Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
" Biết phải mà cho là sai đó là sai. Biết sai mà cho là sai đó là phải". (Lão Tử)
Viết PTTT tại điểm thuộc đồ thị
1. Cho hàm số
1
2
2 xy x +=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Cho hàm số
1 1
3 2
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;
6
B C

ữ

.
3. Cho hàm số
= +
3
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm (0;2). (ĐH DL Đông Đô B00)
4. Viết PTTT của đồ thị hàm số
2
( 2)( 1) xy x = +

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm uốn của nó và tìm toạ độ các giao điểm của
tiếp tuyến này với tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực đại và điểm cực tiểu của nó. (ĐH Thăng Long D01)
10. Cho hàm số
4 2
2y x x=- +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm
A( 2;0).
(ĐH Thái Nguyên D01)
11. Cho
=
4 2
2 3y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. (ĐH Đà Nẵng97)
12. Cho
= + +
2
2 1y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
13. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành.
14. Cho hàm số
2


.
16. Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
3
1;
2
R C

ữ

.
17. Viết PTTT của đồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x


. Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi
giá trị của m. (ĐH AN A00)
21. Cho hàm số
3 2
3y x x mx= + +
, có đồ thị
(C )
m
. Viết PTTT của
(C )
m
tại điểm uốn của nó. CMR tiếp
tuyến đó đi qua điểm M(1;0) khi và chỉ khi m=4. (ĐH Thăng Long A01)
22. Cho hàm số
= +
3
3 3 2y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
. CMR tiếp tuyến với
(C )
m
tại điểm uốn luôn đi qua
một điểm cố định.
" Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc". Ngạn ngữ Gioócđani
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
" Giá trị đích thực của một ngời là ở nhân cách chứ không ở của cải". (Balaxkiơ)

, có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số
góc lớn nhất.
27. Cho hàm số
3 2
3 9 5y x x x= + +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
28. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
, có đồ thị (C).
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
b. Chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất. (ĐHDL Duy Tân 0102)
29. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 2y mx mx m x= + +
, trong đó m là tham số thực. (Viện ĐH Mở Hà Nội 0102)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
b. Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn.
c. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
30. Cho hàm số
= +
3 2
2 3 1y x x
, có đồ thị (C). Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá
trị nhỏ nhất. (ĐH Ngoại Ngữ CB00)
31. Cho hàm số
3 2

a. CMR
(C )
m
luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
b. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. (ĐH Huế 98)
35. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C);
a. Giả sử A là điểm trên (C) có hoành độ a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A.
b. Xác định a để (d) đi qua điểm M(1;0). Chứng tỏ rằng có hai giá trị của a thoả mãn điều kiện của bài toán và
hai tiếp tuyến tơng ứng là vuông góc với nhau.
36. Cho hai hàm số
1
2x
y =
và
2
2
x
y =
. Viết PTTT với các đồ thị của hai hàm số tại các giao điểm của
chúng. Tìm góc tạo thành giữa hai tiếp tuyến trên.

39. Cho
2
1
x x
y
x
- +
=
+
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) và Ox. (CĐSP KonTum05)
40. Cho hàm số
+
=

2
2
2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tọa độ tại
hai điểm A, B và tam giác OAB vuông cân tại O.
41. Cho hàm số
=
+
1
1
y x
x
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các cặp điểm trên (C) mà các tiếp tuyến tại đó song

tại điểm A. (ĐH GTVT-96)
44. Cho hàm số
+ +
=
+
2
2
1
x mx m
y
x
, có đồ thị
(C )
m
. Xác định m để
(C )
m
cắt Ox tại hai điểm phân biệt mà
tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. (ĐH Y93).
45. Cho hàm số
+
=

2
8x mx
y
x m
. Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại
hai điểm đó vuông góc với nhau. (ĐH CSND G00)
46. Cho hàm số

3
3 1y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
2
; 1
3
M

ữ

và
(0;6)N
.
2. Cho hàm số
= +
3
3 1y x x
. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm

ữ

-2
A ;3 .
3
(ĐH SP Quy Nhơn-D99)
3. Cho
= +
3 2
2 3 1y x x
, có đồ thị (C). Qua điểm A(0;-1) viết các PTTT với (C). (ĐH DL Đông Đô-A00)

. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm A(-2;0). (CĐSP Hà Nam-05)
6. Cho hàm số
3
2 5y x x= + +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
( )
1; 4P
.
25. Cho
3 2
2 3 5y x x= + -
, có đồ thị (C). CMR từ điểm A(1;-4) có ba tiếp tuyến với (C). (PV BCTT-01)
21. Cho
3 2
3 4y x x= - +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(2;0). (CĐSP Mẫu Giáo TW3-04)
22. Cho hàm số
3 2
3 4x x+ +
. Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(0;-1). (CĐ Kinh Tế Kĩ ThuậtI-A04)
7. Cho hàm số
=
3
3 4y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó đi qua M(1;3). (ĐH Tây Nguyên
A,B00)
9. Cho hàm số
2
1
3

3 2
3y x x=
, tìm trên đờng thẳng x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến
đồ thị (C) của hàm số.
21. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
, có đồ thị (C). Tìm các điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một
tiếp tuyến với (C).
22. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Xác định các giao điểm của (C) với trục hoành.
b. Viết PTTT kẻ đến đồ thị (C) từ
23
; 2
9
A

ữ

c
*
. Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
8. Cho
1 3
4 2
3
2 2

2
x
y
x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(-6;5). (Ngoại Thơng CS2-D99)
24. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
-
, có đồ thị (C). Xác định a để từ điểm A(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho
hai tiếp tuyến tơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. (ĐHSP TP.HCM-A01)
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao
điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị đó.

x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). CMR không có tiếp
tuyến nào của (C) đi qua I.
13. Cho hàm số
2
3 6
1
x x
y
x
- +
=
-
, có đồ thị (C). Từ gốc toạ độ có thể vẽ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Tìm
toạ độ các tiếp điểm (nếu có). (ĐH Thái Nguyên A,B01)
14. Cho hàm số
2
1x x
y
x
- +
=
. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(2;-1). (CĐSP Bà Rịa
Vũng Tàu A01)
18. Cho
2
1

1
x mx m
y
x
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ
thị
(C )
m
kẻ từ O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00)
12. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
lny x x=
đi qua điểm M(2;1). (ĐH XD 01)
26. Cho hàm số
2
x mx m
y
x
- +
=
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ
đến
(C )
m
hai tiếp tuyến khác nhau. (CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long-A,B05)