Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Phng trỡnh tip tuyn ụn thi tt nghip
*Đạo hàm của hàm hợp.
Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x nh sau

' ' ' '
.
x x u x
y f f u
= =
Bảng đạo hàm của hàm số hợp
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
y = u
n
n.u
n-1
.u y = tanu
2
1
cos u
. u
y = 1/u
2
1
. 'u
u

y = cotu
2
1
sin u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với
đạo hàm của hàm số u theo biến x.
* Các phép toán đạo hàm.
Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó
*) (u + v) = u + v
*) (u - v) = u v
*) (uv) = uv + vu
*) (ku) = k.u ( k là hằng số)
*)
'
2
' 'u u v v u
v v


=
ữ

Các dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số.
Phơng pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu yêu cầu tính đạo
hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đợc kết quả.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
3 2
2 3 4y x x x
= + +
b)
sin cos tany x x x
= +

2 4y x x x
x
= + = +
d) Ta có
( )
'
'
2
1
cot 3 2 3
sin
y x x
x
= + =
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng.
a)
3 2
3 4 1y x x x
= + +
tại x
0
= -1.
b)
sin 2 cosy x x
= +
tại
0
4
x


'
2
2cos sin
4 2 4 2
y


= =
ữ ữ ữ

c) Ta có
( )
'
'
1
2 2
2
y x x
x
= =
suy ra
( )
'
1 1 4 2
2 2
2 2 2 2
y

= =
Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau

2
4 1y x x
= + +
g)
2
tan( 2 1)y x x
= + +
Giải
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' '
'
'
2 2 2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 4 2 1 5
2
2 2 2
x x x x
x x x
y
x
x x x
+ +
+ +

= = = =
ữ
+

'
'
sin(2 1) cos(1 ) 2cos(2 1) sin(1 )y x x x x
= + + = + +
e) Ta có
( )
'
'
3
3 2
2 3 2
y x
x
= + =
+
f) Ta có
(
)
'
' 2
2 2
2 4 2
4 1
2 4 1 4 1
x x
y x x
x x x x
+ +
= + + = =
+ + + +

2. Dạng 2. Giải phơng trình y = 0.
Phơng pháp. Ta tính y sau đó giải phơng trình y = 0.
Ví dụ 1. Giải phơng trình y = 0 biết.
a)
2
1
x
y
x
=

b)
3 2
3y x x
=
c)
3 2
4 12 9 1y x x x
= +
d)
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
e)

=

i)
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
2
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Giải
a) Ta có

( )
'
2 2
'
2
2
1
1
x x x
y
x
x

Vây phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
b) Ta có

( )
'
' 3 2 2
3 3 6y x x x x
= =
suy ra
' 2
0
0 3 6 0
2
x
y x x
x
=

= =

=

Vây phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
c) Ta có

( )
'
' 3 2 2
4 12 9 1 12 24 9y x x x x x
= + = +

'
2
2 2 2
1
1
x x x x
y
x
x

+ + +
= =
ữ
+
+suy ra
( )
2
' 2
2
0
2
0 0 2 0
2
1
x
x x
y x x

+suy ra
( )
2
' 2
2
0
2
0 0 2 0
2
1
x
x x
y x x
x
x
=

+
= = + =

=
+

Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.
f) Ta có

'

( )
'
' 4 2 3
2 3 4 4y x x x x
= + =
Suy ra
' 3
0 4 4 0 0y x x x
= = =
Vậy phơng trình y = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
h) Ta có
( )
'
2 2
'
2
2 2 3
1
1
x x x x
y
x
x

+ +
= =
ữ




2 2
'
2
2 2 4 1
1
1
x x x x
y
x
x

+ + +
= =
ữ
+
+

Suy ra
( )
2
' 2
2
2 2
2 4 1
2
0 0 2 4 1 0
1
2 2
2
x

b) y + 2y
2
+ 2 = 0 với y = cot2x.
c) y
2
+ 4y
2
= 4 với y = sin2x.
Giải
a) Ta có
'
2
1
cos
y
x
=
Khi đó

( )
2 2 2
' 2
2 2 2
2 2
2 2
1 sin 1 sin cos
1 1
cos cos cos
1 sin cos
1 1

sin 2 sin 2 sin 2
x x
x
y y
x x x
+ +
+ + = + + = =
Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y = 2cos2x
Khi đó
( )
2
' 2 2 2
4 4cos 2 4sin 2 4y y x x
+ = + =
Vậy ta có điều cần chứng minh.
III. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
b)

= +
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
1
x
y
x

=

b)
3 2
3 2y x x
= +
c)
2
1
x
y
x
=
+
d)
3 1
2
x
y
x
+

b)
4 2
5 4y x x
= +
tại điểm x
0
= 2
c)
3 2
2
5 2 4
3
y x x x
= + +
tại điểm
0
3x =
.
Bài 4. Giải phơng trình y = 0 trong các trờng hợp sau
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
4
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
a)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +

1. Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x
0
là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên và
tồn tại đạo hàm tại đó. Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm
(x
0
; f(x
0
)) có phơng trình là y = y
/
(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
)
Nhận xét: ở trên ta có y
/
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong tr-
ờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong nào đó. Các bài tập hay gặp trong
phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đờng
thẳng nào đó.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.
Cho hai hàm số y = f(x) (C
1
), y = g(x) (C
2

+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm.
+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc hoành độ tiếp điểm.
+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc tung độ tiếp điểm.
+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác. Khi đó ta cần giải hệ phơng trình để tìm
toạ độ của tiếp điểm.
2. Dạng 2. Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm M(x
M
; y
M
)
Phơng pháp:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M
0
(x
0
; y
0
). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng
trình y = f
/
(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
).
Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(x

M
Ta có đờng thẳng y = k(x-x
M
) + y
M
là tiếp tuyến của đờng cong (C)
/
( ) ( )
( )
M M
f x k x x y
f x k
= +



=

giải hệ
này ta tìm đợc hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.
3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:
Phơng pháp.
Cách 1. Tìm tiếp điểm
Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M
0
(x
0
; y
0

) = k sau đó viết ph-
ơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
5
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k =
1
a

sau tìm tiếp điểm
M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M
0
(x
0
;
y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/

hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó tìm tiếp
điểm M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
( ) 2 4 ( )y f x x x x C
= = + +
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết
a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3;
2
b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4.
c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.
Giải
TXĐ:
D
=
Ă
Ta có
/ / 2
( ) 3 4 1y f x x x

(3)(x-3) + 44 hay y = 40x 76
b) Với tung độ tiếp điểm y
0
= - 4 ta có x
0
= -1 hoặc x
0
= 0
Với hoành độ tiếp điểm x
0
= -1 ta có
/ /
0
( ) ( 1) 0f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y =
f
/
(-1)(x+1) 4 hay y = - 4
Với x
0
= 0 ta có
/ /
0
( ) (0) 1f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f
/
(0)(x+1) 4 hay y =
x 3.

( ) 3y f x x m
= =
. Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y
/
(0)x +1 m hay y =-mx +1-m
Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm
1
( ; 0) ( 0)
m
B m
m


suy ra
2
2 2
2 2
1 1 1
| | .| | |1 |.| | 8 16 | | 2 1
2 2
16 2 1 14 1 0 9 4 5
16 2 1 18 1 0
7 4 3
OAB A B
m
S y x m m m m
m
m m m m m m
m m m m m
m

viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết
a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
1
3
y x
=
Giải
TXĐ:
D
=
Ă
. Ta có
/ / 3
( ) 3 6y f x x x
= =
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
6
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
a) Gọi A(x
A
; y
A
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có
/ 2 2
1
( ) 3 6 9 3 6 9 0
3
A
A A A A A

M
;y
M
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng
1
3
y x
=
suy ra hệ số góc của nó là
k = -3 (Làm tơng tự nh phần a)
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2
2 3 12 5y x x x
=
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các trờng hợp
sau
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x 4.
b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng
1
5
2
y x
= +
một góc 45
0
.
Giải
TXĐ:
D


= = =

+
=


Với
0
1 13
2
x

=
ta có
0
20 13 23
2
y

=
khi đó tiếp tuyến cần tìm là
1 13 20 13 23 26 13 29
6( ) 6
2 2 2
y x y x

= + = +
Với
0

1
1
2 1 2
2 1
2
tan 45 1 2 1 | 2 |
3
2 1 2
2
1
3
2
k
k k
k
k
k k
k
k k
k
k

+
+ =
=

+

= = + =


có hệ số góc k, khi đó nó có dạng
19
4
12
y kx k
= +
(d)
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghịêm
3 2
2
19
2 3 5 4 (1)
12
6 6 (2)
x x kx k
x x k

+ = +



=

Thay (2) vào (1) ta có
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
7
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
3 2 2 2 3 2
2
19

Ví dụ 6. Cho hàm số
3 2
3 3 5 ( )y x x x C
= + + +
a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng y = kx +
m.
Giải
a) Giả sử trên (C) có hai điểm M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2
; y
2
) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau.
Ta có y = 3x
2
+ 6x + 3 = 3(x+1)
2
.
Khi đó ta có
2 2
1 1 1 2
-1 = y'(x ).y'(x ) = 9.(x +1) .(x + 1) 0 1 0

3
x
x k x
Hệ có nghiệm.
Thế (1) vào (2):
=
3 2 2
1
( 2 )( 3)
2
x x x x x

2x
3
-12x
2
+ 18x = 0


=


=

0
3
x
x
+) Với x
1

=

(C) tiếp xúc với (P) : y = x
2
+ a.
Giải
Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)







+

= +



2
2
2
2
x 2
2x = (1)
( 1)
1
(2)
1

Gọi M(a; 0) Ox; là đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)
() là tiếp tuyến của (C)


=





= +



2
1
1 (1)
( 1)
(I)
1
( ) 1 (2)
1
k
x
k x a x
x
Hệ có nghiệm.


=

Kết hợp (3) và (1) ta có:





=


2 2
1
(1 )
1 (4)
4
k
k a
k
(4)

k
2
(1 - a)
2
+ 4k - 4 = 0
Từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)

Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k
1
, k
2

Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tơng đơng mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính đợc

1
1x
theo a và
k thay vào phơng trình (1) thì đợc một hệ mới tơng đơng trong đó có một phơng trình chỉ chứa a và k từ đó ta
có phép biến đổi nh trên và cách giải này là ngắn gọn.
Ví dụ 10. Cho đờng cong
+
=

2
2 2
1
x x
y
x
(C)
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với
nhau.
Giải:
() là đờng thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (): y = k(x - a) + b.
() là tiếp tuyến của (C)


=







1
( 1) 1 (3)
1
1
( ) 1 (4)
1
k x x
x
k x a b x
x
Lấy (4) - (3)

= +

2
(1 )
1
k a b
x

+
=

1 (1 )
1 2
k a b
x
(5)

2 2 2
1
(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (7)
k
k a a b k b
Vì từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)

hệ trên có hai nghiệm phân biệt k
1
, k
2
và k
1
.k
2
= - 1

( )





=




+ + +


0

(1 - a)b + 2

0
Từ (10)

(1 - a)
2
+ b
2
+ 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b

(1 - a + b)
2
= 2(2 + (1 - a)b)
Vì 2+ (1 - a)b

0

1 - a + b

0.
Vậy ta có tập hợp các điểm M cần tìm là đờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ đi 4 điểm là giao các đờng thẳng x
= 1 và - x + y + 1 = 0 với đờng tròn đó là các điểm (1;

2); (
+
1 2; 2
); (





+ = + +



2
2
2 (1)
( 1)
2
( ) 7 2 1 (2)
1
k
x
k x a x
x
Hệ có nghiệm.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
10
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2



=




1 4
k a
x
(5)
Kết hợp (5) và (1)





+

=
ữ



2
2
(1 ) 4
2 2
4
k
k a
k



2
1 tan
tan
1 tan

+
=

2
1
2
1
1
k
k
k

k
1
- k
1
.k
2
= 1 + k
2
(7)
Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà
= 0
c
a

k
hoặc






=

1
2
1
0
0
a
k
k
(8)
Kết hợp (8) và (7) ta có:
=


=

1
2
0
1
k

a a
.
Nếu k
2
= -1 , từ (8) :






=

2
1
3 a = - 3 2 6
(1 ) 8(2 ) 0
a
a
a a

Vậy các điểm tìm đợc là : M
1;2
(

5 2 2
; 7); M
3;4
(
3 2 6

+ = +


= +

0
0
2
0 0 0
2
0 0 0
2 3 (1)
2 ' 7 (2)
3 2 (3)
' 7 ' 11 ' (4)
a x
a x
x x ax b
x x ax b
Hệ có nghiệm.
Từ (1) và (2)
=
0 0
5 'x x
(5)
Từ (3) và (4)
+ =
2 2
0 0
(5 ' ) 2 ' 11x x




2
2
2
1 (1)
(2)
( )
m
m ax b
x m
m
a
x m



+ = +





=



2
2

m
2
+ 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)
2
= 0
Phơng trình này thỏa mãn m 0

+ =



+ =

=


+ =

2
2
( 1) 0
a = 1
2( 1)( 1) 0
1
( 1) 0
a
a b
b
b
Kết luận: Vậy họ đờng cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1

3 2
3 1 ( )y x x C
= +
. CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm
đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định.
Bài 4. Cho
3 2
3 9 5 ( )y x x x C
= + +
. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 5. Cho
3 2
1
3 2
2
4 7 4 ( )
2 5 6 8 ( )
y x x x C
y x x x C

= +


= +


Viết phơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị trên tại giao điểm của
chúng.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
12

Bài 8. Cho hàm số
3 2
( ) : 3 2C y x x
= +
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm
23
( ; 2)
9
A

.
b) Tìm trên đờng thẳng y = - 2 những điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau.
Bài 9. Cho hàm số
3
( ) : 3 2C y x x
= + +
. Tìm trên trục hoành những điểm kẻ đợc ba tiếp tuyến với (C).
(ĐH SPHN2- KB-1999)
Bài 10. Cho hàm số
3
( ) : 6C y x x
=
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(2; 0).
(ĐH THHN- 1994).
Bài 11. Cho hàm số
3 2
( ) :
1
x
C y

.
Bài 14. Cho hàm số
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=

. Tìm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy
tại A, B tạo ra tam giác OAB vuông cân.
(HVBCVTHN - 1997).
Bài 15. Cho hàm số
2
2 5
( ):
2
x x
C y
x
+
=
+
. CMR: Tiếp tuyến với (C) tại mọi điểm M tùy ý luôn tạo với hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 16. Tìm các điểm trên đồ thị
3

sao cho tiếp tuyến với (C) tai M đi qua gốc
tọa độ. ( ĐH Công Đoàn 2001).
Bài 20. Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị
3 2
( ) : 1
m
C y x mx m
= +
. Tìm quỹ
tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
( ĐH an ninh 2000_ k A).
Bài 21. Cho đồ thị hàm số
3 2
( ) : 3 2C y x x
= +
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm
23
; 2
9
A


ữ

.
b) Tìm trên đờng thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) và chúng vuông góc với nhau.
Bài 22. Cho hàm số
3
3 ( )y x x C
=

3
3 2 ( )y x x C
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C ) đi qua điểm A(1; 0).
( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D).
Bài 27. Tìm các điểm trên trục hoành kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị
2
3
( ) :
2
x x
C y
x
+
=
+
Bài 28. Cho đồ thị
2
2 1
( ) :
1
x x
C y
x
+
=

. CMR trên đờng thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm kẻ
đợc hai tiếp tuyến tới (C) và tạo với nhau một góc 45
0

x x
C y
x
+ +
=
+
.
( ĐH xây dựng 1995).
Bài 32. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
.
( ĐHsp vinh 1998).
Bài 33. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 1 ) tới đồ thị
2
4 5
( ) :
2
x x
C y
x
+

+ Số hạng tổng quát trong khai triển (1) là
. (0 )
k k n k
n
T C a b k n

=
.
+ Số hạng thức k trong khai triển (1) là
1 1 1
. (1 1)
k k n k
n
C a b k n
+
+
.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
14
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
2. Một vài khai triển thờng dùng.
Ta có
( )
0 1 1 1
0
1 (2)
n
n
k k n n n n
n n n n n

= = + + +

3. Mối liên hệ của hai hàm số bằng nhau.
Ta có hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
Nếu f(x) = g(x) thì f(x) = g(x)
II. Dạng toán tính tổng của tổ hợp liên quan tới đạo hàm.
Ta có một vài chú ý khi gặp tính tổng của tổ hợp
+ Nếu trong vế tính tổng không có
0
n
C
thì ta cần dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x cả hai vế sau
đó thay x bằng một giá trị thích hợp.
+ Nếu trong một vế tính tổng không có
0
n
C
và
1
n
C
thì ta dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x hai lần
sau đó thãy bằng một giá trị thích hợp.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a)
2008 1 2 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2 2 2008 2009C C C C= + + + +
b)

x
C C x C x C x
+
= + + + +
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có
2007 2 3 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2008.2 2 3.2 2008.2007 2009.2008C C C C= + + + +
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
15