Chuyên đề 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - 3 dạng quan trọng
Đ
ÌNH THỦY
Giới thiệu
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản khi nghiên cứu về hàm số. Việc viết
phương tr
ình tiếp tuyến trước nay mới chỉ dừng lại ở những đồ thị hàm số hết sức cơ bản ví dụ như parabol,
hyperbol… nhưng khi chúng ta đ
ã biết đến đạo hàm thì việc viết phương trình tiếp tuyến đã được mở rộng
thêm cho nhiều hàm số phức tạp hơn, và đây cũng chính là một trong những ứng dụng quan trọng của đạo
hàm với việc cho biết hệ số góc của tiếp tuyến. Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu về vấn đề này.
Các bài toán mẫu
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
- Trước khi đi vào các ví dụ chúng tôi xin nhắc lại tính chất sau: cho hai đường thẳng


1 1 1
d : y k x b
 
và


2 2 2
d : y k x b
 
.
+





y x 2
4
 
.
Lời giải:
- TXĐ:

- Ta có:
2
y f (x) x 10x 20
 
   
- Phương trình tiếp tuyến là:






0 0 0
d : y f x x x y

  
, trong đó
0 0
(x ; y )
là tọa độ tiếp điểm.
+ Tiếp tuyến vuông góc với
1
y x 2

Vậy phương trình tiếp tuyến là:
 
1
7 31
d : y 4(x 4) 4x
3 3
      


2
d : y 4(x 6) 7 4x 17
      
Chiến thuật
- Các bước giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong


y f x
 khi biết hệ số góc:
+ Tính


f x

.
+ Áp d
ụng công thức phuơng trình tiếp tuyến:
0 0 0
y f (x ).(x x ) y

  

+ TXĐ:


\ 1

.
+
0 0
x 2 y 3
   
+ Phương trình tiếp tuyến tai tiếp điểm


2; 3

là:


y y (2). x 2 3

  
Ta có:
 
 
 
2
2
x 2x 4
y x
x 1




0 0 0
y f x x x y

  
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại tiếp điểm chỉ có một.
- Một trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tại giao điểm


1 1
x ; y
của đường cong


 
u x
y
v x

với trục Ox thì hệ
số góc của tiếp tuyến là


 
1
1
u x

k
v x
 


, mà


1
u x 0


1
1
u (x )
k
v(x )


(đpcm).

Khi dùng ta phải chứng minh, công thức này hết sức quan trọng trong một số bài toán.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2 2
x 3x m
y
x 2
 



1
1
2x 3
k
x 2



và
2
2
2
2x 3
k
x 2



, trong đó
1 2
x , x
là
hoành độ hai tiếp điểm
1 2
2
1 2
x x 3
x x m
 


    
 
  
Vậy
1
m
5
 
.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước và sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hai đường cong bất kì


y f x

và


y g x

muốn tiếp xúc với nhau thì phải thỏa mãn hệ phương trình
sau có nghi
ệm:
0 0
0 0
f (x ) g (x )
f(x ) g(x )
 



A 2;0
là


y k x 2
 


   
 
 
 
 
 
0
0
0 0
2
0 0
2
0
2
0 0
0
0
2 2
0 0 0 0
0
2
0



 

 



   
  


 
  
®é Õ ® Ó
Vậy tiếp tuyến là
1
y x 1
2
  
.
Chiến thuật:
- Các bước giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm


1 1
A x ; y
cho trước với đường cong




f x
có tiếp tuyến qua điểm nào đó thì ta đặt điều kiện để hệ
trên có nghiệm.
- Ti
ếp tuyến của một đường cong đi qua một điểm A (có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong) cho trước
có thể có một hoặc nhiều tiếp tuyến. Vì vậy khi làm bài ta cần phân biệt rõ "tại" hay "qua".
Bài tập đề nghị:
Viết phương trình tiếp tuyến của các hàm số sau thỏa mãn điều kiện:
1,
3 2
y x 3x 2
  
, vuông góc với:
3x 5y 4 0
  
. ĐS:
45x 27y 29 0
  
và
45x 27y 61 0
  
.
2,
2
2x 7x 7
y
x 2
 


y
x m
 


, tìm
m
để tiếp tuyến tại giao điểm với Ox song song với đường thẳng
16x 3y 1 0
  
.
ĐS:
1
m 1;
7
 
 
 
 
.
5,
2
x 2x 1
y
x 2
 


, qua điểm
