http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ĐỀ 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
( ) 2
y f x x x
= = −

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với
a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình lượng giác:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

2. Giải bất phương trình:
( )
2
3 1 1
3 3


Câu IV

(1 điểm)
Cho m
ộ
t hình tr
ụ
tròn xoay và hình vuông ABCD c
ạ
nh a có hai
đỉ
nh liên ti
ế
p A, B
n
ằ
m trên
đườ
ng tròn
đ
áy th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a hình tr
ụ
, hai

. Tính di
ệ
n tích xung quanh và th
ể
tích c
ủ
a
hình tr
ụ
.
Câu V

(1 điểm)
Cho ph
ươ
ng trình
( ) ( )
3
4
1 2 1 2 1
x x m x x x x m
+ − + − − − =

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi

ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng tròn (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đị
nh b
ở
i:

2 2
( ): 4 2 0; : 2 12 0
C x y x y x y
+ − − = ∆ + − =
. Tìm
đ
i
ể
m M trên
∆
sao cho t

Oxyz, cho t
ứ
di
ệ
n ABCD v
ớ
i A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3),
D(1;-1;0). Tìm t
ọ
a
độ
tâm và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Câu VII.a

(1 điểm)
Cho ph


(2 điểm)

1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có di
ệ
n tích b
ằ
ng 12, tâm I thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
: 3 0
d x y

a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t c
ầ
u (S) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình là

ẳ
ng MN.
Xác
đị
nh v
ị
trí c
ủ
a M, N t
ươ
ng
ứ
ng.
Câu VII.b

(1 điểm)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: E =
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
+ +
   
+

0,25
+ S
ự
bi
ế
n thiên
•

Gi
ớ
i h
ạ
n:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

•

( )
3 2
0
' 4 4 4 1 ; ' 0
1
x
y x x x x y
x
=

•
Đồ
th
ị0,25
2

1,00
Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
= −
. G
ọ
i a, b l
ầ
n l
ượ
t là hoành
độ
c
ủ
a A và B.
H
ệ
s
ố

ượ
t có ph
ươ
ng trình là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ( ) af' a
y f a x a f a f a x f a= − + = + −
;
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ( ) f' b
y f b x b f b f b x f b b= − + = + −


ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình:
2 2
1 0 (2)
a ab b+ + − =
M
ặ
t khác hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B trùng nhau

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2

c nghi
ệ
m là (a;b) = (-1;1), ho
ặ
c (a;b) = (1;-1),ho
ặ
c
(a;b)=
1 1
;
3 3
 
±
 
 
các nghi
ệ
m này t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i các
đ
i
ể
m trên
đồ
th

ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau là
2 2
1 0
1
1;
3
a ab b
a a
a b

+ + − =






0,25
T
ừ
(1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

0,25
2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =

( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈


0,25
2

1,00
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3
x
>

0,25
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ

)
(
)
3 3 3
log 2 3 log 2 log 3
x x x x
⇔ − − > − − +
 
 

0,25
( )( )
3 3
2
log 2 3 log
3
x
x x
x
−
 
⇔ − − >
 
 
 
+
 

( )( )
2

i
ề
u ki
ệ
n, ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
10
x >

0,25
III

1,00
1

1,00
( )
2 2
2 2
0 0
1 1 1

IV

1,00
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
G
ọ
i M, N theo th
ứ
t
ự
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD. Khi
đ
ó
OM AB
⊥
và
' D
O N C
⊥
.
Gi
ả
s
ử

2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO
 
 
= = + = + = + =
 
 
 
 
 
0,25
2 3
2
3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h
π
π π
⇒
= = =
(
đ

+ − + − − − =
(1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
0 1
x
≤ ≤

N
ế
u
[
]
0;1
x ∈
th
ỏ
a mãn (1) thì 1 – x c
ũ
ng th
ỏ
a mãn (1) nên
để
(1) có nghi
ệ
m duy

m
m m
m
=

+ − = ⇒

= ±


0,25
* V
ớ
i m = 0; (1) tr
ở
thành:
(
)
2
4 4
1
1 0
2
x x x
− − = ⇔ =

Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

ớ
i
4 4
1
1 0
2
x x x
− − = ⇔ =

+ V
ớ
i
1
1 0
2
x x x
− − = ⇔ =

Tr
ườ
ng h
ợ
p này, (1) c
ũ
ng có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
0,25

= =
nên trong tr
ườ
ng h
ợ
p này (1)
không có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t khi m = 0 và m = -1.
0,25
VIa

2,00
1

1,00
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Đườ
ng tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính

này l
ậ
p v
ớ
i nhau m
ộ
t góc 60
0
thì IAM là n
ử
a tam giác
đề
u suy ra
2R=2 5
IM =
.
Nh
ư
th
ế

đ
i
ể
m M n
ằ
m trên
đườ
ng tròn (T) có ph
ươ

m
đ
úng h
ệ

ph
ươ
ng trình:
( ) ( )
2 2
2 1 20 (1)
2 12 0 (2)
x y
x y

− + − =


+ − =



0,25
Kh
ử
x gi
ữ
a (1) và (2) ta
đượ
c:

;
5 10
M
 
 
 

0,25
2

1,00
Ta tính được
10, 13, 5
AB CD AC BD AD BC= = = = = =
.
0,25
Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ
diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ
diện này.
0,25

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là
3 3
;0;
2 2
G
 
 
 
, bán kính là


− + + − =


giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.

b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i
⇒ vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:
z
3
+ (2 – 2i)z
2
+ (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z
2
+az + b) (a, b ∈ R)
đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.
⇒ (1) ⇔ (z – 2i)(z
2
= 2z + 5) = 0 ⇔
2
2
2
1 2
2 5 0
1 2
z i
z i
z i
z z

=
và
( )
9 3
: 3 0 ;
2 2
I d x y I
 
∈ − − = ⇒
 
 

Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d)
và Ox, suy ra M(3;0)
( ) ( )
2 2
9 9
2 2 2 3 2
4 4
I M I M
AB IM x x y y= = − + − = + =
D
12
. D = 12 AD = 2 2.
3 2
ABCD
ABC
S
S AB A
AB

2
3 0
3 3
3 2 3 3 2
3 2
x y
y x y x
x y x x
x y
+ − =

= − + = − +
 
  
⇔ ⇔
  
− + = − + − =
− + =
 

 


3 2
3 1 1
y x x
x y
= − =
 
⇔ ⇔

C I A
A C C I A
I
x x
x
x x x
y y y y y
y
+

=

= − = − =


⇔
 
+ = − = − =


=



Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1).
0,50
2

1,00

ị
trí M
0
và N
ở
v
ị
trí N
0
. D
ễ
th
ấ
y N
0
là hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a I trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và M
0
là giao
đ
i
ể

i
ể
m I và vuông góc v
ớ
i (P), thì N
0
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
và (P).
Đườ
ng th
ẳ
ng
∆
có vect
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là
(
)
2;2; 1

c
ủ
a N
0

ứ
ng v
ớ
i t nghi
ệ
m
đ
úng ph
ươ
ng trình:
( ) ( ) ( )
15 5
2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0
9 3
t t t t t
+ + − + − − + = ⇔ + = ⇔ = − = −

Suy ra
0
4 13 14
; ;
3 3 3
N
 
− −

n n
n n
n n
n n
i i i i
i i
E
i i
i i
i i
+ + + −
   
+ +
   
= + = +
   
   
− +
   
   
+ −
   
= + = + + −
   
   

⇒

2 2
E E