BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN FECMA-ƯỚC LƯỢNG

Tiếp tuyến:
Với tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến
(
)
tt
d
tại một ñiểm trên ñồ thị
(
)
xfy
=
ngoại trừ ñiểm uốn, thì luôn luôn tồn tại lân cận
(
)
β
α
,
sao cho
(
)
tt
dxf
≥

khi lân cận ñó nằm trong giới hạn lồi và
(
)
tt

22
2
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a
++
≥
++
+
++
+
++

Giải
Ta sẽ chứng minh
0
>
x thì.
16
311
12
2
2
−
≥
++

11
3
≥x
Từ ñó ta chọn
x
lần lượt là
a
c
c
b
b
a
,, vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta
ñược.
∑∑
−
≥
++
cycliccyclic
ba
baba
a
16
311
2
22
22

+
−
+
+
−
+
+
−
4
6
29
6
29
6
29
2
33
2
33
2
33

Giải
Ta sẽ chứng minh
0
>
x
thì.
15
6

=+−
+
−
x
xx
xx
x
xx
x

Từ ñó ta chọn
x
lần lượt là
a
c
c
b
b
a
,,
vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta
ñược.
( )
∑∑
−≤
+
−
cycliccyclic
ba
aab

22
3
22
3
22
3
cba
a
ca
c
c
c
bc
b
b
b
ab
a
a ++
≥
++
+
++
+
++

Giải
Ta sẽ chứng minh
0
>

3
≥
++
+−
=
−
−
++ xx
xxx
xx
x

Từ ñó ta chọn
x
lần lượt là
a
c
c
b
b
a
,,
vào bất ñẳng thức trên ta ñược.
∑∑
−
≥
++
cycliccyclic
ba
baba

.Chứng minh rằng .
3211113
222
+≤++++++++≤ ccbbaa

Giải
Áp dụng bất ñẳng thức Mincowsky ta có .
2
22
2
2
3
3
2
3
4
3
2
1
1








+


Ta lại có
[
]
1,0
∈
∀
a
thì
(
)
1131
2
+−≤++ aaa
thật vậy, ta viết lại như sau

(
)
(
)
01223 ≥−−⇔ aa

Tương tư ta có
(
)
(
)
1131,1131
22
+−≤+++−≤++ cccbbb


k
=
∑
≥
=
. Chứng minh rằng .
5
6
1
1

1
1
1
1
1
1
22
3
3
2
2
2
2
1
1
n
x
x
x

( )
0
125
127
25
432
1
1
2
2
2
≤
+
−−
=
−
−
+
+
x
xxx
x
x25
432
1
1
2

25
32
1
15
6
1
1
1
2
n
x
x
n
k
k
k
≤
+
+
⇒
∑
=

Vậy bài toán chứng minh xong .
[Ví dụ].
Cho các số thực dương
cba ,,

Do ñó không mất tính
tổng quát của bài toán ta chuẩn hóa
9
=
+
+
cba
.
Vậy bài toán ñược viết lại .
( )
4
1
9
2
≥
−
∑
cyclic
a
a
với
9
=
+
+
cba

Dễ thấy .
( )
( )

+
≥
−
⇒
∑
∑
cyclic
cyclic
a
a
cba
a
a

Vậy bài toán chứng minh xong .
[Ví dụ].
Cho các số thực dương
cba ,,
thoả
1
2222
=+++ dcba
.Chứng minh rằng .
( )
6
1111
≥+++−




5
1
22
+−≥−+−≥− bb
b
aa
a

,
4
11
5
1
,
4
11
5
1
22
+−≥−+−≥− dd
d
cc
c

Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh.
[Ví dụ].
Cho các số thực dương
dcba ,,,
thoả
1

tzyx
thì ta có
(
)
(
)
846
22223333
++++≥+++ tzyxtzyx

Thật vậy từ hệ thức.

(
)
(
)
0,0861
2
>∀≥+− mmm
ta thay
m
lần lượt cho các biến thì

(
)
1010246
23
−++≥
⇒
xxx

1
==== dcba
.
Ước lượng ñánh giá
Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức xảy ra khi nào ? lúc
ñó ta sẽ nhận xét và ñánh giá nó , tuy nhiên chúnh ta cũng có thể sai lầm do nó
không phải là tổng quát của một cách giải nào.
[Lê Khánh Sỹ].
Cho ba số dương
cba ,,
thoả
1
=
abc
. Chứng minh rằng.
1
111
444444
≤
++
+
++
+
++
b
a
c
a
c
b

cbacb +≤+⇔
−
ααα(
)
(
)
44
1
cbbccb +≤+⇔
−
α
αα

Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
234
−
=
α
ta tìm ñược ngay
2
=
α
do ñó ta có

22244
22244
22244

cbacba ++≥++
222
với
1
=
abc

Vậy bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi
1
=
=
=
cba

[Lê Khánh Sỹ].
Cho các số thực dương
n
aaaa , ,,,
321
thoả
1,3,;1,,1, ,
321
≥≥=∀= knnjiaaaa
n
.
Chứng minh rằng.
1
1
1,
,1

α
sao cho
∑∑
=
−
≠=
≤
+
n
i
i
j
n
jii
k
ij
a
a
aa
1
1
,1
1
α
α



jii
k
ij
n
jii
i
aaa
,1
1
,1
αα∑∑
∏
≠=≠=
−
≠=
≤








⇔
n
jii

nk 1
−
+
=
α
do ñó ñể bất ñẳng thức ñúng thì
ta cần chứng minh

∑∑
=
−
−+
=
−+
≥
n
i
n
nk
i
n
i
n
nk
i
aa
1
1
1
1

1
1
1
1
1
và
1
1
=
∏
=
n
I
i
a

[Ví dụ].
Cho ba số thực dương
cba ,,
thoả
1
=
abc
. Chứng minh rằng.
1
111
442442442
≤
++
+

−2
442
1(
)
442
cbacb +≤+⇔
−
ααα(
)
(
)
44
2
cbbccb +≤+⇔
−
α
αα

Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
434
−
=
α
ta tìm ñược ngay

3
2
442
1
1
1
cba
c
bac
cba
b
acb
cba
a
cba
++
≤
++
++
≤
++
++
≤
++

Vậy ta cần chứng minh

3
2
3

[Ví dụ].
Cho ba số thực dương
cba
,,
. Chứng minh rằng.
2
3
22
2
22
2
22
2
≥
+
+
+
+
+
b
a
c
a
c
b
c
b
a

Giải

222
3222
cbacba +≥++
−
αααα

Ta lại có

3
2
3
3
αα
ααα
babba ≥++3
2
3
3
αα
ααα
cacca ≥++

Cộng vế theo vế và ñồng nhất với giả thiết ta ñược
3
=
α
do ñó ta có


++
≥
+
333
3
22
2
333
3
22
2
333
3
22
2
2
3
2
3
2
3
cba
a
ba
c
cba
b
ac
b

c
b
b
c
b
a
a

Giải
Ta chọn số thực
α
sao cho

ααα
α
c
b
a
a
c
b
a
a
+
+
≤
+
+
33


do ñó ta có

3
5
3
5
3
5
3
5
33
3
5
3
5
3
5
3
5
33
3
5
3
5
3
5
3
5
33
cba

3
3
3
3
3
3
3
3
≥
++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a

Giải
Ta chọn số thực
α
sao cho

( )
ααα
α
cba
a

( ) ( )
2212
332
334:
2:
aaaaf
aaaaf
+++−=
′
++−=
+−
+
αα
αα
αα

Ta cần có

(
)
(
)
20334:1
=
⇔
=
+
+
+
−

22
3
11








+
+≤






+
+
⇒
a
cb
a
cb2
3
(
)
02
2
2
≥−
⇒
tt
với
a
cb
t
+
=
luôn luôn ñúng .
Tóm lại ta ñược

( )
222
2
3
3
3
cba
a
cba
a
++

++
+
++
+
++
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
222

Giải

( )
( )
abcabccbaabcaccb
cabcab
ab
ccab
222
22
1
22222
2

2
2
3
1
1
≤
−++
++
−++
+
−++
n
n
xSn
x
xSn
x
xSn
x

Trong ñó
33
1
3
1

n
xxxS +++=

Giải

2
2 22, ,3
33
2
3
121

Vậy bài toán chứng minh xong .
[Crux-Mathematicorum].
Cho các số thực
[
]
1,0, ,,
621
∈
xxx . Chứng minh rằng.
5
3
5

55
5
6
3
6
5
2
3
2
5

Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau

[ ]
(
)
3
6
3
2
3
1
5

3
5
5,6;1,1,0 xxxxSix
ii
+++≥+−=∈∀
Do ñó ta xây dựng bài toán như sau

( )
(
)
(
)
(
)
5
4
3

[
]
1,0, ,,
21
∈
n
xxx , ni ,1=∀ và hai số tự nhiên 1
≥
≥
β
α
. Chứng
minh rằng.
( ) ( ) ( )
α
β
β
βα
β
βα
β
βα
α
β
α
β
α
β
≤
−+

1

Trong ñó
ααα
n
xxxS +++=
21

Giải
Áp dụng GMAM
−
cho
α
số dương ta có

β
βαβ
ααα
α
xxxx ≥+++++++
−
434 2144 344 21
1 11

(
)
βα
αβαβ
xx ≥−+
Do ñó ta có


21
2121

Vì
[
]
1,0, ,,
21
∈
n
xxx
nên ta suy ra

(
)
(
)
ββββ
β
α
β
β
α
ni
xxxx
n
S +++≥−+
−
+ 1

21

Cho
i
chạy từ n
,1
và cộng theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh.
Bài tập hướng dẫn.
[Ví dụ].
Cho cba
,,
là các số thực dương.Chứng minh rằng .
3
2
2
2
22
3
22
3
22
3
cba
a
c
c
c
b
b
b

là các số thực dương.Chứng minh rằng .
3
3
2
3
2
3
2
333
2
cba
ac
c
cb
b
ba
a
++
≥
+
+
+
+
+

Hướng dẫn :
0
>
∀
x thì ta luôn có .

=
+
+
+
+
nn
bbbbaaaa . Chứng minh rằng.

2
1

2
33
2
3
22
2
2
11
2
1
≥
+
++
+
+
+
+
+
nn

c
ac
ca
c
bc
bc
b
ab
ab
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
2
33
2
33
2
33
3
5
3
5
3
5

+
cba .Chứng minh rằng .
10
27
1
1
1
1
1
1
2
5
222
≤
+
+
+
+
+
≤
c
b
a

Hướng dẫn :
Ta luôn có
[
]
1,0
∈


[Olympic BaLan].
Cho các số thực
4
3
,, −≥
cba và thoả
1
=
+
+
cba .Chứng minh rằng .
10
9
1
1
1
222
≤
+
+
+
+
+
c
c
b
b
a
a

là ñộ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng.






+
+
+
+
+
≥
++
+++
accbbacbacba
111
4
9111

Hướng dẫn :
Bất ñẳng thức trên là thuần nhất ño ñó ta chuẩn hóa
3
=
+
+
cba .khi ñó quay về
bài tiếp tuyến quen thuộc.
[Ví dụ].
Cho ba số dương cba

12
1
2
+−
≥
+
x
x

[Ví dụ].
Cho
cba ,,
là các số thực dương.Chứng minh rằng .
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
2
222
2
2
2
2
2
2

+
+
cba
. Do ñó ta viết lại bất ñẳng thức như sau

(
)
( )
7
33
23
222
2
2
2
cba
aa
a
cyclic
++
≥
−+
−
∑

Để giải quyết bất ñẳng thức trên ta ñi chứng minh bổ ñề sau

(
)
( )

( )
045126281
0234996444447
2
2
2
22
≤−−−
≤−−+−+−
xxx
xxxxx

[Ví dụ].
Cho ba số thực dương
cba ,,
.Chứng minh rằng.
( )
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++≥
+
+
+
+
+

cba ,,
thoả mãn
1
222
=++ cba
.Chứng minh rằng.
2
1
1
1
≤
+
+
+
+
+
ab
c
ca
b
bc
a

Hướng dẫn :
Ước lượng
c
b
a
a
bc

≤
++
nnn
n
nn
c
b
b
a
cba
a

[Ví dụ].
Cho ba số thực dương
cba
,,
thoả mãn
1
=
abc
và
10
≤
<
n
.Chứng minh rằng.

3
21
3