
zxy
zxy
A
+
−
+
−
+
−
=
. Chứng minh rằng nếu :
x + y + z = 0 thì A = 1.

xx
xxxxx
.

( ) ( )
4
13
2
2
3
+
−+
=
x
xx
15.
( )( )
acbacaba
cb
−
+
−
=
−−
−
11
=
( )( )
bacbcbab
ac

+
xxx
x
xxxx
x
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )






−<
++−
+−
≠−>
+−
=
10;
1101
10
110;
11
1

32
2
2
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A

( )( )( )
233
0
9
9
632
6
632
32
2