!"#!$#!$
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP BỘ MÔN TOÁN THPT
!"#$%
&'()(*+,-./0'12334
Môn Toán
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (3 điểm): $56'+&7(89.+4
$&-'&):;<=>'(9.+?-;)+7@.7;
0;7AB(C9.+4D)9.EFG'HI7HJ'
E9.B!'9.HKLC444
Câu II (3 điểm):$+7HJD7-HJDM(/4
$"&.I(N+4D0)7O4
$ '&PQ4
Câu III (1 điểm):D*1/BPQC?<R:DGSR'07D=S
R'0TF1=71G71GSR'071=SR'0T<UV(F
1V4
II. Phần riêng (3 điểm):B+*HJD'WHQV<)'HJDGC4
1. Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm):X!<1;?
$Y&.*!F7(ZJ4
$[UV4
$\;HJDUL7HKL4
$G71'6&]F;UL4\.HJHKL7UL(UV4
Câu V.a (1 điểm):X!<1;?
$^?/+7&_'&)+4-A+@O4HJD-A+
@G-#O4
$`<=O?<DL7F1SR'04
2. Theo chương trình nâng cao:
1
!"#!$#!$
• 0&*7(8+9:(3$/
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
ho;&23 hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o @.+
o 0!6<7=0!6>7
o 1?@:&A::(?B&C(DE*$F(?B&GD
o Cách xác đònh tiệm cận :
o HIJ&A:K&L KIK&ME*$NK&&A:F*)N!OP:/2Q
ME9:9:!J&RP;&R
o DF.3*HK'B
C?0cdBR7C
o '&D:e3*HK'B
C?0cdBR7C
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……..
2
!"#!$#!$
VẤN ĐỀ 2:HÀM SỐ LUỸ THỪA,MŨ VÀ LOGARIT
• K0=&S=!#T=UD&0&2NS&&V&S:W=:!=XY:=U
• K($&A:&0&$/W*$:!
• \8HQ9.&+M7'(e]
• .?@!MW*$:!
• .27?@!MW*$:!
o DO-gHJ&]V?
- -
-
4<( 4( (4<= −
∫ ∫
o O&+HQ&B!+<>J-6C4
o O&+En
o DO&+(/n?
o O<&.0)4
-
d BRC <R
∫
• HIJ&A:K&L
o <DL
o F(AFSR'0?
Z[\ ]H
• D+oT
Tz
-F<p+T+-gTm
• 1&(?^&&0&_0*8&F!Y=L=&:&0&/S&D
• M(?^&&2)&&A:/C1&I?@``1&L*$/S&G
• .?@!M!)S&Bq6-A(.q\$ZC
• #>HQ&+(<=4B5/Ga-J-6C
VẤN ĐỀ 5:DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC KHỐI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
o DD;[)HKLB<C4
• Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng qua đường thẳng (d).
• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số cơng hức về đạo hàm cơ bản:
4
!"#!$#!$
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
444 444
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
(IR
'
s
j
j
jj
j
j
j
jj
j
jj
j
4
4t
CB
44
4u
444r
4444
43
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
j
j
43
33
4
444v
34w
4x
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=
=
=
=
−
αα
α
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j3
j
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+
=
43
ta có
j
CB dcx
bcad
y
+
−
=
33
3
ba
ba
y
++
++
=
!"#!$#!$
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri y cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
CB
r
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞
-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT
x −
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TX% : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tng? Gi6m
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
CB
u
cbxax
x
++
±∞→
=
<∞−
>+∞
CB
CB
a
a
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
/
+ 0 − 0 + 0 −
y
−
∞
−
∞
y
C% C%
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\
−
c
→ −
÷
+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
7
a/c −
∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai tiệm cận .
4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\
−
e
f
+ Đạo hàm : y
/
=
C4B
+ Tiệm cận : • x = −
e
f
là tiệm cận đứng
vì
CB xf
e
f
x
−→
= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
ClBCBk BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)
ε
∞→
x
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
∞
y CĐ ||+
∞
+
∞
−
∞
−
∞
CT
x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
B-J-61/16'+&+0C
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
u Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
34 Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
• TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
f (x) k (2)
có nghiệm
• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là ti;p điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
/
= (&.1/R&.+]&+6<V)
9
đứng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng
!"#!$#!$
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng đểD&.C?
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MX% D=?
+ Đạo hàm : y
/
y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ MX%
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
<=>
≠
+ R
'
F@>{cz
j
jj
B C
B C
f x
f x
=
<
+ R
'
F@F{cz
j
jj
B C
B C
j
xf
yxf
xf
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (nhHHQ&7M7'7e]7m)
* X;0cdBRCDHKL:&F@.?
0= phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
(
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
10
P<:R
!"#!$#!$
Và y
/
=
( (
(
′ ′
−
( BR C
′
′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
$ %F+
( )
y f x=
G@.
( )
‚ G)
a
f x c
≠
⇔ = ⇔
∆ >
$ %F+
( )
y f x=
G@.g((I='
4
CD CT
y y⇔ <
CD CT
y y
y y
+ <
⇔
<
$ %F+
( )
y f x=
G@.;R(I='
4
CD CT
y y⇔ =
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• R_+0cdBRCcm)kT-l
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
….. . W*&!kT-l
• Tính f(x
= * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
R 0
kT-l
=
y
CĐ
ƒX;+/B6C)BT-CD1/G@.)1'6BT-C4
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TX% của h/s đó :
11
!"#!$#!$
• nếu TX% là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TX% là một khoảng thì dùng cách 2
• %/1?%U,=cBRC ;-'&D"„X7XX+0cdBRC)!1'6
'G-'&D"„X7XX+0cBC)3'>1&
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
R R
= ±∞
±
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
• Tiệm cận ngang :
d BRC 0
R
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có
tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (-J-61/GV0C?
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
BRC
B C
7 B -C
^ 0
C
b
Ox C C
a
C C
H
x a x b
y dx
V y y dx
π
= = <
= −
= −
∫
∫
3
3
3
<
B C(B C
Bi toỏn 11:Bi toỏn tỡm qu tớch ca 1 h ng cong (C
m
): y=f(x,m)
D1+F:e9>
D'>!FVD:e
5hmD!A]-F'>!)
DI>:n
5;A
Bi toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thờng gặp:
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )
<
0xf nếuxf-
0xf nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
) của hàm số:
( )
xfy
=
Ta có:
( )
xfy
=
( )
( )
=
xfy
xf
(Do đó
( )
xfy
=
đợc coi là hàm đa trị của y theo x)
Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
-
0xf nếu
xg
xg
xf
Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Đồ thị (C
4
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0
Phần úi xng đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C
5
) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Các bớc làm tơng tự nh phần d)
Chú ý: g(x) 0.
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf
+
( )
xf
Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Sau đó vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số: y = f(
x
)
Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
.
Tóm lại ta thực hiện dần các bớc nh sau:
y = f(x) y = f(
x
) y =
( )
xf
mmmmmmmm
PHN 2: HM S M V LOGARIT
Bi toỏn 1:Dựng cụng thc tớnh cỏc biu thc cú cha hm s m hoc logarit
a
n
=
n
a
1
R
R
R
- -
=
ữ( )
( )
R
0
0 R40
R
= =
14
!"#!$#!$
• Hàm số mũ : y =
R
với a > 0 ; a ≠ 1
TX% : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C
log
a
÷
= log
a
B − log
a
3
'
-
Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TX% : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
C
j
c
j
4
4
BRC
j
c
3
R
R∈BT€∞C −zBC
j
c
′
B'
RC
j
c
3
R
−zB'
C
j
d BRC
+ γ = 0 ; Đặt : t =
d BRC
Đk t > 0
α.
- d BRC
+
+β.
- d BRC
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
d BRC
Đk t > 0
15
!"#!$#!$
α.
d BRC
+β.
d BRC
-
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
d BRC
dBRC
' dBRCc-{cz 3
dBRCc
b
a
>
< ≠
0& . S dIJ (?:*8&f&@/
d BRC B0BRC C
3
d BRC BRC
' dBRC ' BRC
> >
= <=> < ≠
=
0&g . S dIJ (?:*8&f&@/ *$(;hJ
0&\ . S h<= M'&(;?
' dBRC ' BRC≥
BRC BRC
BRC BRC
BRC
3? {BRC{3T d BRC BRC
3? BRCz3T d BRC BRC
… ?
' dBRC ' BRC
' dBRC ' BRC
' dB
<=> ≤
<=> ≥
≥
≥
BRC
{BRC 3
dBRC
BRC
kBRC$3lkd BRC BRCl
RC ' BRC
≠
>
<=>
>
R 4<R
α
=
∫
3
R
α+
α + 1
€Bα≠$3C
<R
R
∫
cR€BR≠C
R
Z 4<R
∫
cZ
R
€
R
4<R
∫
c
R
€
3
BR -C
BR -C <R
c
R -
3
α +
+
α
'+R4<R
∫
c^R€
^R4<R
∫
c−'+R€
<R
'+ R
∫
c
B R 3C4<R+
∫
cR€
<R
^ R
∫
c
B' R 3C4<R
'BR€-C€
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
#>3?ic
dkBRCl4 ‚BRC<R
∫
-g&UcBRC
• %UcBRC
< ‚BRC<R
⇒ =
• ic
dkBRCl4 ‚BRC<R d BC<=
∫ ∫
#>?ic
d BRC<R
∫
X;1/HQZ'<>3H'OG!'+&
-F+DGFP-;H+?
3
R T
R
−
−
DURc+
3
R T
C4B dxbaxf
n
%U
n
baxt
+=
u4
∫
dxxxf C'+7B+
ˆX;d‰(I'+R?Uc+R
ˆX;d‰(I+R?Uc'+R
ˆX;dŠ(I+R7'+R<b/>-A?
'+3
+7
'+3
'+
x
x
x
x
−
=
+
=
ˆX;dW+R'U'+RU
a
x
'+
=
v4
∫
±
C4
3
B
dx
ax
f
%U
axxt
±+=
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
X;BRC7(BRC+G>')=)i
BRC4(‚BRC<R BRC4(BRC (BRC4 ‚BRC<R= −
∫ ∫
0
<( ( (<
= −
∫ ∫
B(I<c‹BRC<R7<(c(‹BRC<RC
Lk
l
+ +
'+
= =
⇒
= =
∫
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
^G0('/
<( ( (<
= −
∫ ∫
F
ŒDa
̣
ng 2:
<( ( (<
= −
∫ ∫
F
ŒDa
̣
ng 3:
+
4
∫
ax
ax
e dx
cosax
@]VV(IcZ
R
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
#>3?
+BR€-C4+BR€<C<R
∫
T
+BR€-C4'+BR€<C<R
∫
'+BR€-C4'+BR€<C<R
∫
4
Trường hợp 1? AdBRC≥ ABRCD@_dBRC'BRC<s;?
d BRC BRC
BRC
BRC BRC
= +
4'GBRCBHJ_C!SBRCBV<H_C!
G-ANJ-ABRC4
X)
d BRC BRC
B C<R BRC<R <R
BRC BRC
= +
∫ ∫ ∫
4XH(A0
BRC<R
∫
HQ-g-60)(D(A0WS
6
BRC
<R
BRC
∫
Z'HKQ+4
HKQ?
BRC
<R
BRC
∫
(I-ABRCNJ-ABRC4
ƒCOs+BRC&.4
• P-)<>?X;1/HQZ'<>3H'OG!'+&
-F+DGFP-;H+?
o
∫
−
C4B
dxxaf
%U
tax +
=
o
∫
+
C4B
dxxaf
%U
tax
=
o
∫
−
C4B
dxaxf
%U
t
a
x
#>3?ic
-
j
dkBRCl <R
∫
-g&UcBRC
• %UcBRC
< ‚BRC<R
⇒ =
• %PARcczcBC
Rc-czcB-C
• ic
-
j
dkBRCl <R
∫
c
B-C
BC
d BC<
∫
#>?ic
d BRC<R
β
∫
α
X;1/HQZ'<>3H'OG!'+&
-F+DGFP-;H+?
&:
m
/clI+
n
:
l
+
o
*:
m
I*
ŒDa
̣
ng 1
+
B C
∫
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
(IdBRC?%U
B C ‚B C
+ +
∫
f x ax b dx
β
α
%
y
4
B C
B C
B C
= +
=
⇒
+
=
=
∫
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
β
∫
α
'+BR€-C4'+BR€<C<R
β
∫
α
4
ƒ@/-;PP9O4
#>?
+ R4'+ R4<R
β
α
∫
B7&+0)<HJC
ƒCX;‰7ŠDUc'+R4
ƒC;‰7ŠDUc+R4
ƒCX;7ŠD?#b/O/+G<;/>-AF4B;!
'+'Uc+S>+ŠDW</>-AC4
ƒC7∈•;€+0)ŠDGF
UcR'Uc'R4
20
!"#!$#!$
#>r?
ŽB+R7'+RC<R
β
∫
∫ ∫ ∫
α α α
4
XH(A0
BRC<R
β
∫
α
HQ-g-60)(D(A0WS6
BRC
<R
BRC
β
∫
α
Z'HKQ+4
HKQ?
BRC
<R
BRC
β
∫
α
(I-ABRCNJ-ABRC4
ƒCOs+BRC&.4
ƒC#b&9H+?•>?
3
3
BRC BRC •
C4B
dxxaf
%U
tax +
=
o
∫
+
C4B
dxxaf
%U
tax
=
o
∫
−
C4B
dxaxf
%U
t
a
x
'+
=
o
∫
±
∫
X;dBRCcGRc∈BT-CD
-
d BRC <R
∫
c
-
d BRC<R d BRC<R
+
∫ ∫
ƒq3CX;GJ3)BT-CD(s<b/)b0Z'HKQ
H;'4B&0GQ(D1/VR_<dBRCC4
C~!X1/V•-LO4
PHẦN 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG − THỂ TÍCH VẬT THÊ TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
0 d BRC
R T R -
=
= = =
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
-
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S =
-
‘ d BRC BRC ‘ 4<R
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) X;-'&:>DGF(8DFR&.DL'U/:P
'UD4
• Hình phẳng giới hạn bởi :
d B0C
B0C
0 -
=
=
= =
hàm số x liên tục trên [a;b]
hàm số x liên tục trên [a;b]
a;y
Diện tích : S =
-
= = =
hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y
quay quanh trục Oy và g(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
-
B0C 4<0
π
∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
0 dBRCT0 BRC
R T R -
= =
= =
hàm số liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Ox thì V =
-
d BRC BRC 4<R
π −
∫
0
0cdBRC
0cBRC
!"#!$#!$
3C-c<c(-c<4C/+
o - -= + = +
rC+)Qoc-
o
c-4
o
o
cTo4
o
c
o -= +
uCB-CB<CcBCB-<C
tCB-CB<CcBCB-<C4
xCCB-CB<CcB-<CB<-C
wC
< 3
o kB-<CB<$-Cl
-
-
+
= =
= <=> + = + <=> + = +
=
o "6DRT05;A
Bi toỏn 3: Gii phng trỡnh bc 2.
'HJDR
-Rc4(Ic-
u4
X;cDHJDG1_
-
R R
3
= =
X;zDHJDG?
-
R
=
X;{DHJDG?
-
R
=
Bi toỏn 4:Cỏch tỡm dng lng giỏc ca 1 s phc: oc-T7-+@
r r
+
Cc
B + 4+ Cr co i
+
CNG C :Dng lng giỏc ca s phc v ng dng (Khụng cú ban c bn )
Cho số phức z=ax+b; a,b R.c biu din bi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phc
Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lợng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
Nếu là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng +k2, kZ
23
0
[BoC
}R
!"#!$#!$
Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| =
2 2
a b+
, r > 0.
a=rcos , b=rsin.
Từ đó suy ra dạng lợng giác của số phức z = r(cos+isin)
Dạng lợng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cos+isin)
hay z = r[cos(+)+íin(+)].
Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lợng giác là :
z =a bi = r(cos - isin)
2
)+isin(
1
+
2
)
1 1
2 2
z r
z r
=
[cos(
1
-
2
)+isin(
1
-
2
)]
Từ đó suy ra dạng lợng giác của số phức z
-1
(nghịch đảo của z) là: z
-1
=
Cl+B4Ck'+B
33
+=
Hay z = r(cos+isin) có hai căn bậc hai là =
'+B C +B C
r C
+ + +, với r > 0.
*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau z
k
:
z
k
=
'+B C +B C
n
k k
r c
n n
+ + +
r
π
• Khối trụ:
o <R:D=^
R:
cπT
o <'VD=^
cπB€C4
o F1=\cπ
• Khối nón:
o <R:DG^
R:
cπT
o <'VDG^
cπB€C4
o F11G\c
3
r
π
• q?
o &<>'&?+'+'7(/GaI33BU-&-'&'0;(;<C
o 5/<b@;/W+F6B„AW+F/:
(<&9<>C
4 4
S AMD
S ABD
V
SA SM SD
V SA SB SD
=
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
→
= (x;y;z) ⇔
→
= x.
→
+ y.
–
→
+ z.
1
→
Tính chất : Cho
→
= (a
1
;a
2
)
• k.
→
= (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
4 -
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3
=
→
.
-
→
;
→
≠
→
⇔
-
→
= k.
→
⇔ [
→
,
-
→
] =
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) ⇔
}[
→
= (x;y;z) ⇔
}[
→
Copyright: Tài liệu đại học ©