GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1.ðịnh nghĩa: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại ñiểm
0 0
( ; ( ))
M x f x
.
Phương pháp:

* Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
( )
y f x
=
tại
0 0
( ; )
M x y
là:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= − +

với


=



T
ừ (2) ta tìm ñược x, thế vào (1) ta có ñược b. Ta có tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2: * Giải phương trình
'( )
f x k
=
giải phương trình này ta tìm ñược các nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
.
* Phương trình tiếp tuyến:
'( )( ) ( ) ( 1,2, , )
i i i
y f x x x f x i n
= − + =
.

Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau:
* Số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình
'( )
f x k
=
.

ii)
1 2
1 2
1 2
//
k k
d d
b b
=


⇔

≠



iii)
1 2 1 2
. 1
d d k k
⊥ ⇔ = −Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
( )
y f x
=
, biết tiếp tuyến
ñi qua ñiểm

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Thay (2) vào (1), ta ñược:
( ) '( )( )
A A
f x f x x x y
= − +
, giải pt này ta tìm ñược các
nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
. Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cách 2:
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp ñiểm. Khi ñó tiếp tuyến có dạng:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= − +

Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có:
0 0 0
'( )( )
A A
y f x x x y

x x x
− +
,
có ñồ thị
(C)
1) Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n .
2) Vi
ế
t ph
ươ

nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m
có
tung
ñộ
b
ằ
ng
6
.
4) Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy

m u
ố
n
có
h
ệ
s
ố gó
c
nhỏ
nh
ấ
t.

Giải:
1)Ta có:
2
' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1
y x x y x y x
= − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ =
, do ñó tọa ñộ ñiểm uốn
là
(1;0)
U

Phương trình tiếp tuyến tại U là:
'(1)( 1) 0 1
y y x x
= − + = − +
.

ậ
y ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
là
:
'(3)( 3) 6 11 27
y y x x
= − + = −
.
4) PTH
ð
giao
ñ
i
ể
m
củ
a (C) v
ớ
i Ox:
3 2
3 2 0 0, 1, 2
x x x x x x

n:
'(2)( 2) 0 2 4
y y x x
= − + = −
.
5)
Vì
h
ệ
s
ố gó
c
củ
a
mọ
i ti
ế
p tuy
ế
n
ñề
u
có dạ
ng
'( )
f x
và
h
ệ
s

ứ
ng minh
'( ) 1
f x
≥−
.
ð
i
ề
u
nà
y luôn
ñú
ng
vì
:
2
'( ) 1 3( 1) 0
f x x x R
+ = − ≥ ∀ ∈
(
ñ
pcm).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau
“Cho hàm số
3 2
( 0)
y ax bx cx d a

n n
ế
u
0
a
<
thì
ti
ế
p tuy
ế
n
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n
có
h
ệ
s
ố gó
c l
ớ
n
nh
ấ

ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
mà
ti
ế
p tuy
ế
n vuông
gó
c v
ớ
i
ñườ
ng
th
ẳ
ng
: 1 0
m
x my m
∆ − + + =
.

Giải:
Ta có

2 3
' 2 3 0
3
4
( 1)
x
x x
y k x x
x
x

= −
−

= ⇔ = ⇔ − − = ⇔

=
−

.
*
3
1
2
x y
= − ⇒ = − ⇒
phương trình tiếp tuyến:
3 3
4 4
y x

2
1
( 1) 3 (1)
1
2
(2)
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x


− +

= + +


−




−

=




=

⇔ − + = ⇔


=



* V
ớ
i
2 0
x k
= ⇒ = ⇒
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n y=3.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

*V
ớ
i
1
3

ñ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n là I(1;1)
G
ọ
i d là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua I, có h
ệ
s
ố
góc k
: ( 1) 1
d y k x
⇒ = − +

d là ti
ế
p tuy



−

=


−



có nghi
ệ
m
Th
ế
k vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai ta
ñượ
c:
2 2
2 2
1 2
1 1 2 1
1 1
x x x x
x x x x x

k
m
=
. S
ố
ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán chính là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình:
2
2
2
( 2 )
'. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*)
( 1)
m
m x x
y k m x m x

u
1
m
≠ −
: (*) có
' ( 1)
m m
∆ = +
và (*) có nghi
ệ
m
1 0
x m
= ⇔ =

+ Khi
0
1
m
m

>

⇒

<−

(*) có hai nghi
ệ
m phân bi

ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n luôn có d
ạ
ng:
'( )
f x
.
*
ðố
i v
ớ
i hàm phân th
ứ
c
2
( . ' 0)
' '
ax bx c
y a a
a x b
+ +
= ≠
+
không có ti
ế
p tuy

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i Parabol
2
y x
=

2) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế

x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
0
y
=


1
x
=
ta có ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
1
y
=


3
x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
24 63
y x
= −

4 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0
x x x x x x x x x x
− + = − − + ⇔ − − =

4
0, 2,
3
x x x
⇔ = = =
.

0 0
x k
= ⇒ = ⇒
Phương trình tiếp tuyến
0
y
=


2 0
x k
= ⇒ = ⇒
Phương trình tiếp tuyến
0
y
=


4 32

p tuy
ế
n c
ủ
a (C
1
),bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
ñ
i
ể
m P(3;1).
2)Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C

i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=x+1.
Giải:

Với m=1 ta có
1
1
( ):
1
x
C y
x
+
=
−

1) G
ọ
i d là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua P, có h
ệ
s


−


=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược:
2
1 2
( 3) 1 2
1
( 1)
x
x x
x
x
+ −
= − + ⇔ =
−
−

2
k
⇒ = − ⇒
Phươ

n
⇔
h
ệ

2
1
( 2) 1
1
2
( 1)
x
k x
x
k
x

+


= − −


−


−


=

−
−

*
2 2(3 2 2)
x k
= ⇒ = − + ⇒
ti
ế
p tuy
ế
n:
2(3 2 2) 11 8 2
y x
= − + + +
.
*
2 2(3 2 2)
x k
= − ⇒ = − − ⇒
ti
ế
p tuy
ế
n:
2(3 2 2) 11 8 2
y x
= − − + −
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

ng th
ẳ
ng y=x+1
2
2
2 1
'(1) 1 1 0, 2
( 1)
m m
y m m
m
− −
⇔ =− ⇔ = − ⇔ = =
−
.
Ví dụ 5:
Có bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

ln


có nghiệm
Th
ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược:
ln (ln 1)( 2) 1
x x x x
= + − +

2ln 1 0
x x
⇔ − + =
(*)
S
ố tiếp tuyến kẻ từ M chính là số nghiệm của phương trình (*)
Xét hàm số
2
( ) 2ln 1 '( ) '( ) 0 2
x
f x x x f x f x x
x
−
= − + ⇒ = ⇒ = ⇔ =
.
M
ặ
t khác:
0
( ) ;
x x
Lim f x Lim

ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
M.

Ví dụ 6: Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
= − +
t
ạ
i
ñ
i

+ =



⇔ ⇔ =


+ ≠



.
Vậy m=4 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
(C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

1) Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M
cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam
giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M.

2 2
2
( )
1
( 1)
x x
x x
y x x
x
x
+ +
+
= − +
+
+

∆ cắt tiệm cận ñứng tại
0
2
( 1; )
1
A
x
−
+
và cắt tiệm cận xiên tại
0 0
(2 1;2 2)
B x x
+ +

+ +
+

= =


+


M là trung ñiểm của AB.
Gọi H là hình chiếu của B lên IA
0
2| 1|
BH x
⇒ = +
, mà
0
2
| 1|
IA
x
=
+
, suy ra
1
. 2
2
ABI
S BH IA
∆

( . ' 0)
' '
ax bx c
y a a
a x b
+ +
= ≠
+
có ñồ thị (C). Gọi I là tâm ñối xứng của (C)
và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và
B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào
vị trí của M .”
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số
2
6 9
2
x x
y
x
− +

.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
2
6 9 3
(1)
2 4

4 3 3
(2)
4
( 2)
x x
x m
x
x x
x


− +

= − +


− +



N n
. ðường thẳng d ñi qua N, hệ số góc k có pt:
( 2)
y k x n
= − +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
2
6 9
( 2) (3)
2

4 3
(4)
( 2)
x x
k x n
x
x x
k
x


− +

= − +

* Nếu n=2 thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào kẻ từ N.
* Nếu
2
n
≠
thì (*) có nghiệm duy nhất nên có ñúng một tiếp tuyến kẻ từ N
Vậy từ
(2; )
N n
với
2
n
≠
kẻ ñược duy nhất một tiếp tuyến ñến (C), còn từ
'(2;2)
N

không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

3) Xét
0 0
( ; )
M x y
. ðườ
ng th
ẳ
ng d
ñ
i qua M, h

x x
k x x y
x
x x
k
x


− +

= − +


− +




− + −


=


−


có nghi
ệ
m.


−



0 0
2
1 1
2 (2 )
2 2
1
1
( 2)
x k y
x x
k
x



− = + − +

 − −

⇔



− + =



−



2
0 0
0
0
1
1 [( 2) 2 ]
4
2
2
x k y k
y
k
x



− + − + − =



⇒


−




−




ðể
t
ừ
M k
ẻ

ñượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
⇔
(*) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
0
0
2
2
y

x y
x
x y
x y

≠



≠







− −

 
⇔ = − ⇔ − + − =
 
 
−
 
 
+ − ≠
 
 

2 3 4
(2;4); (2 2;2 2); (2 2;2 2)
M M M
+ − − +
.

Chú ý:
T
ừ
câu 2 ta th
ấ
y trên m
ọ
i
ñ
i
ể
m ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng (tr
ừ
giao c
ủ
a hai ti

i hàm
phân th
ứ
c có d
ạ
ng
2
;
' ' ' '
ax b ax bx c
y y
a x b a x b
+ + +
= =
+ +
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Ví dụ 2:

Cho hàm số
= − + +
3
3 2
y x x
. Tìm những ñiểm trên trục hoành sao cho từ
ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số và trong ñó có hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau.
Giải:
Xét ñiểm

Th
ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2 3
3( 1)( ) ( 3 2) 0
x x m x x
− − − − − =

2 2
( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0
x x m x m x x x
⇔ + − + + − + − − =

2
2
1
( 1)[2 (3 2) 3 2] 0
2 (3 2) 3 2 0 (*)
x
x x m x m
x m x m

= −

⇔ + − + + + = ⇔


− + + + =


ðể


∆ = + − >
<− >


 
⇔
 
 
+ ≠
 

≠ −



(**).
G
ọ
i x
1
,x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a (*), khi
ñ
ó h

n này vuông góc v
ớ
i nhau
1 2
. 1
k k
⇔ = −

2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 8 0 (i)
x x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ − + + + =

M
ặ
t khác theo
ðị
nh lí Viet
1 2 1 2
3 2 3 2
;
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
. Do
ñ
ó

hàm số
4 2
2 1
y x x
= − −
ñ
úng ba ti
ế
p tuy
ế
n.

Giải:
Xét
(0; )
M m Oy
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt:
y kx m
= +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
4 2
3
2 1

4 4
x x kx m

1 0 1
m m
⇔ + = ⇔ = −
. Khi ñó (*) có 2 nghiệm
2
0;
5
x x= = ±
và ba tiếp tuyến ñó
là:
2
1; 1
5
y y x
= − = ± −
.
Vậy M(0;-1) là ñiểm cần tìm.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các ñiểm nằm trên trục tung mà từ ñó chỉ có thể kẻ ñược ñúng
một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
.




−



−

=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2
2
1 2
( 1) 2( 1) 1 0
1
( 1)
x x
m m x m x m
x
x
+ −
= + ⇔ − − + + + =
−
−

+
=
−
(C). Cho
ñ
i
ể
m M(0;m). Xác
ñị
nh m
ñể
t
ừ
A k
ẻ

ñượ
c
2 ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n (C) sao cho hai ti
ế
p
ñ
i
ể


3

( 1)
x
kx m
x
k
x

+


= +

 −



−

=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2



> −




⇔ ≠ ⇔
 
 
≠
 


− − + + + ≠



Khi
ñ
ó t
ọ
a
ñộ
hai ti
ế
p
ñ
i
ể

1
, M
2
n
ằ
m v
ề
hai phía Ox thì
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2( ) 4
. 0 0 (1)
( ) 1
x x x x
y y
x x x x
+ + +
< ⇔ <
− + +

Áp d
ụ
ng
ñị
nh lí Viet:
1 2 1 2
2( 2) 2
;
1 1


> −





≠



là nh
ữ
ng giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 6:

Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−

x k x x
x
k
x



+ + = − +

 −




− =


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
0
2
2 2
2( 1) 3 (2 )( 1) (1 ) 7
1
( 1)
x x x k
x


− − − =

.
Vậy ñường thẳng y=7 là tiếp tuyến của ñò thị hàm số.
2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì
0
1
x
≠
. Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến là
0
1 2
2
0
8( 2)
0;
( 1)
x
k k
x
−
= =
−
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
0
45

2 0
2
0
8( 2)
1 1 3 2 6
( 1)
x
k x
x
−
= ⇔ =− ⇔ = ±
−
.
V
ậ
y ta tìm
ñượ
c 4
ñ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn bài toán
⇒
ñ
pcm.

Ví dụ 7:


ậ
n m
ộ
t tam giác có chu vi nh
ỏ

nh
ấ
t.

Giải:
Xét
0 0
0
1
( ; 1 )
1
M x x
x
+ +
+
. Tiếp tuyến tại M có phương trình
2 2
(1 ) 2 1
y m x m m
= − + + +
( với
0
1
1

| |
P AB BI IA m m
m
m
= + + = + + + +

Áp d
ụ
ng B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Côsi, ta có:
2
4
2
8 2 2
4 8 2; 2 | | 4 2
| |
m m
m
m
+ ≥ + ≥

4
8 2 8 4 2
P
⇒ ≥ + +

= + + +
.

Giải:
Xét
(0; )
M m Oy
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
4 2 1
4 1
1
4 2 1
x x x kx m
x
k
x x


+ + + = +






4 2 1
x
x x x x m x x m f x
x x
+
⇔ + + = + + + + ⇔ = =
+ +
(*)
ðể từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến ñến ñồ thị
(*)
⇔
có ít nhất một nghiệm.
xét hàm số f(x), ta có:
2 3
3
'( ) '( ) 0 0
( 4 2 1)
x
f x f x x
x x
−
= ⇒ = ⇔ =
+ +

M
ặ
t khác:
1 1
( ) ; ( )
2 2

i
1
1
2
m
− < ≤
là nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m c
ầ
n tìm. Bài tập
:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
. Vi
ế
t ph
ươ

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2 1
y x x
= − +
, bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n
ñ
i qua A(0;1).

p tuy
ế
n
song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=-3x+1
2) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
y=x
3
-6x
2

2
3 2 3
y x x x
= + − −
, bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=4x+2.
Bài 3
: Cho hàm s
ố

3 2
2 3( 3) 11 3
y x m x m
= + − + −
(
m
C
)

1
x x
y
x
− +
=
−
(C).
2. Từ ñồ thị (C), hãy nêu cách vẽ và vẽ ñồ thị của hàm số:
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−

3.Từ góc toạ ñộ có thể vẽ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (C) ? Tìm toạ ñộ các
tiếp ñiểm (nếu có).
Bài 5:
1) Tìm toạ ñộ các giao ñiểm của các ñường tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
1
3
x
y
x
+
=

= , biết tiếp tuyến ñi
qua M(1;0).
BÀi 6: M là một ñiểm thuộc ñò thị hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
= − +
có hoành
ñộ
b
ằ
ng -1.
Tìm m
ñể
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
t
ạ
i M song song v
ớ

2
2
1
x x
y
x
+
=
+

Bài 9: Tìm trên ñồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
các ñiểm sao cho tiếp tuyến tại ñó
vuông góc với tiệm cận xiên ñồ thị hàm số ñã cho.

Bài 10: Tìm những ñiểm trên trục Oy sao cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị
hàm số
2
2 1
1
x x
y

x
=
−
.Gọi ñồ thị là (C)
2) Tìm trên
ñường thẳng y=4 tất cả các ñiểm mà từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ tới ñồ thị
(C) hai ti
ếp tuyến lập với nhau một góc
45
°

Bài 13:
Cho hàm s
ố
:
2
2
x x
y
x
+
=
−
(C)
1) Kh
ả
o sát hàm s
ố
(C)
2)

ứng minh rằng tại mọi ñiểm của ñồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm cận
m
ột tam giác có diện tích không ñổi.
Bài 15: Cho hàm số :
3
1 2
3 3
y x x
= − +
(1)
1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và c
ẽ

ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1)
2) Tìm trên
ñồ
th

= − +

Bài 16:
Cho hàm s
ố
:
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +

1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố


n
có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t .
Bài 17:
Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
−
=
−
(C).
1) Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th

ớ
i IM.
Bài 18:
Cho hàm s
ố

2
2
2
x x
y
x
− −
=
+
(C).
1) Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

2) Gi
ả
s

ng minh r
ằ
ng
MP MQ
=

Bài 19:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
(2 1) 1
y x m x m
= − + + − −
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng
th
ẳ
ng

ế
p
tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng phân giác c
ủ
a góc th
ứ
nh
ấ
t. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi
ñ
ó hàm
s
ố
luôn có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti

m
ấ
y
ch
ỉ
k
ẻ

ñượ
c
ñ
úng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố
trên.
Bài 22:
Tìm t
ậ
p h

th
ị
hàm s
ố

2
1
x
y
x
=
−
và hai ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 23:
Tìm nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m M n
ằ


2
2
1
x x
y
x
+
=
+
.
Bài 24:
Cho hàm s
ố

3
( 1) (2 1) 1
y m x m x m
= + − + − +
, có
ñồ
th
ị
(C
m
).
1) Ch
ứ
ng minh r
ằ

nào c
ủ
a m thì
ñồ
th
ị
(C
m
) có ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i
qua ba
ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh trên.

i nhau.
Bài 26:
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a
ñộ
có th
ể
v
ẽ

ñượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2

th
ị
hàm s
ố

2
a x (2 1) 3
2
a x a
y
x
+ + + +
=
+
ti
ế
p xúc
v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
4
y a
= +
.
Bài 28:
Tìm trên Oy các


2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
.
Bài 29:
Cho hàm s
ố

4
2
5
3
2 2
x
y x
= − +
(C).
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C).
2) G
ọi d là tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ
M
x a
=

1) Ch
ứng minh rằng trên ñồ thị không tồn tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tại hai ñiểm
ñó của ñồ thị vuông góc với nhau.
2) Tìm k
ñể có ít nhất một ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó vuông góc với ñường thẳng
y=kx.
Bài 32: Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
− +
=
+
.
1) Ch
ứng minh rằng nếu ñồ thị hàm số cắt Ox tại ñiểm
0
x x
=
thì hệ số góc của tiếp
tuy
ến tại ñó là:
0
0
2 2
x m
k
x m

ới hai ñường thẳng cố ñịnh.