MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ TIẾÙP TUYẾN
1

CÂU HỎI
1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường
thẳng qua M(x
0
; y
0
) có hệ số góc k?
Trả lời: y – y
0
= k( x – x
0
) hay: y = k(x – x
0
) + y
0
2) Cho biết ý nghóa hình học của đạo hàm?
Trả lời:
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm
tại x
0
, có đồ thò ( C) và M(x
0
; y
0
)
là một điểm thuộc (C), khi đó hệ

0
= f’(x
0
)(x – x
0
), hay y= f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
Hãy nêu các dạng toán về
phương trình tiếp tuyến đã học?
3
?

1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x
0
hoặc
biết tung độ y
0
của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại

điểm M(x
0
; y
0
) ).
2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x

∗Thay các giá trò x
0
, y
0
, f′(x
0
) vào phương trình (1)
ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
5
1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x
0;
y
0
) của tiếp điểm
Phương trình cần tìm là: y = f’(x
0
).(x – x
0
) + y
0
(1)
∗
Nếu chỉ biết y
0
, ta thay y
0
vào
công thức của hàm số để tính
x
0

−
−==
x
xxfy

•
Gọi (x
0
, y
0
) là tọa độ tiếp điểm
•
•
Tính f′(x) rồi giải phương trình f′(x
0
) = k để tính x
0
.
•
•
Thay x
0
vào hàm số để tính y
0
.
•
•
Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến
7
•

Cho đường cong (C): y= f(x)=
Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp
tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.
Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1
2
2
+
−
x
x
( )
1
2
4
1
2
0
=
+
⇔
x
)(
⇔ x
0
= 0 hoặc x
0
= – 4
Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7
y = (x – x
0



=
+=
k)x('f
ykx-kxf(x)
MM
x
M
x
M
y
M
O
y

• M
 M
x
y
M
x
M
y
M

O

Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) là:
y = k(x − x



=+
−=−+
)(kxx
)(kxxx
266
11132
2
23
1
8
9
1 −−=−= xyvày

Hai đường cong được
gọi là tiếp xúc nhau tại
điểm M nếu chúng có
chung điểm M và tiếp
tuyến tại M của hai
đường cong đó trùng
nhau.(SGK ; tr 101)
Đồ thò của hàm số y = f(x) và đồ thò của hàm số
y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có
nghiệm :
11



=

3
+−==
tiếp xúc với đồ thò Parabol (P): y = g(x) = x
2
+ a
12



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
( )
( )





=+−
+=+−
⇔
2242
14
3
2
22

y
.đònhxáctậpýchú
)m()x(
)mx(



−=−
=−
22
2
11
0
{
Tìm m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với
đường thẳng có phương trình: y = x.
ĐS: Mọi m khác 1
Gợi ý: Như ví dụ 4. Điều kiện tiếp xúc
Bài số 1:
)(x
x
mx)m(
1
1
12
2
=
−
−−
( )

2
+
++
==
x
xx
)x(fy
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số
Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 =
0.
Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến. Vì (a) có hệ số góc 1/3
nên (d) có hệ số góc là – 3.
ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11.

Cho (C): y = f(x) = x
3
− 3x
2
+ 2. Tìm trên
đường thẳng y = − 2 các điểm từ đó có thể
kẻ đến đồ thò hai tiếp tuyến vuông góc
16
Bài số 4:
Gợi ý:
Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm.



=−
−−=+−

– 6x
1
)(3x
2
2
– 6x
2
) = – 1
Giải hệ ta được
a = 55/27
{

17
Cho hàm số y = f(x) = x
4
– 12x
2
+ 4
Bài số 5:
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được
đúng 3 tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số.
ĐS: Điểm A(0;4)
Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m
Điều kiện tiếp xúc:
{
x
4
– 12x
2