Chương 6
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân là phương trình chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm ( tức là các ẩn) và
các đạo hàm của nó.
Nếu trong phương trình vi phân (ptvp) chỉ có hàm một biến thì phương trình được gọi là phương
trình vi phân thường.
Nếu hàm phải tìm là hàm nhiều biến số thì ptvp được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Ví dụ 6.1. Các phương trình
ysinx + y

cosx −1 = 0
y
2
− 2y
4
= 0
y
2
− 4y = e
x
− x
là các phương trình vi phân thường.
Các phương trình
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2

x: là biến độc lập ;
y = y(x): hàm phải tìm;
y

là đạo hàm của y.
Ngoài ra người ta còn có thể viết phương trình vi phân cấp 1 có dạng: y

= f(x, y) hoặc
dy
dx
=
f(x; y) với f(x; y) là hàm của 2 biến độc lập.
http://maths3.wordpress.com 63
b. Nghiệm của phương trình vi phân
Là 1 hàm y = y(x) hoặc ϕ(x; y) = 0 xác định trong khoảng (a; b) là nghiệm của phương trình
(6.1). Nếu thay thế vào phương trình vi phân (6.1) ta có đồng nhất thức. Khi đó đồ thị của y = y(x)
được gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân.
Ví dụ 6.2. Phương trình y

= 2x là ptvp cấp 1, có 1 nghiệm y = x
2
.
Ngoài ra: y = x
2
+ C, C =Const cũng là nghiệm của phương trình vi phân trên.
c. Nghiệm tổng quát của ptvp
Là hàm số có dạng y = ϕ(x; C) hoặc ϕ(x; y; C) = 0 (C- hằng số) thoả mãn điều kiện:
i) Nó thoả mãn phương trình mọi giá trị của C
ii) Tại mọi điểm (x
o

= y có nghiệm tổng quát ln y = x + C với y = 0
nghiệm riêng tại (1;1) là ln y = x − 1
nghiệm kì dị y = 0.
e. Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (6.1) thoả mãn điều kiện y(x
0
) = y
0
(tức là nghiệm riêng)
của phương trình gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện y(x
0
) = y
0
còn được viết dưới dạng y|
x=x
0
= y
0
gọi là điều kiện ban đầu.
Ví dụ 6.4. Giải ptvp y

= cos x thỏa mãn điều kiện y|
x=0
= 1.
Lời giải.
y = cos xdx + C hay y = sin x + C (C = const),
vì y(0) = 1 ⇒ 1 = sin 0 + C ⇒ C = 1,
do đó nghiệm riêng muốn tìm là y = sin x + 1.
f. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 6.1. Cho phương trình vi phân cấp 1: y

2
(y).y

= 0
b. Cách giải
Lấy tích phân hai vế phương trình (6.2) ta có: f
1
(x)dx + f
2
(y)dy = C
c. Ví dụ
http://maths3.wordpress.com 64
Ví dụ 6.5. x
2
dx + ydy = 0 ⇔
x
3
3
+
y
2
2
= C
Ví dụ 6.6. y

= (1 + y
2
).e
x
⇔ y = tan(e

2
(x)
dx +
g
2
(y)
g
1
(y)
dy = 0 là
phương trình biến số phân ly.
Nếu g
1
(y) = 0 thì y = b là một nghiệm kỳ dị Nếu f
2
(x) = 0 thì x = a là một nghiệm kỳ dị
Ví dụ 6.7. Giải phương trình vi phân: (y
2
− 1)dx − y(x
2
+ 1)dy = 0
Phương trình trên có:
+ Nghiệm tổng quát là: arctgx =
1
2
ln |y
2
− 1| + C
+ Nghiệm kỳ dị y = ±1
2. Phương trình thuần nhất

dx
x
(∗) ( phương trình với biến số phân ly)
Khi giải pt (∗) ta nhận được nghiệm tổng quát khi f(u) − u = 0. Nếu f(u) − u = 0
Tại u = a thì ta có thêm nghiệm kì dị y = ax.
Ví dụ 6.8. Giải phương trình y

=
x − y
x + y
Ví dụ 6.9. Giải phương trình
dy
dx
=
x
2
+ y
2
−2xy
, y(1) = 1
Dạng 2.
dy
dx
= f
a
1
x + b
1
y + c
1

1
Y = y − y
1
Khi đó phương trình (6.3”) đưa về dạng (6.3’).
dY
dX
= F
Y
X
+ Nếu hệ phương trình:
a
1
x + b
1
y + c
1
= 0
a
2
x + b
2
y + c
2
= 0
vô nghiệm thì đặt u = a
1
x + b
1
y. Khi đó phương
trình đã cho trở thành phương trình tách biến.

du
dX
=
1 − u
1 + u
⇒
(1 + u)du
1 − 2u − u
2
=
dX
X
⇒ −
1
2
ln 1 − 2u − u
2
= ln |X|−
1
2
ln |C|
⇒ (1 −2u −u
2
)X
2
= C
⇒ (X
2
− 2XY − Y
2

x
x
0
M(x, y)dx +
y
y
0
N(x
0
, y)dy.
Hoặc U (x; y) =
x
x
0
M(x, y
0
)dx +
y
y
0
N(x, y)dy.
Ở đây x
0
, y
0
là một điểm bất kỳ thuộc miền D mà tại đó M, N không đồng thời triệt tiêu.
c.Ví dụ
Ví dụ 6.11. Giải phương trình (x
2
+ y

Do vậy nghiệm của phương trình là
x
3
3
+ y
2
x + sin y + C
Ví dụ 6.12. Giải phương trình (4 −
y
2
x
2
)dx +
2y
x
dy = 0
Hàm số P (x, y) = 4 −
y
2
x
2
, Q(x, y) =
2y
x
liên tục trên R\(0, y) có P

y
= Q

x

được gọi là thừa số tích phân. Ta chỉ xét α có dạng đặc biệt
+ α = α (y) . Khi đó,
∂α
∂x
= 0. Điều kiện (∗) trở thành : α

P + αP

y
= αQ

x
,
Tức tìm α = α (y) khi
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
P
không phụ thuộc x .
+α = α (x) Khi đó,
∂α
∂y
= 0 điều kiện (∗) trở thành α

Q + αQ

x
= αP

− 3y
3
) + α (4xy − 9y
2
) = α (−3y
2
)
⇒ y
2
(2x − 3y) α

+ 2y (2x − 3y) α = 0
⇒ yα

+ 2α = 0 (y = 0, 2x = 3y)
⇒
dα
α
= −
2dy
y
⇒ ln
α
C
= ln
1
y
2
⇒ α =
C

0
, y
0
= (0, 1), ∀y = 0, 2x = 3y thì u (x, y) = x
2
− 3xy −
7
y
= C y = 0 là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ 6.14. gpt (x + y
2
) dx −2xydy = 0.
Tìm thừa số tích phân dạng α = α (x) =
1
y
2
. Khi đó, nghiệm là ln |x| −
y
2
x
= ln |C|.
4. Phương trình vi phân tuyến tính
a. Định nghĩa
Định nghĩa 6.5. : PTVP tuyến tính cấp 1 là PT có dạng
y

+ p (x) y = f (x) (6.5)
trong đó, p (x) , f (x) là hai hàm liên tục trên (a, b) .
Nếu f (x) = 0 thì PT dạng y


).
Lấy đạo hàm theo x sau đó thay vào PT (6.5) để tìm C(x) , rồi thay C(x) vào (6.5

) ta có nghiệm
của PTVP đã cho.
Ví dụ 6.15. gpt (x
2
+ 1) y

+ xy = 1 thỏa mãn điều kiện y
|
x=0
= 2.
Giải.
Xét pt thuần nhất tương ứng: (x
2
+ 1) y

+ xy = 0.
Với y = 0, ta có
dy
y
= −
x
x
2
+ 1
dx ⇒ ln |y| = ln
1
√

+ 1
C (x)
x
2
+ 1
,
thay vào pt ban đầu ta được C

(x)
√
x
2
+ 1 = 1 ⇒ C

(x) =
1
√
x
2
+ 1
⇒ C (x) =
ln x +
√
x
2
+ 1 + C
1
.
Vậy ta có nghiệm tổng quát của pt: y =
ln x +

− ycotgx = 0 ⇒ y = C (x) e
cot gxdx
⇒ y = C (x) sin x
Thế vào pt ban đầu ta được:
C

(x) sin x + C (x) cos x − C (x) cos x = 2x sin x
⇒ C

(x) = 2x ⇒ C (x) = x
2
+ C
1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình y = x
2
sin x + C
1
sin x
Ví dụ 6.17. gpt xy

− 3y = x
2
⇒ y

−
3y
x
= x
Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y = Ce
3 ln x

ta được: y
−α
y

+ p (x) y
1−α
= f (x)
Đặt z = y
1−α
ta được z

= (1 −α) y
−α
y

thay vào PT (6.6) ta có:
1
1 − α
z

+ p (x) z = f (x) .
Đây là PT tuyến tính đối với z, hay: z

+ (1 − α) p (x) z = (1 − α) f (x)
Giải PT này, ta được nghiệm z = z (x) trả biến ta tim được nghiệm tổng quát của PT đã cho.
c. Ví dụ
Ví dụ 6.18. gpt y

−
4

y

√
y
⇒ y

= 2z

√
y, thay vào PT trên ta được 2z

−
4
x
z = x ⇒ z

−
2
x
z =
1
2
x
(phương trình tuyến tính)
+ Nghiệm tổng quát của PT tuyến tính thuần nhất tương ứng là: z = Cx
2
+ Nghiệm tổng quát của PT tuyến tính là: z =
1
2
ln |x|+ C

1
y
ta được PT: z

−
1
x
y = −
ln x
x
nghiệm của PT này là: z = 1 + Cx + ln x ⇒ y =
1
1 + Cx + ln C
6. Phương trình Lagrange
a. Định nghĩa
Định nghĩa 6.7. Là PT dạng:
y

= xf (p) + g (p) (6.7)
trong đó f (p) , g (p) là hàm một biến p = y

b. Cách giải p = y

hay dy = pdx Lấy vi phân hai vế của 7.7 theo x ta được pdx = f (p) dx +
[f

(p) x + g

(p)] dp (6.7


= t nên ta có dy = tdx Do đó, tdx = t
2
dx + 2xtdt + dt ⇒ (t
2
− t) x

+ 2tx + 1 = 0
(tuyến tính đối với x(t).)
http://maths3.wordpress.com 69
Ví dụ 6.21. gpt y = xy

+ y
2
Giải. Đặt y

= t PT đã cho trở thành y = xt + t
2
(∗) ⇒ dy = tdx + ( x + 2t) dt
Ta có (x + 2t) dt = 0, dy = tdx
Nếu dt = 0 ⇒ t = C ⇒ y

= C ⇒ y = Cx + C
1
là nghiệm tổng quát.
Nếu x + 2t = 0 ⇒ x = −2t thế vào (∗) ta có: y = −2t.t + t
2
= −t
2
Vậy
x = −2t

trong đó: x là biến độc lập,
y = y (x) là hàm cần tìm,
y

, , y
(n)
là các đạo hàm cấp 1, , n.
+ Cấp cao nhất của đạo hàm y(x) được gọi là cấp của PT.
+ Nghiệm của (6.9) là hàm y = y (x) xác định và khả vi n lần trên (a, b) sao cho:
F x, y (x) , y

(x) , , y
(n)
(x) = 0 trên (a, b)
Đường cong y = y(x), với x ∈ (a, b) gọi là đường cong tích phân của phương trình (6.9).
Nếu giải ra được đối với y
(n)
thì phương trình vi phân cấp n có dạng:
y
(n)
= f (x, y, y

, y

, , y
(n−1)
). (6.10)
b. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 6.3. Nếu vế phải của (6.10) là một hàm liên tục của n + 1 biến trong một miền nào đó của
R

0
) = y
0
, y

(x
0
) = y

0
, , y
n−1
(x
0
) = y
n−1
0
. (6.11)
Điều kiện (6.11) gọi là điều kiện ban đầu. Hàm y = y(x) nói trên được gọi là nghiệm của phương
trình (6.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu (611).
http://maths3.wordpress.com 70
6.2.2 Phương trình vi phân cấp 2
Định nghĩa 6.9. Là PT có dạng:
y

= f (x) (6.12)
y = ( f (x) dx) dx + C
1
x + C
2

1
) ⇒ y =
pdx = ϕ (x, C
1
) dx
c. Ví dụ
Ví dụ 6.23. gpt xy

+ y

= x
2
Giải. Đặt p = y

→ p

+
1
x
p = x (PT tuyến tính)
Nghiệm tổng quát p =
x
2
3
+
C
1
x
⇒ y


= p
dp
dy
(vìy

x
= p

x
= p

y
y

x
mà p = y

x
và p

y
=
dp
dy
)
Khi đó, ta có PT vi phân cấp 1: F y, p, p
dy
dp
= 0
c. Ví dụ


⇒ dy = pdx nên ta có pdx = 2C
1
pdp (∗)
Nếu p = 0 ⇒ y

= 0 ⇒ y = C không là nghiệm của PT (loại).
Nếu p = 0 PT (∗) trở thành: dx = 2C
1
dp ⇒ p =
x
2C
1
+ C
2
Vậy nghiệm tổng quát của PT là: y = C
1
(1 + p
2
) = C
1
1 +
x
2C
1
+ C
2
2
http://maths3.wordpress.com 71
6.2.3 Phương trình tuyến tính với hệ số là hằng số

(x) cũng là nghiệm
của PT (6.15

) (C
1
, C
2
là các hằng số)
+ Hai hàm số y
1
(x), y
2
(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên nếu
y
2
(x)
y
1
(x)
= là hằng số trên đoạn
đó. Trường hợp ngược lại được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
+ Định thức W =
y
1
y
2
y

1
y

1
, C
2
là hằng số).
- Để giải pt (6.15

) (tức là tìm nghiệm tổng quát) ta đi tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính,
ta sẽ tìm nghiệm riêng của (6.15

) dưới dạng y = e
kx
k là hằng số nào đó. Ta xét pt đặc trưng:
k
2
+ pk + q = 0 (∗)
- Nếu (∗) có 2 nghiệm thực phân biệt k
1
= k
2
thì nghiệm tổng quát của pt (6.15

) là y =
C
1
e
k
1
x
+ C
2

e
kx
+ C
2
xe
kx
Ví dụ 6.26. y

− 2y

+ y = 0 nghiệm tổng quát y = C
1
e
x
+ C
2
xe
x
+)Nếu (∗)có 2 nghiệm phức liên hợp
k
1
= α + iβ
k
2
= α −iβ
hì nghiệm tổng quát (6.15

) là: y =
e
αx

(x) + C
2
y
2
(x). Coi
C
1
= C
1
(x)
C
2
= C
2
(x)
khi đó ta tìm được nghiệm tổng quát của (6.15) dạng:
y = C
1
(x)y
1
(x) + C
2
(x) Ta tìm C
1
(x), C
2
(x)
từ hệ pt
C


1
cosx + C
2
s
inx(∗)
Khi đó (∗) là nghiệm tổng quát của pt đã cho khi và chỉ khi C
1
= C
1
(x), C
2
= C
2
(x) và
C

1
y
1
+ C

2
y
2
= 0
C

1
y


Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho là: y = (−x + A
1
)cosx + ( ln |
s
inx| + A
2
)
s
inx.
BÀI TẬP CHƯƠNG 6
 6.1. Giải phương trình có biến số phân ly sau:
a) xyy

= 1 −x
2
;
b) y
2
y

= 1 −2x;
c) y + y

tgx = 1;
d)
√
1 − y
2
dx +
√

c) y

= sin(x −y);
d) y

= cos(x −y);
 6.4. Tích phân các phương trình sau:
a)
dy
dx
=
y − 2x
2y − x
;
b)
dy
dx
= −
2(x − 2y + 1)
5x − y − 4
;
c) (x −2y + 9)dx − (3x − 6y + 19)dy = 0.
 6.5. Giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
a) y

x
2
= y
2
+ 1;


=
y
2
− 2xy − x
2
y
2
+ 2xy − x
2
, y|
x=1
= 1;
 6.7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
http://maths3.wordpress.com 73
a) y

+ 3x = 6x;
b) y

+ y = sin x;
c) y

+ y = e
x
;
d) y

=
y

x=0
= 0;
 6.9. Giải phương trình Bernoulli:
a) y + xy

= y
2
ln x;
b) y

− ytgx + y
2
cos x;
c) y

+
y
y + 1
+ y
2
= 0.
 6.10. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:
a)
xdy
x
2
+ y
2
= (
y

e) 4y

− 20y + 25 = 0;
f) y

+ y = x + 2;
g) y

− 6y + 9y = 2x
3
− x + 3;
h) y

− y

+ y = x;
i) y

− y = e
x
;
k) y

+ 2y

+ y = cos x;
l) 2y

+ 5y = cos x;
m) y