ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Chuyên đề I: Căn thức bậc hai
B ài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1


+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
2
.
B ài 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.

+


a) Rút gọn biểu thức sau A.
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 1
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
B ài 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +

x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A



1
2
++ xx
< 2

2(
1++ xx
) > 2


xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
B ài 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
H ớng dẫn :

0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
B ài 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x =

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x

















+

+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x

1
P <

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +
ữ
ữ
ữ
+ với x>0 ,x

1
a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( ) ( )
(


để
A Z
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 3
ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
(KQ : A=
3
2x −
)
Bµi 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c. T×m x ®Ó A =
1
2
d. CMR : A
2
3

1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. CMR :
0 1A≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bµi 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−

a Z
∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bµi 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
víi x > 0 , x
≠

− +
 
víi x
≥
0 , y
≥
0,
x y
≠
a. Rót gän A.
GV biên soạn: NGUYỄN MINH NHẬT Trang 4
ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bµi 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷

 ÷
 ÷
− −
−
 
 
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bµi 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−

b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ − + − −
 
 
víi x
≥

 ÷  ÷
−
+ − −
   
víi x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bµi 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −

 
+
 ÷
− − − +
 
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So s¸nh A víi 1
Bµi 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

 ÷
−
+ +
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2
d. T×m GTLN cña A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 

víi x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rót gän
b. T×m x ®Ó A =
1
2
Bµi 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
víi x
≥

a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈

c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x
−
+
)
GV biên soạn: NGUYỄN MINH NHẬT Trang 6
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Chuyên đề II: hàm số bậc nhất
B ài 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
4
3
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :



=
+=
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)

m =
2
1
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 7
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
B ài 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.


=
=
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
B ài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng
thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
21
1


m = 2.
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C(0 ; 2)
B ài 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố
định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3

(2x

;
2
1
).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y =
6 x
4

; y =
4x 5
3

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
B ài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm
A(1; 3) và B(-3; -1).
B ài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 8
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Chuyên đề III:
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b

x

1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2

2 thì (1)

x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m

Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 9
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23

y =


c)
2x y 3
5 y 4x
=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1



+ =


(a lµ tham sè).
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y
≥
2.
B µi 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
B µi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).

0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :



=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm
300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong
dung dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :



Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Chuyªn ®Ị iV: Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
GV biên soạn: NGUYỄN MINH NHẬT Trang 11
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
A.Kin thc cn ghi nh
1. bin lun s cú nghim ca phng trỡnh : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong ú a,b ,c
ph thuc tham s m,ta xột 2 trng hp
a)Nu a= 0 khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo
(1).Phng trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim duy
nht
- hoc vụ nghim
- hoc vụ s nghim
b)Nu a

0
Lp bit s

= b
2
4ac hoc

/
= b
/2
ac
*

1
=
a
b
2

; x
2
=
a
b
2
+
(hoc x
1
=
a
b
//

; x
2
=
a
b
//
+
)
2. nh lý Viột.
Nu x

= S v x
1
x
2
= p thỡ hai s ú l nghim (nu có )
của phơng trình bậc 2:
x
2
S x + p = 0
3. Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình .Ta
có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)




<
>

0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)






>
=
>
0
0
0
S
p
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 12

2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0
thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2

= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S

4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21

+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện


) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này
có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 13
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2
trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm
thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/


/

= 0

m =

3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2

2
(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/

=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0

m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x



m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 14
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
c) x
2
+ (
53
)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
a) 2x

+ (
53
)x -
15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53
) = -
3
+
5
x
1
x
2
= -
15
= (-
3

1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0





=
=

3
22
1
2
1
m
m
x
x

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2

2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 15
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x

1
1
1
21

+
xx
=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+

=

+
Sp
S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x

)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1
1
1
1
1
21
=

+
xx
(theo câu a)
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+

Bài 6 : Cho phơng trình :
x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:


= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k



- k
2
+ k 2 < 0

- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1
+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái
dấu với mọi k

= - k
2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87


k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 16
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phơng trình (1) nói
trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1

4
19
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x

++m

4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0

m = -
2
1
Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+
m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2


m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2


1= 3.
2
3
+

m
m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả mãn điều
kiện m



x =
4
3
+ Nếu m

0 .Lập biệt số
/

= (m 2)
2
m(m-3)
= m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/

< 0

- m + 4 < 0

m > 4 : (1) vô nghiệm
/

= 0

- m + 4 = 0

=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1
0

m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3
2. (1) có nghiệm trái dấu

03
0
03
m
m
m
m












>
<



<
>
0
3
0
3




0

0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -
4
9



=
=
9
7
3
2
1
x
x
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x
2
=
9
7
(Nh
phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

34
- 3 =
9
7
Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3
=


=

m
m
=> x
2


/

= 0

k
2
(2 5k) = 0

k
2
+ 5k 2 = 0 ( có

= 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335
; k
2
=
2
335 +
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335
hoặc k

2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)

2
= -
2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49
=

=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 19
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/



0 .Cách giải là:

= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có

= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập về pt bậc hai
B ài 1 : Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Không
giải phơng trình, hãy tính:
1) x
1
2
+ x
2
2
2)
1 1 2 2
x x x x+

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 4 : Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2

+ x
2
3
.
B ài 7 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3


0.
B ài 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0

<0
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 20
ễN THI TUYN SINH VO LP 10





<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2

. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m
thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của
hình chữ nhật ban đầu.
B ài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng
từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa
trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
B ài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính
vận tốc mỗi xe.
B ài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân
là nh nhau.
B ài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem
rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình
thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
B ài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km
B ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi
xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi,
vận tốc dòng nớc là 3km/h.
B ài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ
A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe
đạp
B ài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế.
Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 21
ễN THI TUYN SINH VO LP 10

tổ một.
Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và
gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h
và vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.
Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã
bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số
thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn.
ôn tập hình học 9
Phần 1 : hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn
tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 22
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc ( O ;
R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R

bán kính đI qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này
cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo
bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một
điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
GV biờn son: NGUYN MINH NHT Trang 23
ễN THI TUYN SINH VO LP 10
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng
nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với
dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và
chỉ khi nó gần tâm hơn .
II. Góc trong đ ờng tròn:
1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

ễN THI TUYN SINH VO LP 10
6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh
MBOE
2
1
=
.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
13. 13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14. Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15. Chứng minh góc ABF = góc AON.
16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự
tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
1. Chứng minh AI vuông góc với BC.
2. Chứng minh góc IDE = góc IAE.
3. Chứng minh : AE . EC = BE . EI.
4. Cho góc BAC = 60
0
. Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D , AO
kéo dài cắt (O) tại E.
a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của