Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 27

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a)
32
23(1)620
xmxmx
-++-=
b)
32
33(1)130
xxmxm
-+-++=

c)
32
236(1)3120
xmxmxm
-+ +=
d)
32
63(4)480
xxmxm
+-=

e)
32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=

a)
3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+ =
b)
32
63(4)480
xxmxm
+-=

c)
32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
d)
3
1
0
3
xxm
-+=

Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a)
3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+ =


c)
32
390
xxxm
+-+=
d)
32
1820
xxmxm
-+-=


;()
Mxfx
là:
y – y
0
= f ¢(x
0
).(x – x
0
) (y
0
= f(x
0
))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:

()()
'()'()
fxgx
fxgx
ì
=
í
=
î

·
Nếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
.

·
Tính y
¢
= f
¢
(x). Suy ra y
¢
(x
0
) = f
¢
(x
0
).


·

D
có hệ số góc k
Þ
f
¢
(x
0
) = k (1)

·
Giải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y
0
= f(x
0
). Từ đó viết phương trình của
D
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

·
Phương trình đường thẳng
D
có dạng: y = kx + m.

·

D
song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+
D
vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a
¹
0) thì k =
1
a
-

+
D
tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc
a
thì
tan
1
ka
ka
-
=
+
a

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y = f(x), biết
D
đi qua điểm

¢
(x
0
).(x – x
0
)

·

D
đi qua
(;)
AA
Axy
nên: y
A
– y
0
= f
¢
(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)

·
Giải phương trình (2), tìm được x

fxkxxy
fxk
ì
=-+
í
=
î
(*)

·
Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
D
.

Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
32
371
yxxx
= +
tại A(0; 1) b) (C):
42
21
yxx
=-+
tại B(1; 0)
c) (C):
34
23
x

1
x
y
x
-
=
-
tại điểm B có y
B
= 4
c) (C):
1
2
x
y
x
+
=
-
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
2
221
yxx
=-+
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C):
3
31
yxx

=-+-
.
c) (C):
32
2394
yxxx
=-+-
và (C’):
32
467
yxxx
=-+-
.
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
a) (C):
511
23
x
y
x
+
=
-
tại điểm A có x
A
= 2 .
b) (C):
2
726

+
tại điểm B có x
B
= –1 và S =
9
2
.
c) (C):
3
1(1)
yxmx
=+-+
tại điểm C có x
C
= 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C): yxx
32
235
=-+
; k = 12 b) (C):
21
2
x
y
x
-
=
-
; k = –3

2
x
y
x
-
=
-
; d:
3
2
4
yx
=-+

c) (C):
2
23
46
xx
y
x

=
+
; d:
250
xy
+-=
d) (C):
42

; d:
yx
=

c) (C):
2
3
1
x
y
x
+
=
+
; d: y = –3x d) (C):
2
1
2
xx
y
x
+-
=
+
; d: x – 2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
a) (C):
3
20
24;60

24;:37;45
3
x
yxxdyx=-+-=+=
a

b) (C):
3
20
1
24;:3;30
32
x
yxxdyx=-+-=-+=
a

c)
0
43
():;:3;45
1
x
Cydyx
x
-
===
-
a

d)

(21)2
1
xmxm
y
x
++-+
=
+
tại điểm A có x
A
= 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
21
3
xmx
y
x
+-
=
-
; tại điểm B có x
B
= 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
(31)
(0)

yx
=- ; C(0; 4) d) (C):
42
13
3
22
yxx
=-+
;
3
0;
2
D
æö
ç÷
èø

e) (C):
2
2
x
y
x
+
=
-
; E(–6; 5) f) (C):
34
1
x


VN 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
1. iu kin cn v hai ng (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
phng trỡnh sau cú nghim:

()()
'()'()
fxgx
fxgx
ỡ
=
ớ
=
ợ
(*)
Nghim ca h (*) l honh ca tip im ca hai ng ú.
2. Nu (C
1
): y = px + q v (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thỡ
(C
1
) v (C

CyxmxCyx
=+++=+

d)
32
12
():221;():
CyxxxCyxm
=++-=+

Baứi 2. Tỡm m hai ng (C
1
), (C
2
) tip xỳc nhau:
a)
422
12
():21;():2
CyxxCymxm
=++=+

b)
422
12
():1;():
CyxxCyxm
=-+-=-+

c)

2
12
1
():;():
1
xx
CyCyxm
x
-+
==+
-VN 3: Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th
(C
1
): y = f(x) v C
2
): y = g(x)
1. Gi
D
: y = ax + b l tip tuyn chung ca (C
1
) v (C
2
).
u l honh tip im ca
D
v (C
1

ù
=
ù
ợã
T (2) v (4)
ị
f
Â
(u) = g
Â
(v)
ị
u = h(v) (5)

ã
Th a t (2) vo (1)
ị
b =
j
(u) (6)

ã
Th (2), (5), (6) vo (3)
ị
v
ị
a


b)
22
12
():56;():14
CyxxCyxx
=-+=

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 32

c)
23
12
():56;():310
CyxxCyxx
=-+=+-VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước

·
Gọi M(x
0
; y
0
)
Î
(C).


·
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x
0
; y
0
)
Î
(C).

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
36
1
xx
y
x
++
=
+
; d:
1
3
yx
=
b) (C):

trước:
a) (C):
32
10
yxxx
=+++
; d:
2
yx
=
b) (C):
2
1
xx
y
x
-+
= ; d: y = –x VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)
Î
d.


¢
(x) + y
M
(3)

·
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
32
():32
Cyxx
=-+-
b)
3
():31
Cyxx
=-+

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
1
():
1
x
Cy
x
+
=

Cy
x
++
=
+
; d: x = 1
e)
3
():
1
x
Cy
x
+
=
-
; d: y = 2x + 1
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 33

Baứi 3. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ớt nht mt tip tuyn vi (C):
a)
2
69
():
2
xx
Cy
x
-+

x
+
=
-
; d: y = 2
Baứi 4. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c hai tip tuyn vi (C):
a)
2
2
():
2
xx
Cy
x
+-
=
+
; d l trc honh b)
2
1
():
1
xx
Cy
x

=
+
; d l trc tung
c)

():1212
Cyxx
=-+
; d: y = 4
e)
42
():2
Cyxx
=
; d l trc tung e)
42
():21
Cyxx
=-+-
; d l trc tung
Baứi 6. T im A cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
a)
32
():9172
Cyxxx
=-++
; A(2; 5) b)
32
144
():234;;
393
CyxxxA
ổử
=-++
ỗữ

).

ã
Phng trỡnh ng thng
D
qua M cú h s gúc k: y = k(x x
M
) + y
Mã

D
tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:

()()(1)
'()(2)
MM
fxkxxy
fxk
ỡ
=-+
ớ
=
ợã
Th k t (2) vo (1) ta c: f(x) = (x x

honh thỡ
12
(3)2
().()0
coựnghieọmphaõnbieọt
fxfx
ỡ
ớ
<
ợBaứi 1. Chng minh rng t im A luụn k c hai tip tuyn vi (C) vuụng gúc vi nhau.
Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ú:
a)
2
1
():231;0;
4
CyxxA
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
b)
2
1
():;(1;1)
1
xx

():3
Cyxx
=+ ; d là trục hoành
c)
2
21
():
1
xx
Cy
x
++
=
+
; d là trục tung d)
2
21
():
1
xx
Cy
x
-+
=
-
; d là trục tung
e)
2
32
():

2
():
xmxm
Cy
xm
-+
=
+
; d là trục hoành
Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía
với trục hoành;
a)
2
():;(0;)
1
x
CyAm
x
+
=
-
b) VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.

-+

Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.
a)
2
34
():
22
xx
Hy
x
-+
=
-
b)
2
33
():
1
xx
Hy
x
-+
=
-

1
xx
Hy
x
++
=
-
b)
2
25
():
2
xx
Hy
x
+
=
+
c)
2
33
():
2
xx
Hy
x
++
=
+


x
CyS
x
+
==


Cho h ng (C
m
): y = f(x, m) (m l tham s).
M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
)

y
0
= f(x
0
, m) (1)
Xem (1) l phng trỡnh theo n m.
Tu theo s nghim ca (1) ta suy ra s th ca h (C
m
) i qua M.
ã Nu (1) nghim ỳng vi mi m thỡ mi th ca h (C
m
) u i qua M.
Khi ú, M c gi l im c nh ca h (C
m
).
ã Nu (1) cú n nghim phõn bit thỡ cú n th ca h (C
m

y
0
= f(x
0
, m),
"
m (1)

ã
Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau:

ã
Dng 1: (1)

Am + B = 0,
"
m
ã
Dng 2: (1)


2
0
AmBmC
++=
,
"
m



Gii h (2a) hoc (2b) ta tỡm c to (x
0
; y
0
) ca im c nh.
Chỳ ý: Cỏc h (2a), (2b) l cỏc h phng trỡnh cú 2 n x
0
, y
0
.
Cỏch 2:

ã
Gi M(x
0
; y
0
) l im c nh (nu cú) ca h (C
m
).
M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
),
"


Baứi 1. Tỡm cỏc im c nh ca h th (C
m
) cú phng trỡnh sau:
a)
(1)21
ymxm
= +
b)
2
2(2)31
ymxmxm
=+ +

c)
32
(1)2(2)21
ymxmxmxm
=+ ++
d)
2
(12)(31)52
ymxmxm
= +-

e)
32
99
yxmxxm
=+ f)

mxm
+-
=
++

l)
2
572
2
3
xmx
ym
mx
ổử
-+
=ạ
ỗữ
-
ốứ
m)
2
2(2)
(0)
2
xmxm
ym
xm
-+++
=ạ
-

(3)3(3)(61)1
ymxmxmxm
=+-+-+++

b)
32
(2)3(2)421
ymxmxxm
=+-+-+-

c)
32
(4)(624)12718
ymxmxmxm
= +-

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 37

d)
3
(1)(21)1
ymxmxm
=+-+-+VN 2: Tỡm im m khụng cú th no ca h th (C
m
): y = f(x, m) i qua


Dng 1: (1)

Am + B = 0 vụ nghim m


0
0
A
B
ỡ
=
ớ
ạ
ợ
(2a)

ã
Dng 2: (1)


2
0
AmBmC
++=
vụ nghim m


2
0
0


Baứi 1. Tỡm cỏc im trong mt phng m khụng cú th no ca h (C
m
) i qua:
a)
2
(2)2
ymxmm
=+++ b)
2
22
1
11
mm
yx
mmmm
+
=+
++++

c)
2
2(1)1(0)
ymxmxmm
=+-++ạ
d)
232
2
yxmxm
=-+-


i)
2
8
1
xmxm
y
x
++-
=
-
k)
2
22
xmxm
y
xm
-++
=
-

l)
2
2
24
25
xmxm
y
xx
+-+

yxmxmx
=-+++
; (L):
2
14
yx
=+
.
c) (C
m
):
22
2
1
1
xmxmm
y
mxmm
-+-+
=
+++
; (L) l trc tung.
d) (C
m
):
22
(1)1
mxmx
y
xm


y
0
= f(x
0
, m) (1)

ã
Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau:
Am + B = 0 (2a) hoc
2
0
AmBmC
++=
(2b)

ã
S nghim ca (2a) hoc (2b) theo m = S (C
m
) i qua M.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 38

Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (C
m
) đi qua:
a) (C
m
):
2

a) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 1.
b) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 2.
c) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 3.
Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (C
m
) đi qua:
a) (C
m
):
222
(1)2
mxmmxmm

(1)(232)2(21)
yxmxmmxmm
=-+ ++-
; (L): x = 1, y > –2; k = 2.
Kh tham s m gia x v y, ta cú mt h thc gia x, y c lp vi m cú dng:
F(x, y) = 0 (gi l phng trỡnh qu tớch)
Trng hp 2: M
()
()
xahaốngsoỏ
ygm
ỡ
=
ớ
=
ợ

Khi ú im M nm trờn ng thng x = a.
Trng hp 3: M
()
()
xfm
ybhaốngsoỏ
ỡ
=
ớ
=
ợ

Khi ú im M nm trờn ng thng y = b.
3) Gii hn qu tớch: Da vo iu kin (nu cú) ca m ( bc 1), ta tỡm c iu kin
ca x hoc y tn ti im M(x; y). ú l gii hn ca qu tớch.
4) Kt lun: Tp hp cỏc im M cú phng trỡnh F(x, y) = 0 (hoc x = a, hoc y = b) vi
iu kin ca x hoc y ( bc 3).

32
23(21)6(1)1
yxmxmmx
=-++++
. Tỡm tp hp cỏc im cc i ca (C
m
).
d) (H
m
):
(1)1
1
mx
y
mx
-+
=
-
. Tỡm tp hp cỏc tõm i xng ca (H
m
).
e) (H
m
):
2
235
2
xmxm
y
x

c) (C):
1
1
x
y
x
-
=
+
v (CÂ):
20
xym
-+=

d) (C):
2
(2)
1
x
y
x
-
=
-
v (CÂ) l ng thng i qua A(0; 3) v cú h s gúc m.