BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC
Sưu tầm giả : HS Trần Anh Tuấn
Niên khóa : 2008-2012

Bao gồm :
• Lý thuyết hướng dẫn và phương pháp giải toán
• Bài tập vận dụng cơ bản và nâng cao
• Những lời khuyên lí thú và bổ ích
• Bài tập cuối chuyên đề phong phú đa dạng
1 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Bài giảng 1: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN
Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và
khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS.
Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:

yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
222
)(
(*)

++
++
≥++
2222
)(
(**)
với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
z
c
y
b
x
a
==
Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau.
Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng
.
8
)(
4
44
ba
ba
+
≥+
Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có :
.
8
)(








+=
+
≥+=+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
.4
111
=++
zyx
Chững minh rằng:
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx





++=






+






+






+














++≤
++








++≤
++
.
211
16
1
2
1
,
121
16

.
)(2
)(
2222
cabcab
cba
cbca
c
cabc
b
acab
a
ba
c
ac
b
cb
a
++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+

+
+
+
+ bacacbcba
( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa )
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng
222
cba
= 1 ta có:
).(
2
1
)(2
)(
)()()(
)(
1
)(
1
)(
1
2222222
333
cabcab
cabcab
cabcab
bac
ba
acb
ac

cb
cb
ba
ba
++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
a)
2
1
323232
≥
++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
;

≥
+−
+
+−
+
+−
Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng:
.
2
5
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ba
e
ae
d
ed
c
dc
b
cb
a
Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng :

Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau.
Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương:
a) thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng:






++≥++
cba
cba
111
3
(2)
b) Chứng minh rằng:
)(
444
cbaabccba ++≥++
(3)
c) thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
(4)
d) thỏa mãn
1
222
=++ cba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
.
b
ca

b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có:
)(
)()()()()()(
222222222222222444
cbaabccaabbccaabbc
cabcabaccbbacbacba
++=++≥
++=++≥++=++
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
c) Ta có: (4)
2
2
2
2
2
2
111
1
1
1
1
1
1
c
c
b
b
a
a
cabcab

2
2
2
111
c
ccabcab
b
bcabcab
a
acabcab
ca
ca
bc
bc
ab
ab +++
+
+++
+
+++
≥
−
+
−
+
−
⇔
( do giả thiết ab + bc + ca = 1)
222
222

++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
Đặt x =
ab
bac )( +
; y =
bc
cba )( +
; z =
ca
acb )( +
với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cuối được chuyển về dạng của (1).




++=
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
b
ca
a
bc
c
ab
S 2
2


+






=
cba
cbacba
cba
b
ca
a
bc
c
ab
( do áp dụng (1))
( Do giả thiết a
2
+ b
2
+ c
2
= 1)
Mà S > 0 nên S
3≥
. Min S =
3

222
)( cabcab
cabcab
++
++
.
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
abc
cba
cba
cabcab
3
222
)( ++
+
++
++
.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
.
2
9
2
2
22
2
22
2
22333

abc. (1)
Lời giải: Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z. (x; y; z là các số tự nhiên > 0)
Suy ra a =
2
zx +
; b =
2
yx +
; c =
2
zy +
. Thay vào (1), ta được:
xyz
8
))()(( xzzyyx +++
≤
xyzxzzyyx 8))()(( ≥+++⇔
(2)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 2 số dương, ta có:
xyyx 2≥+
;
yzzy 2≥+
;
zxxz 2≥+
.
Nhân từng vế các BĐT trên ta suy ra (2). Nghĩa là (1) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó đều.
Chú ý:
1) Ta có thể sử dụng phương pháp khác để chứng minh BĐT (1). Hầu hết các bài toán có dạng a + b – c; b + c
– a; c + a – b đều có chung một hướng giải là đổi biến.

cba
bc
+
+
+
+
+
.
Lời giải : Đặt x =
a
1
; y =
b
1
; z =
c
1
thì x, y, z > 0 và xyz = 1. Khi đó
P =
2
3
2
3
2
3
222
=≥
++
≥
+

a
.
( Bất đẳng thức Nêsơbit )
Đây là bài toán cơ bản, là BĐT được sử dụng không nhiều trong chương trình toán THCS. Có nhiều cách để chứng
minh nó. Xin giới thiệu phương pháp: Đổi biến!
6 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
[ ]
[ ] [ ]
))((9)(29
)(2)(510
)()(192)(237
)1)(1)(1(92)1)(1()1)(1()1)(1(7
zxyzxyzyxxyzzxyzxyxyz
zxyzxyzyx
xyzzxyzxyzyxzxyzxyzyx
zyxxzzyyx
++++≤⇔++≤⇔
+++++≤⇔
−+++++−+≤+++++−⇔
−−−+≤−−+−−+−−
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Lời giải: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b.
Ta có : a =
2
xzy −+
; b =
2
yzx −+
; c =








+=
−+
+
−+
+
−+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
zyx
y
yzx
x

+
+
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng :
.
6416411
dcbadcba +++
≥+++
Bài 4. Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
a) 3abc( a+ b + c)
≤
1
b) Nếu a, b, c dương thì:
)(2111
222
cbacba ++≤+++++
c) Nếu a, b, c dương thì:
.
111222
444464646
cbaac
c
cb
b
ba
a
++≤
+
+
+
+

da
.
Lời giải: Bằng cách cộng 4 vào mỗi vế của BĐT trên, ta được:
4
)(4
4
)(4)(4
4
11
)(
11
)(
4
≥
+++
+++
⇔
≥
+++
+
+
+++
+
⇔
≥






dc
dcba
ba
dacb
dc
acbd
ba
da
dc
ac
ab
cb
cd
bd
ba
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c = d.
Bài toán 2. Hai số dương a, b có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a)
6
11
22
≥
+
+
ba
ab
; b)
14
32


+
+
=
+
+
baabba
abab
baba
ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5.
b)
.14
)(
2
)(
12
2
1
2
11
3
32
222222
=
+
+
+
≥+


aaa
221
1( +≥
)
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận được:
Bất đẳng thức, cực trị
.
)1)(1(
1
1
1

1
1
1
1
,
)1)(1(

1

11
1
21
1
21
2
2
1
1

+
++
+
+
+
Cộng các vế tương ứng của hai BĐT này thì được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số trên bằng nhau.
Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:






++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
≤
+++ cbadcdbcbdacabadcba
111
4

* Trường hợp còn lại xin dành bạn đọc.
Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:
8 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
3)(7
111
4)(2
222
−++≥






+++++ cba
cba
cba
.
( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 8 + 9 / 2011)
Lời giải: Đặt S = a + b + c. Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số thức dương ta có: S
33
3
=≥ abc
. Do đó:

3)(7
111
4)(2

– 7S + 3 = (2S – 1)(S – 3)
≥
0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
)(29
)()()(
222
ba
c
ac
b
cb
a
ca
ac
bc
cb
ab
ba
+
+
+
+
+
+≥
+
+
+
+



+
+
+
+
+
+=






+
+
+
+
+
++≥






+
+
+
+




++






++=++++++++=
++
+
++
+
++
=
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ba

b
a
b
b
a
ca
acac
bc
cbcb
ab
baba
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Việc vận dụng BĐT Cauchy và các BĐT phụ khác đem lại một hiểu quả bất ngờ!
* Trong giải toán, một số BĐT cần phải chứng minh mới sử dụng được.
Bất đẳng thức, cực trị đại số
Bài giảng 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC
9 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn






−+≥++
cbaab
c
ca
b
bc
a 111

.
222222
b
ac
a
cb
c
ba




( Xem toỏn tui th 2 thỏng 2/2011)
Li gii: Vỡ
cba

nờn:
M =
b
abbc
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba




+
ab
cb
bc
ba
M = 0 khi v ch khi a = b. Vỡ 3a 4b + c = 0 nờn a = b = c.
Vy giỏ tr nh nht ca M bng 0.
Bi toỏn 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau:
a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab.
Li gii: Giả sử xảy ra đồng thời các bất đẳng thức trên. Từ hai bất đẳng thức đầu ta có:
(a + b)
2
< (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)
2
- ab 3ab
=> cd > 3ab (1)
Mặt khác, ta có:
(a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)
2
cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd)
=> 4abcd (a + b)
2
cd < ab (ab + cd) = a
2
b
2
+abcd

11
nn
nn
ba
ba
ba
ba
ba
ba
+
++
+
+
+
Li gii: p dng BT Cauchy, ta cú:
kkkk
baba 2+
hay
.
4
4)(
2
kk
kk
kk
kkkk
ba
ba
ba
baba

b
bc
a 111
2
BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS
2012
Cho k = 1, 2, , n, ri cng cỏc v tng ng ca n BT nhn c, ta cú:
P
2
1
4

2121
=
+++++++

nn
bbbaaa
.
Hn na nu chn a
k
= b
k
=
n
1
vi mi 1
nk
thỡ P = 0,5.
Vy giỏi tr ln nht ca P l 0,5.

2
= a
2
(c
2
+ d
2
) + b
2
(c
2
+ d
2
) = (a
2
+ b
2
) (c
2
+d
2
)
Vì ad - bc = 1 nên: 1 + (ac + bd)
2
= (a
2
+ b
2
)(c
2

b
b
a
a
.
Chng minh rng: abcd
81
1

.
Li gii: T gi thit suy ra:

aa
a
d
d
c
c
b
b
+
=
+

+
+
+
+
+ 1
1

1
1
+++

+ dca
acd
b
;
.
)1)(1)(1(
3
1
1
;
)1)(1)(1(
3
1
1
33
+++

++++

+ cba
abc
ddba
abd
c
Nhõn tng v bn BT, ta c 1
abcd81

3
1
321
SSSS ++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=






=
1
2
1
22
2




S
S
===>=
BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS
2012
Suy ra:
Do đó:
Suy ra:
b. p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
S = (1
2
+ 1
2
+1
2
)(S
1
+S
2
+ S
3
)
Suy ra: S
1
+ S
2
+ S
3
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
S

50 x
+ |71x + 70| + +|99x + 98|

| x + (2x 1) + + (69x 68) 50
+






+
70
69
x
(71x + 70) + + (99x + 98)| =
7
285
.
Du bng xy ra khi v ch khi x =
70
69
. Vy, giỏ tr nh nht ca B l min B =
7
285
.
C s õu, nguyờn nhõn no v ti sao li bin i c nh vy ?
Cú cỏch no khỏc na hay khụng ?
Cỏch gii trờn dựng tớnh cht gỡ ca giỏ tr tuyt i ?
Bi toỏn 9. Cho x l s thc thay i trờn on










= xxx
Hn na, A = 16 khi v ch khi x =
5
52
. Vy, giỏ tr ln nht
ca A l max A = 16.
Bi toỏn 10. Cho 3 s thc dng x, y, z. Chng minh rng
12
9425
>
+
+
+
+
+ yx
z
xz
y
zy
x
Li gii: t a = y + z, b = z + x ; c = x + y. Khi ú x =

2
321321
SSSSSSSS ++==>++=
++
2
321
).1.1.1( SSS
3
1

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
670
20091
222
≥
++
+
++
cabcab
cba
Lời giải: Ta có,
1
)(
9111
2222
≥
++
≥
++

≥
3(ax + by + cz)
( BĐT Trê – bư - sép)*
Lời giải: Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) – 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) – 3ax + b(x + y + z) – 3by + c(x + y + z) – 3cz
= a(y + z – 2x) + b(x + z – 2y) + c(x + y – 2z)
= a
[ ] [ ] [ ]
)()()()()()( yzzxcxyyzbzxxy −−−+−−−+−−−
= (y – x)(a – b) + (x – z)(c – a) + (z – y)(b – c)
0≥
( Vì theo giả thiết, ta có
cba ≥≥
và
zyx ≤≤
)
Nên suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và a = b = c.
* Trê – bư – sép (1821 – 1894), nhà toán học Nga.
Bài toán 13. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
.
6416411
dcbadcba +++
≥+++
Lời giải: Áp dụng BĐT
yxyx +
≥+
411
với mọi x, y là các số dương, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d.
Cũng có thể dùng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh như sau:
64
16
.
4
.
1
.
1
.
16411
)(
2
=








+++≥







BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
(a – b) +
4
22
)1)((4
)1)(1(4
)(4
)1)((
4
2
1
2
1








+−
++
−≥
+−
+
+
+
+

≥
4(ab + bc + ca) – 1
⇒
P =
2
9
222
abc
cba +++

≥
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) -
2
1
= (a + b + c)
2
-
2
1
= 1 -
2
1
=
2

20
11
20
x
z
z
y
y
x
++
trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn a + b +
c = 2001. ( Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 11/2001)
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 20 số, trong đó có 11 số y và 8 số 667, ta có:
xy
y
x
y
y
x
20667
667
20667.811
667
20
811
811
20
811
20
=≥++

x
++

≥
(9(x + y + z) – 3.8.667).667
8
= 3.667
9
với BĐT xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 667.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm là 3.667
9
.
Bài toán 17. Gọi x là số lớn nhất trong 3 số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =
3
11
x
z
z
y
y
x
++++
. (Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 12/2001)
Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho các số trong căn, ta có:
A =
3
11
x
z
z

x
x
z
z
y
y
x






−+






−+








++=++≥

x
x
z
z
y
y
x
(2)
Mặt khác theo giả thiết đã cho x = max(x , y , z), cho nên
x
z
y
x
≥≥ 1
và vì
22
6
20
22
1
3
−>>−
nên từ (1) và (2)
ta có: A
.221
22
6
2
22
1

10
2
10
1
4
1
2
1
yxyx
x
y
y
x
+−++








+
Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho 4 số, ta có:
22
2
10
2
10
211

5
4
1
2
1
2221616
2
10
2
10
−≥⇒+≥+++








+ Qyxyx
x
y
y
x
.
Q =
.1
2
5
22

.
11)1)(1(
)1()1(
2222
−
+
−
=
−−
−+−
x
y
y
x
yx
yyxx
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
P
8
2
11
.
2
11
2
)1)(1(
2
=



1
+
≤
+
+
+ c
c
ba
. Tìm min abc ?
Lời giải: Ta có:
0
)235)(1(
35
2
235
35
1
1
574
4
>
++
≥
+
+
+
≥
+ babac
c
. (1)

15 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
0
)574)(1(
57
2
574
57
1
1
235
2
235
2
235
35
11
574
4
1
1
>
++
≥
+
+
+
≥
+
⇔
+

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2.
Vậy min abc = 1995 khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2.
Bài toán 21. Cho x, y là hai số thỏa mãn đồng thời:
632,0,0 ≤+≥≥ yxyx
và
42 ≤+ yx
. Tìm max và min của
biểu thức K = x
2
– 2x – y.
Lời giải: Từ 2x + 3y
6≤
suy ra y
2
3
2
3
2
2 −≥−⇒−≤ xyx
K = x
2
– 2x – y
9
22
9
22
3
2
2

x4≤
( x
0≥
). Suy ra: x
2
– 2x – y
0
2
)2(
2
≤
+−
=−−≤
xy
y
xy
y = 0 y = 0
Suy ra max K = 0 khi và chỉ khi hoặc
x = 0 x = 2
* Nhiều khi việc tìm trực tiếp GTNN của biểu thức K gặp khó khăn. Tuy nhiên, ta có thể bắc cầu K qua biểu thức B
(bé hơn)theo sơ đồ ‘‘ bé dần’’ : K
≥
B. Rồi đi tìm GTNN của B, từ đó suy ra GTNN của biểu thức K. Các mối liên
hệ gữa K và giả thiết sẽ chỉ dẫn chúng ta đến tìm B.
* Chắc chắn bạn còn thắc mắc bài toán có hai giả thiết, thế nhưng khi giải lại chỉ sử dụng đến một giả thiết mà
thôi (!)
* Trong quá trình đánh giá có thể tìm được nhiều biểu thức B. Gọi B
k
là một trong những biểu thức đó và có min
B

≥
3(xy + yz + zx)
Vì x + y + z = 1 nên suy ra
3
1
≥
++ zxyzxy
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
.
Ta có :
4
)(
41
)(2
1
2222
=
++
≥
++
+
++
zyxzyx
zxyzxy
16 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
bc
c

+
⇔
bcbca
a
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
144.23.2
2
)(2
2
)(2
423
222222
=+≥
++
+
++
+
++
=
++
+
++
⇒
zyx
zxyzxyzxyzxy
zyx
zxyzxy
. (1)
x = y = z = 1/3

4
+

6x
2
y
2
, trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn
5
3
22
≥+
=+
yx
yxTừ các hệ thức trên, ta có : x
2
+ y
2
+ 2xy = 9
x
2
+ y
2

≥
5
Suy ra (x

+ y
2
)(2xy) (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4(x
2
+ y
2
) = 10xy
Cộng hai vế của (1) với 25(x
2
+ y
2
)
2
+ 16(2xy)
2
ta có :
41
[ ] [ ]
2
2
222222
41)2(4)(5)2()( ≥++≥++ xyyxxyyx
hay (x
2
+ y
2
)
2
+ (2xy)

0
⇒
a
2

≤
a + 6.
Tương tự : b
2

≤
b + 6
⇒
2b
2

≤
2b + 12;
c
2

≤
c + 6
⇒
3c
2

≤
3c + 18 .
Từ các BĐT trên, suy ra: M = a

kia bằng 1.
Bài toán 26. Cho hàm số: f(x;y) = (1 + x)(1 +
y
1
) + (1+ y)(1 +
x
1
) với x, y > 0 và x
2
+ y
2
= 1.
Tìm min f(x ;y) ?
Lời giải : f(x ;y) = (1 + x)(1 +
y
1
) + (1+ y)(1 +
x
1
)
= 1 +
y
x
y
+
1
+ x + 1 +
x
y
x

1
(2
2
2
yx
+++
.
Mặt khác :
2
)(2
4
2
4
)(
4
2
1
2
12
)(2
4
2
1
2
1
22222
2
=
+
≥

2
2
4 +=++≥
.
Min f(x ;y) =
.
2
2
234 ==⇔+ yx
Bài toán 27. Cho biểu thức P =
.2)3(5. xxxx +−+−
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết x nằm trong
khoảng từ 0 cho đến 3.
Lời giải : * Giá trị nhỏ nhất :
Vì 0
≤
x
≤
3 nên
0
2355
≥
=−≥−
x
x

Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0.

03
22

– 3x + 18 + 2
.2)3.(5. xxxx +−−
= 18 + x(3 – x) . ( 2
).12.5 −+− xx
)
Ta có : 0
≤
x(3 – x) =
4
9
2
3
4
9
2
≤






−− x
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5.
Vì (
xx +−− 25
)
2

7252.5.20 =++−≤+−⇒≥ xxxx

.
Với giá trị nào của các số nguyên dương x, y, z thì P đạt giá trị dương bé nhất ?
(Thi HSG Quốc gia 1988 – 1989, Bảng A)
Lời giải : Vì P > 0 suy ra
2
1111
<
++
+
+
+
zyxyxx
.
Đặt Q =
QP
zyxyxx
−=⇒
++
+
+
+
2
1111
.
Do đó : P
min
khi và chỉ khi Q
max
khi và chỉ khi x
min.

++
+
+
+=⇒
zyyzyy
Q
Vì
3
1
không đổi nên Q
max
khi và chỉ khi y
min
.
Mà :
447363
6
1
3
1
=⇒≥⇒≥+⇒>+⇔<
+
yyyy
y
(Vì y nhỏ nhất)
Khi y = 4
42
1
7
1

3
1
−−−≥⇒++≤ PQ
.
Min P =
⇔−−−
43
1
7
1
3
1
2
1
(x, y, z) = (3, 4, 36).
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là
43
1
7
1
3
1
2
1
−−−
.
Bài toán 29. Cho a, b, c là các số dương a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
a
5
(bc – 1) + b

+
−
.
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
32
13
2
33
3.3
22
1
2
2
22
2.2
2
11
2
11
1
≤
−
⇒
+−
≤−
≤
−
⇒
+−
≤−

2
1
. Max P =








++
3
1
2
1
1
2
1
khi và chỉ khi x = 2; y = 4; z = 6.
Bài toán 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =
.
111







M =
.
111
222
x
z
z
y
y
x
zxyzxy
+
+
+
+
+
+++
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có :
19 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
x
x
y
yxy
y
x
==
+
+

+
+
+ 4
1
1
2
. Cộng từng vế các BĐT trên, ta có :
2
3
4
3
.3.
4
3
4
3
)(
4
3
111
3
222
=−≥−++≥
+
+
+
+
+
xyzzyx
x

+
++
+
+
++
+
+
++
3
3
2
4
1
5
.
Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra P =
c
c
b
b
a
a
+
−
+
+
−
+
+
−

9
3
321
3
)3)(2)(1(
3
3
1
2
1
1
1
3
=
+++++
≥
+++
≥
+
+
+
+
+
cba
cba
cba
Suy ra P
6≥
. Min P = 6 khi và chỉ khi 1 + a = 2 + b = 3 + c suy ra (a, b, c) = (3, 2, 1).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.

.5515
1
1
3
1
3
1111
1
1
1
1
1
)(
=+








+
−
+
−≤+






+
+
+
+
+
++⇒
zy
y
yx
z
x
zxy
y
yzx
z
yz
x
zxy
z
yzx
y
yz
x
xy
z
zx
y
yz
x

cbacaba
a
Lời giải : Đặt
zay
ac
x
ba
==
+
=
+
;
2
;
2
. (x, y, z > 0)
Suy ra x + y > z ; y + z > x ; z + x > y.
Bằng cách khai triển, vế trái thu được bằng :
VT =
yx
z
xz
y
zy
x
cba
a
ba
ca
ca

++
<
+
2
.
Tương tự :
zyx
y
xz
y
zyx
x
zy
x
++
<
+++
<
+
2
;
2
. Cộng theo từng vế các BĐT trên, ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 35. Cho x, y thuộc (0 ; 1). Tìm min A =
.
1
11
22
yx
yxy

=−
+
+








++
−
+








++
− yxyxyx
y
y
y
x
x
x

+
−
+
− yxyx
yxyx
yxyx
⇒
A
2
5
2
2
9
=−≥
.
Min A = 5/2 khi và chỉ khi x; y thỏa mãn các điều kiện:
yx −
=
− 1
1
1
1
và
yxx +
=
−
1
1
1
3




++−
−+−
+
−+−
+
−+−
zyx
z
zx
y
zy
x
yx 111)1()1()1()1()1()1(
222
=








++−




)1(
11
)1(
11
)1(
222222

2
111111)1(2)1(2)1(2
−++=








++−
−
+
−
+
−
≥
zyxzyxyz
z
xy
y
xz

. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min P =
23 −
.
Bài toán 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
y(4 – x – y) trong đó x, y là các số không
âm thay đổi và luôn thỏa mãn x + y
≤
6.
Lời giải: * Tìm giá trị lớn nhất:
Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của A khi 4 – x – y
≥
0. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta được:
A =
.4
4
2282
4
1
)228.(2
4
1
4
=










++
≤ AB
yxx
.
21 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 4, y = 2.
Bài toán 38. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x
3
(2 – x)
5
khi x thay đổi trên đoạn
[ ]
2;0
.
Lời giải: Ta viết lại f(x) dưới dạng f(x) =
5
33
)2(
3
5
5
3
xx −



5
3
5
)2(8






−≥
x
x
, hay
8
3
5
3
5
)2(810






−≥
x
x
tức là







++






++








+
xy
z
z
zx
y
y
yz

(Với x, y, z > 0)
Mà ta luôn có BĐT
( )
2
222
3
1
zyxzyx ++≥++
. Mặt khác, áp dụng BDDT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta
có :
zyx
xyz
xy
z
zx
y
yz
x
++
≥≥++
93
3
.
Suy ra P
2
9
2
9
.
2

2
9
khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là min P =
2
9
.
Bài toán 40. Cho x, y, z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =
yyxx
yxz
xxzz
xzy
zzyy
zyx
2
)(
2
)(
2
)(
222
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
≥
.
Đặt
cxxzzbzzyyayyxx =+=+=+ 2;2;2
9
24
;
9
24
;
9
24 acb
zz
cba
yy
bac
xx
−+
=
−+
=
−+
=⇒
22 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
2)633.4(







−+
+
−+
+
−+
≥⇒
a
c
c
b
b
a
a
b
c
a
b
c
a
acb
c
cba
b
bac

.
Bài 3. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y
1≤
.
23 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A =
xy
x
11
+
.
Bài 4. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
33
1
11
33
3333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy

+++
.
Bài 9. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc đoạn
[ ]
4;1
và
zxyx ≥≥ ,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+ 32
.
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz thì :
333
)(5))()((3)()( zyyzzxyxzxyx +≤+++++++
Bài 11.Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn
24)(
3
≥++ xyyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x
4

P =
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
194592194592194592194592 ++
+
++
+
++
+
++
.
Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
cabcab
cba
1111
222
+++
++
.
Bài 16. Cho các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn : xy + 4zt + 2yz + 2xt = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =
ztxy 2+
.
Bài 17. Cho
6211 =+++ yx

24 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
F =
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcacc
ycxc
cbabb
xbyb
cabaa
yaxa
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
trong đó x ; y là hai số dương có tổng bằng 1
Bài 22. Cho a
1
+ a
2
+ + a

+ c
2
+ d
2
= 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
1111 −+−+−+− dcba
.
Bài 25. Cho a + b = 16. Tìm min của biểu thức: N = 5ab
2
+
)16( +ba
+2(a - 1) + 3(b + 1).
Bài 26. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)
4
)()()(
2
3
2
3
2
3
cba
ac
c
cb
b
ba
a ++
≥

3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
.
Bài 27. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = 4. Chứng minh rằng:
a + b + c
≥
ab + bc + ca
Bài 28. Cho các số thực a, b, c
[ ]
1;0∈
. Chứng minh rằng: a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a)
1≤
Bài 29. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3≥

888
3
3
3
3
3
3
( Thi Iran MO – 2008 )

* Trên đây là các bài toán về BĐT, cực trị trong chương trình THCS. Nó góp phần vào việc vận dụng linh hoạt trí
óc, tư duy lô – rích, giúp các em học khá hơn, giỏi hơn về chuyên đề BĐT trong chương trình toán THCS, giúp các
thầy, cô giáo dạy toán thêm một tài liệu bổ ích, dùng để ôn thi, dạy các em học sinh khá, giỏi.
* Tất nhiên là các bài toán trên đây có nhiều cách giải khác nhau. Bài viết này chỉ mang tính gợi ý
giúp các em học sinh nâng cao dần khả năng học toán, rồi từ đó trở nên yêu thích môn toán hơn, mang trào lưu
đam mê toán ra khắp cộng đồng.
* Mong các đồng nghiệp tích cực tham khảo, nghiên cứu chuyên đề này, giúp các em định hướng cách học môn
toán tốt hơn. Xin cảm ơn!
=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=
25 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn