Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ *
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số bậc 3: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
• Tập xác đònh: D = R
• y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình y’ = 0
• y'' = f''(x)
y'' = 0: giải phương trình y’’ = 0.
Kết luận điểm uốn I.
• Giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
y
x +∞→
lim
=
• Bảng biến thiên:
Kết luận sự đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Kết luận các điểm cực trò của đồ thò hàm số.
• Điểm đặc biệt:
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thò: đồ thò hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

• Tập xác đònh: D = R\{
c
d
−
}
• y' = f'(x)
Kết luận sự đồng biến, nghòch biến của hàm số.
• Giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
c
a
,
y
x
+∞→
lim
=
c
a
⇒ Tiệm cận ngang y =
c
a
y
xx
+
→
0

+ 1; c) y = -x
3
+ 3x
2
- 4x + 2;
d) y = x
3
- 3x
2
+ 4x + 1; e) y =
3
3
x
- x
2
+ x + 1; f) y = -
3
3
x
+ x
2
- x + 1.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
4
- 2x
2
- 3; b) y = -x
4
+ 2x

2
+
−
x
x
; c) y =
x
x 1
+
; d) y =
x
1
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
3
- 6x
2
+ 9x; b) y = x
3
+ 1; c) y =
3
1
x
3
- x
2
- 3x -
3

4
−+
; c) y = -
24
x
2
3
x
4
1
+
; d) y =
24
2
3
4
1
xx
−−
.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
7
23
+
−
x
x
; b) y =
x

x
.
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số:
* Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
) nằm trên đồ thò hàm số:
y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
ª Cho hoành độ tiếp điểm x
0
: tính tung độ tiếp điểm y
0
= f(x
0
).
ª Cho tung độ tiếp điểm y
0
: giải phương trình f(x) = y
0
, tìm hoành độ tiếp điểm.
* Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) biết hệ số góc cho trước:
Gọi M(x
0

0
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 tại điểm M(0; 4).
Bài 2: Cho hàm số y = x
2
có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung độ
bằng 4.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 4: Cho hàm số
2 x
y
x 1
−
=
+
(1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số (1) tại giao
điểm của đồ thò (C) với các trục tọa độ.
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số

= -3 thuộc đồ
thò hàm số.
Bài 2: Cho hàm số y = x
2
- 1 có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung
độ bằng 8.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này song
song với đường thẳng y = -3x + 1.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này vuông
góc với đường thẳng y =
7
1
x - 4.
Bài 5: Cho hàm số y =
1
12
+
−
x
x
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C) với trục tung.

3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và d: y = x + 1;
c) (C): y = x
3
- 3x và d: y = x
2
+ x - 4; d) (C): y = x
4
- 4x
2
+ 5 và d: y = x
2
+ 1.
Bài 2: Dựa vào đồ thò (C) của hàm số y = -x
3
+ 3x
2
- 1 biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) -x
3
+ 3x
2
- 1 = m; b) x
3
- 3x
2
+ 1 + m = 0; c) -x
3

Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 1: Biện luận số nghiệm phương trình x
2
+ 2x + 1 + m = 0 theo hai phương pháp (dùng biệt thức ∆
và phương pháp biện luận bằng đồ thò)
Bài 2: Dựa vào đồ thò của hàm số y = x
3
+ 3x
2
, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x
2
+ m
= 0 tùy theo giá trò của tham số m.
Bài 3: Cho hàm số y =
1
23
−
−
x
x
. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ
thò của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 4: Biện luận theo m số giao điểm của hai đường:
a) (C): y = x
3
- 4x
2
+ 4x và d: y = m + 1; b) (C): y =

xf
ba
= min[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n).
b) Giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b):
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) (a,b có thể là -∞, +∞), ta có hai trường hợp:
GTNN
f(
x
0
)
+
-
limy
x
→
b
x
→
a
limy
0
x
0
b
a
y
y'
x

);(
xf
ba
= f(x
0
) tại x = x
0
hoặc
)(min
);(
xf
ba
= f(x
0
) tại x = x
0
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
- 3x
2
- 9x + 35 trên đoạn [-4; 2].
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số
lny x x
= −
trên đoạn
1
;
2

- 2x
2
+ 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
x36
−
trên đoạn [-1; 1].
Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin2x - x trên đoạn [-
2
;
2
ππ
].
Bài 4: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) =
x45
−
trên đoạn [-1; 1]; b) f(x) = 1 +
2
9 x
−
trên đoạn [-3; 3];
c) f(x) =
2
+
x
x
trên [-2; 4]; d) f(x) = x
2
- 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].

trên [-3; 1]; c)
( ) .
−
=
x
f x x e
trên
[ ]
0;2
.
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
a)
)ln( exy
+=
trên [0; e]; b)
xxy ln.
2
=
trên
[ ]
e;1
.
Bài 8: Tìm các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 1 + 5x - 3x
2
; b) y = 3x
2
- 4x + 7; c) y =
x
x

1
1
2
+
−+−
x
mmxx
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số y =
3
1
x
3
- mx
2
+ (m
2
- m + 1)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại
điểm x = 1?
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực
đại tại x = 1?
Bài 3: Xác đònh m để hàm số y = x
3

1. Lũy thừa
Đònh nghóa:
• a
n
= a. a a (n ∈ Z
+
, n ≥ 1, a ∈ R).

• a
1
= a, ∀a ∈ R; a
0
= 1; a
-n
=
n
a
1
.
•
n
m
n
m
aa
=
(a > 0, m, n ∈ N);
n
m
n

= a
m.n
(ab)
n
= a
n
b
n

n
n
n
b
a
b
a
=
)(
b) Các tính chất biểu thò bằng bất đẳng thức:
i) Nếu 0 < a < b thì a
n
< b
n
, ∀n > 0 và a
n
> b
n
, ∀n < 0.
ii) Nếu a > 1 thì a
m

4
3
4
1
64.216)
625
1
(
−
−
−+
; d) D =
2
1
75,04
)
4
9
(625)5,0(
−
−
−−
.
Bài 2: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
5
23
22
2
; b) B =

)
3
1
(
và
2
)
3
1
(
; b) 2
3000
và 2
2000
; c)
3
)
2
1
(
và 1; d)
17
và
3
28
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Không dùng máy tính, tính:
a)
5

; e)
2
5
75,0
)25,0()
16
1
(
−
−
+
; f)
1 3
3 5
0,75
1 1
81
125 32
− −
−
   
+ −
 ÷  ÷
   
.
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
3
5
9

: aaaaa
(a > 0).
Bài 3: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
)(
)(
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4
−
−
+
+
aaa
aaa
; b)
)(
)(
3 2
3
3

+
+
−
−
a
aaa
aaa
;
d)
6
2
3
4
)4(
a
a
; e)
])
2
()2[()
2
2(
111
−−−
++
y
x
y
x
; f)

y =
log
a
x
y =
a
x
a > 1 0 < a < 1
b) Các tính chất cơ bản của lôgarít:
ª Hàm số y = log
a
x liên tục trên R
*
+
. ª Nếu log
a
x
1
= log
a
x
2
thì x
1
= x
2
(x
1
> 0, x
2

> 0, ta có: log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
Đònh lí 3: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ∀x
1
, x
2
> 0, ta có:
21
2
1
logloglog xx
x
x
aaa
−=
Đònh lí 4: Với mọi cơ số 0 < a ≠ 1, ∀x > 0, ta có: log
a
x

xxbx
b
x
abab
a
a
loglog.loglog
log
log
=⇔=
.
Hệ quả 1: log
a
b.log
b
a = 1 ⇔ log
a
b =
a
b
log
1
.
Hệ quả 2: Với mọi α ≠ 0 và x > 0 thì
xx
a
a
log
1
log

6.log
8
9.log
6
2;
e) log45 - 2log3; f)
2
1
ln25 - ln2; g) log
2
48 -
3
1
log
2
27; h) log4 - log3 + logπ +
3logr;
i) log
25
8.log
8
5;j)
)(log
1
)(log
1
abab
ba
+
.

+
; e) E =
)

(log
4
5 4
3
2
a
aaa
a
; f) F =
  
n
5
5
5
5
55
5 loglog
.
Bài 3: Biễu diễn log
30
8 qua log
30
5 và log
30
3.
Bài 4: Cho a = log

21log314log36log
2
1
−−
; b) B =
23log
3log
3log
5
1
75
5
++
;
c) C =
)(lnlog527log216log
4
23
8
1
e
+−
; d) D =
2010log
5
4
log
125
1
log

5
+−=
A
; b) B =
27log
3log2
4log1
1252
1
9
543
++
+
+
.
Bài 4: Biễu diễn trực tiếp y theo x:
a) lny =
3
1
lnx + ln4; b) logy +
2
1
logx = log3.
3. Phương trình mũ và lôgarit:
a) Phương trình mũ cơ bản:
ª a
f(x)
= a
b
⇔ f(x) = b, (a > 0, a ≠ 1) ª a

+−−
=
xxx
; b) (0,3)
3x - 2
= 1; c) 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a)
15
65
2
=
−−
xx
; b)
175
)
3
2
()5,1(
+−
=
xx

= 24 + 6
x
; i) 5
x
+ 12
x
= 13
x
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) log
3
(5x + 3) = 2; b) log
2
(x - 5) + log
2
(x + 2) = 3; c) log
3
x + log
3
(x + 2) = 1;
d) -lg
3
x + 2lg
2
x = 2 - lgx; e)
3)log2)(log1(
42
=−+ xx
; f)

2x – 3
=
x−
)
8
2
(
;
d) 4
x
-
xxx
++
=
2.34
1
; e) 5
x – 1
+ 5.0,2
x – 2
= 26; f) 25
x
– 12.2
x
– 6,25.0,16
x
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
143

x - 1
+ 3
x – 2
; e) 5
x
+ 5
x + 1
+ 5
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 3
– 3
x + 1
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 6.9
x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0; b) 8
x
– 3.4
x
– 3.2
x + 1
+ 8 = 0; c) 4

1
3
lg
−
+
x
x
= 0. c) log
4
(x + 2)log
x
2 = 1.
4. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit:
a) Bất phương trình mũ:
ª Nếu a > 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)
⇔ f(x) < g(x). ª Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)
⇔ f(x) > g(x).
b) Bất phương trình lôgarít:
ª a > 1: log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔


2
−−+
>
xxx
; c)
4)
2
1
(
45
2
>
+− xx
;
d) 9
x
- 5.3
x
+ 6 < 0; e) 9
x
< 3
x + 1
+ 4; f) 3
x
- 3
-x + 2
+ 8 > 0.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
2)1(log

−
+−
x
xx
; f)
53log62)2(log
8
12
−>−−
xx
.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
42
3
2
<
+− xx
; b)
2
6
39
+
<
x
x
; c)
7
9

2
– 4x + 3) ≤ 1; b)
2)1(log
3
1
−≥−
x
; c) log
3
(x - 3) + log
3
(x - 5) < 1;
d) log
2
(x + 3) ≥ 1 + log
2
(x – 1); e) log
3
(x+ 2) > log
9
(x + 2); f)
x
x
2
2
log
1
1log
+<
.

ª Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp:

∫
dx0
=
∫
dx
=

∫
dxx
α

=
∫
+
dxbax
α
)(

=

∫
x
dx
=
∫
+
bax
dx

=
∫
+
dxa
nmx

=

∫
xdxcos
=
∫
+
dxbax )cos(

=

∫
xdxsin
=
∫
+
dxbax )sin(

=

∫
x
dx
2

Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
x
xx 52
2
+−
, biết rằng đồ thò của hàm số F(x) đi
qua điểm A(1;
2
1
)
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x
2
-
x
1
+ 4e
x
biết rằng F(0) = 1;
b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan
2
x biết rằng F(π) = 0.
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
2
23
)1(

±
b
a
dxxgxf )]()([
=

c)
∫
b
a
dxxf )(
=

(a < c < b)
* Chú ý: Khi a > b, ta quy ước
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Tính tích phân bằng đònh nghóa:
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+−
2
1

0
cos.sin xdxx
; f)
∫
1
0
)
2
( dx
e
x
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011

b) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:


∫
−
1
0
2
3
dxex
x
; b)
dxxx
∫
+
3
0
32
1
; c)
∫
−
2
0
2cos4
2sin
π
dx
x
x
;
d)
dxxx

1
0
2
∫
+
; h)
dxx.tan
3
4
∫
π
π
; i)
∫
2
3
ln.
e
e
xx
dx
.
; c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)x x dx
−
∫
;
d)
∫
+
1
0
)21ln(2 dxxx
; e)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
; f)
2
2
1
ln xdx
x

2
1
3
2
2
dx
x
xx
; b)
∫
−
−
3
2
12
3
x
x
; c)
∫
+
+
1
0
12
34
dx
x
x
; d)

+−
1
1
)3)(2(
2
dx
xx
; c)
∫
−
−+
0
1
2
32xx
dx
.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
dx
x
xxx
∫
−+
4
1
3
22
2
; b)

∫
+−
1
0
2
65xx
xdx
; f)
∫
+−
+
5
4
2
34
13
dx
xx
x
;
g)
dx
xx
∫
−+
3
2
2
32
2

x x
− +
∫
; k)
∫
−−
1
0
2
32xx
dx
; l)
∫
+−
1
0
2
65xx
xdx
.
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a) I =
∫
−
−
0
1
3
)1(
1

22xx
dx
; e) M =
∫
++
1
0
2
2xx
dx
; f) N =
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
.
b) Hàm số vô tỷ và hàm số mũ:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
2
0

1x xdx−
∫
; f)
∫
−
1
0
2
1 dxx
;
Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
g)
∫
+
32
2
2
4 x
dx
; h)
∫
−
1
0
2
4 x
dx
; i)

3
1x
dxx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
1
0
2
x
x
e
dxe
; b)
2
1
1
x
x
e
dx
e −
∫
; c)
∫
+
2ln
0

3cos.5cos
π
π
xdxx
; c)
∫
π
0
3cossin xdxx
;
d)
∫
−
4
6
2
)cot(tan
π
π
dxxx
; e)
∫
−
2
0
44
)sin(cos2cos
π
dxxxx
; e)

/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+
∫
;
d)
2
0
(2sin 3)cosx xdx
π
+
∫
; e)
2
4
2
0
5 tan
cos
x
dx
x
π

∫
−−
3
0
2
2 dxxx
; d)
∫
−
1
0
2
dxxx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
dxxx
∫
−
−
2
2
)2(
; b)
∫
+
++
2
0
2

0
dxxe
x
; d)
∫
1
0
2
2
xdxe
x
;
e)
1
1
( 3)
x
x e dx
−
+
∫
; f)
∫
1
0
dxxe
x
; g)
dxxe
x

x
xdx
x
+
∫
;
d)
dxxx
e
∫
1
2
ln
; e)
∫
2
2
.ln
e
e
x
dxx
; f)
∫
e
xdx
1
2
ln
;

2
0
sin
π
xdxx
; b)
∫
−
2
0
cos)12(
π
xdxx
; c)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
;
d)
2
0
.cos .sinx x xdx
π
∫
; e)

2sin
π
xe
x
; i)
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
.
II. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
1. Diện tích hình phẳng:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
– 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số y = 2 – x
2
và y = x.

2
x (0
π
≤≤ x
) và trục Ox;
c) y = x
3
, y = 0, x = -1, x = 2; d) y = x
2
+1, y = 3;
e) y = x
2
+ 2, y = 3x; f) y = 4x – x
2
, y = 0.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x
2
và đường thẳng y = - x.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x
4
+ 2x
2
+ 3; b) y = x
2
- 2; y = -3x + 2;
c) y = x
2
- 12x + 36; y = 6x - x

c) y = x; y = x + sin
2
x (0 ≤ x ≤ π); d) y =
x
e
2
1
−
, y = e
-x
, x = 1.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = e
x
, y = 2, x = 1; b) y = lnx, y = 0, x =
e
1
, x = e; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4
π
;
d) y =
2
2
x
, y =
2
1
1
x+

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
- 1 và tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 1 tại điểm (-1; -2);
b) Parabol (P): y = -x
2
+ 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung;
c) y = x
3
- 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = -
2
1
.
2. Thể tích vật thể tròn xoay: Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0. Tính thể tích vật thể

các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) y = -x
2
+ 1, y = 0; b) y =
2
sin
x
, y = 0, x = 0, x =
4
π
; c) y = lnx, y= 0, y = e.
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và
các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) y = x
3
+ 1, x = 0, x = 1; b) y =
x
4
, x = 1, x = 4; c) y = lnx, x = 1, x = 2;
d) y =
2
1
2
xe
x
, x = 1, x = 2; e) y = xlnx, x = 1, x = e; f) y =
3
1
x
3

18
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* SỐ PHỨC *
* CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC *
1) Đònh nghóa:
• Số phức có dạng z = a + bi (a, b ∈ R) với a là phần thực, b là phần ảo.
•
1
2
−=
i
•
2
1
z
z
z
=
•
22
. baibaz
+=+=
; •
ibazibaz
−=⇒+=
•
22
bazz
+==
•

2
) + (b
1
+ b
2
)i • z
1
- z
2
= (a
1
- a
2
) + (b
1
- b
2
)i
• z
1
.z
2
= (a
1
a
2
- b
1
b
2

2121
22
11
2
1
+
−
+
+
+
=
+
+
=
(nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu)
• Số thực âm r có hai căn bậc hai là ±i
r
.
3) Phương trình bậc hai với hệ số thực:
Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) trên C.
Tính ∆ = b
2
+ 4ac
Nếu ∆ > 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm thực x
1,2
=
a
b

; d)
i
i
23
152
+
−
.
Bài 2: Xác đònh phần thực và phần ảo của các số phức sau đây:
a) z = (2 - 3i) + (-4 + i); b) z = 4i - (-7 + 3i); c) z = (0 - i) - (2 - 3i) + (7 + 8i);
d) z = (2 - 3i)(5 + 7i); e) z =
i
i
−
1
2
; f) z =
i
i
23
6
+
−
;
g) z = (7 - 3i)
2
- (2 - i)
2
; h) z = (3i + 1)
3

4
- 5x
2
+ 4 = 0; b) x
4
- 3x
2
- 4 = 0; c) 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 0.
Bài 8: Gọi z, z' là hai nghiệm của phương trình x
2
- 3x + 5 = 0. Tính giá trò các biểu thức:
Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
a) z + z'; b) z
2
z' + zz'
2
; c) z
2
+ z'
2
; d) z
3
+ z'
3

; g)
i
i
54
32
+
−
; h)
i
−
5
3
;
i)
)22)(4(
32
ii
i
−+
+
; j)
iii
2
1
)2
2
3
)(
3
1

z 3 i 3 i
2 2
 
− = +
 ÷
 
;
d)
3 5i
2 4i
z
+
= −
; e)
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
.
Bài 3. Tìm môđun của các số phức sau:

Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 4x + 7 = 0; b) x
2
- 2x + 5 = 0. c) x
2
- 2x + 2 = 0;
d) x
2
- x + 1 = 0; e) x
2
+ 3x + 3 = 0. f) x
2
- 6x + 29 = 0.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
+ 5 = 0; b) z
2
+ 2z + 2 = 0; c) z
2
+ 4z + 10 = 0;
d) z
2
- 5z + 9 = 0; e) -2z
2
+ 3z - 1 = 0; g) 3z
2
- 2z + 3 = 0.

bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu đi
qua 6 đỉnh của hình lăng trụ.
Bài 3: Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của một hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính cạnh của
hình lập phương đó theo R.
Bài 4: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón
và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13
2
. Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết
diện tạo thành.
Bài 5: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung
quanh của hình nón đó.
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 30
0
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài 7: Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ được một hình vuông cạnh a. Tính diện
tích xung quanh của khối trụ đó.
Bài 8: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5. Một mặt phẳng song song với trục
và cách trục một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh là a.
Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và đôi một vuông góc. Xác đònh tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 5. Đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B và BA = 3,
BC = 4. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 4: Cặt khối trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ đó ta được một hình vuông
cạnh a. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
Bài 5: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 3, AC = 4, quay quanh đường thẳng
chứa cạnh BC được hình tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình tròn xoay đó.

b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6*: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
a
2
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tài liệu lưu hành nội bộ
22
Tài liệu ôn thi TN THPT. Năm học 2010 - 2011
* PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *
1. Tọa độ vectơ, tọa độ điểm trong không gian:
ª Tọa độ vectơ:
kzjyixv



++=
⇔
v

= (x; y; z)

∃
∈R:
'vkv

=
0'.'
=⇔⊥
vvvv






=
=
=
⇔=
'
'
'
'
zz
yy
xx
vv

u

=

B
; y
B
; z
B
), ta có:
ABABAB
zzyyxxAB
−−−=
;;(
) AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
Trung điểm của AB là I(
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
+++
).
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho ba vectơ
a


a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
c) Chứng minh O, A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện đó.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho ba vectơ
)3;5;2(
−=
a

,
)1;2;0(
−=
b

,
)2;7;1(
=
c

.
a) Tính tọa độ của vectơ
cbad




3
3
1

u

biết:
a)
0232




=−−+
ucba
; b)
buau



⊥⊥
,
và
u

=
21
.
Bài 5: Cho các điểm A(2; 1; -2), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D ∈ Oy.
a) Tính diện tích ∆ABC;
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC;
c) Tìm tọa độ của điểm D để tứ diện ABCD có thể tích bằng 5;
d) Tính góc giữa hai đường thẳng OA và BC.
Bài 6: Cho

theo hai vectơ
ba


,
.
c) Phân tích vectơ
u

= (2; 4; 11) theo ba vectơ
cba



,,
.
2. Mặt cầu:
ª Mặt cầu (S):



Rkínhbán
cbaItâm );;(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R

+ y
2
+ z
2
- 8x - 2y + 1 = 0; b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y - 2z - 4 = 0.
Bài 2: Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(1; -2; 3) và đi qua điểm M(3; 2; 4);
b) Có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3), B(-2; 3; 5);
c) Đi qua bốn điểm O, A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1).
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:
a) 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 9y + 12z – 4 = 0; b) 9x
2
+ 9y
2
+ 9z
2
- 6x + 18y + 1 = 0.

) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
ª Nếu mp(α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ
ba


,
thì mp(α) có một VTPT là
],[ ban


=
.
ª Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0: d(M,(α)) =
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
Bài tập rèn luyện:

b) (α) là mặt trung trực của đoạn AB với A(3; -5; 4), B(1 ; 3; -2).
c) (α) đi qua hai điểm M(1; -1; 2), N(3; 1; 4) và song song với trục Oz;
d) (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2), B(5; 0; 4), C(4; 0; 6);
e) (α) đi qua hai điểm D(1; 0; 0), E(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng: x + y – z = 0;
f) (α) đi qua điểm I(3; -1; -5) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có
phương trình là: 3x –2y + 2z +5 = 0, 5x – 4y + 3z +1 = 0.
Bài 2: Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng (γ) đi qua các hình chiếu của điểm
A trên các trục tọa độ.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 3).
Bài 4: Cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1).
a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và suy ra độ dài đường cao hạ từ D.
Bài 5: Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mp(ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua cạnh AD và song song cạnh BC.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt
phẳng (β): 3x - 2y + 2z + 7 = 0, (γ): 5x - 4y + 3z + 1 = 0.
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1; 2; 3) và song song với Oy.
Bài 8: Cho A(2; -2; 0), B(4; 2; -2), Viết phương trình mp(P) vuông góc với AB và cách M(1; -1; 0) một
khoảng bằng 3.
Bài 9: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0).
Bài 10: Lập phương trình mặt (α) tiếp xúc với mặt cầu x
2
+ y



+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
(t ∈ R).
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì ∆ có phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
.
Bài tập rèn luyện:
Tài liệu lưu hành nội bộ
25