21
Chương 2

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT SAI SỐ
I. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ CÁC DẠNG ĐO
Đo 1 đại lượng là quá trình so sánh đại lượng cần đo với đại lượng cùng
loại được chọn làm đơn vị.
- Đo trực tiếp: Là phép đo cho ngay giá trị bằng số của đại lượng cần đo.
Ví dụ: đo chiều dài một đoạn thẳng bằng thước thép, đo một góc bằng thước
đo độ.
- Đo gián tiếp: Là giá trị của một
đại lượng cần đo được tính toán dựa vào
giá trị của đại lượng đo trực tiếp .
Ví dụ: Muốn đo diện tích hình tam giác ta đo trực tiếp hai đại lượng là
cạnh đáy và chiều cao.
- Đo cùng độ chính xác và đo không cùng độ chính xác: Nếu kết quả đo nhận
được trong cùng một điều kiện thì khi đó gọi là cùng độ chính xác, còn kết quả đo
được trong điều ki
ện đo khác nhau thì kết quả đo đó sẽ không cùng độ chính xác.
* Các điều kiện đo là: Cùng một người đo, cùng một phương pháp đo,
cùng số lần đo, cùng một loại máy đo hoặc nếu khác loại máy nhưng có cùng độ
chính xác, cùng điều kiện ngọai cảnh giống nhau.
- Đại lượng đo: Là chiều dài một cạnh, độ lớn một góc.
- Kết quả đo: Là trị
số nào đó đo được của đại lượng đo.
- Đại lượng đo cần thiết và đại lượng đo thừa.
Để xác định một đại lượng nào đó ta chỉ cần đo một số đại lượng tối thiểu,
số đại lượng tối thiểu gọi là số đại lượng cần thiết.
Ngoài số đại lượng cần thiết ta đ
o thừa một số đại lượng, đại lượng đo thừa
có tác dụng kiểm tra và nâng cao độ chính xác kết quả cần tìm.

đổi theo một quy luậ
t nào đó.
Ví dụ: Dùng thước thép đo chiều dài, thước có chiều dài ngắn hơn chiều
dài tiêu chuẩn 1 cm. Như vậy đo một đoạn thẳng mỗi lần đặt thước sẽ phạm phải
sai số là -1 cm, nếu đặt thước 5 lần mới hết chiều dài đoạn thẳng thì kết quả
nhận được của phép đo có sai số là: 5.(-1) = -5cm. Khi đã biết sai số hệ thống ta
có thể loại trừ sai số này.
II.2.3. Sai số ngẫu nhiên (SSNN)
+ SSNN là sai số xuất hiện có trị số và dấu không theo một quy luật nhất định.
+ SSNN không thể loại bỏ mà chỉ làm giảm bớt bằng cách sử dụng máy tốt,
phương pháp đo và tính toán hoàn chỉnh.
Lý thuyết của toán xác xuất đã chứng minh được 4 tính chất đặc biệt của
SSNN là:
+ Trị số tuyệt đối của SSNN không vượt quá một giớ
i hạn nhất định. Trị số
giới hạn này phụ thuộc vào điều kiện đo và phương pháp đo.
+ Những SSNN có trị số tuyệt đối nhỏ thường xuất hiện nhiều hơn SSNN
có trị số tuyệt lớn.
+ Những SSNN có dấu dương (+) và SSNN có dấu âm(-) thường xuất hiện
với số lần và độ lớn ngang nhau khi số lần đo khá lớn.
+ Trị trung bình c
ộng của SSNN sẽ tiến tới “0” khi số lần đo tăng lên vô hạn.

(2-2)

Trong sai số dùng dấu tổng Gauss [ ] thay dấu ∑
[
]
0=
Δ

4
= +1
Tổ 2: Δ
1
= +5; Δ
2
= -4; Δ
3
= -3; Δ
4
= +4
Hãy dùng sai số trung bình cộng để đánh giá xem tổ nào đo chính xác hơn?
So sánh thấy θ
1
= θ
2
như vậy 2 tổ đo có độ chính xác ngang nhau. Nhưng
thực tế ta thấy biến động sai số của tổ 1 lớn hơn (từ -5 đến +7).
Biến động sai số của tổ 2 nhỏ hơn (từ -4 đến +5) nên ta thấy sai số trung
bình cộng chưa đánh giá được độ biến động của sai số thực.
III.2. Sai số trung phương (do nhà Bác học Gauss đề xuất)

III.2.1. Sai số trung phương (SSTP) là căn bậc hai số trung bình cộng
của tổng bình phương các sai số thực trong dãy đo, nghĩa là:

(2-4)


4
16
4
4345
2
==
++−+−++
=
θ
[
]
nn
m
n
22
2
2
1
2
Δ
±=
Δ++Δ+Δ
=
24

III.2.2. Ví dụ
Cũng theo ví dụ trên dùng sai số trung phương để đánh giá ta có:

phân số có tử số là 1 gọi là sai số tương đối ký hiệu là:

(2-6)
Trong đó : m
x
- là sai số tuyệt đối.
L - là trị trung bình cộng.
T - là mẫu số của sai số tương đối làm tròn đến hàng chục, hàng
trăm, hàng nghìn nếu giá trị tương ứng của nó biểu thị trăm, nghìn, vạn.
- Ví dụ: Độ dài đoạn thẳng tính được trung bình là L = 196m, với sai số trung
58,4
4
84
1
±=±=m 06,4
4
66
2
±=±=m
x
x
mLL
m
T /
11
==
25
phương là m
S
= 0,25m, hãy tính sai số tương đối của đoạn thẳng đó ?


(2-10)
………….
ΔZ
n
= kΔx
n

Bình phương hai vế của (2-10) rồi lấy tổng sẽ được:
[ΔZ
2
] = k
2
[Δ
2
x] (2-11)
Chia hai vế của (2-11) cho n được:
(2-12)

Theo (2-4) có thể viết (2-12) ở dạng SSTP của hàm và biến:
m
2
2
= K
2
m
2
x

hoặc m

X
k
n
Z
2
2
2
Δ
=
Δ
780
1
25,0/196
1
196
25,01
====
L
m
T
'
'
;
"
"
ρρ
ββ
mm
26
Trong đó: k

+ Δx
1
) + k
2
(x
2
+ Δx
2
) + c (2-16)
Từ (2-15) và (2-16) ta rút ra:
ΔZ = k
1
Δx
1
+ k
2
Δx
2
(2-17)
Bình phương hai vế của (2-17) ta có:
ΔZ
2
= k
2
1
Δ
2
x
1
+ k

, nghĩa là:
m
2
Z
= k
2
1
m
2
x
1
+ k
2
2
m
2
x
2

hay
(2-20)
Công thức (2-20) của hàm 2 biến có thể mở rộng cho hàm n biến, SSTP hàm
(2-14) là:
(2-21)

Khi đo cùng độ chính xác thì SSTP của các biến số bằng nhau và khi
k
1
= k
2

n
Z
21
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
ΔΔ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
2
2
2
2
1
2
1
2
xx

.
12
= ±30
’’
.
12
= ± 1
’
44
’’2.4.3. Hàm có dạng tổng quát:
Z = f (x
1
, x
2
,…, x
n
) (2-23)
Trong đó: Z - là hàm số.
x
1
, x
2
,…, x
n
- là những đại lượng do độc lập.
Khi các biến số có sai số
Δx

n
n
n
X
X
X
X
X
f
X
X
f
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂

2
2
1
1
(2-25)
Từ (2-23) và (2-25) rút ra:

ΔZ =

2
,…,k
n
khi đó (2-26) viết
lại là:

ΔZ = k
1
Δx
1
+ k
2
Δx
2
+,…. k
n
Δx
n
(2-27)
Chuyển quan hệ sai số thực của (2-27) về quan hệ SSTP, sẽ được:
hay:
n
n
n
Z
X
X

→=
∂
∂
=
∂
∂
→ a
b
S
b
a
S
; m
S
=
22
).().( mb
b
S
ma
a
S
∂
∂
+
∂
∂
= ±3,2 m
2


i
i
m
m
P
2
2
=
n
n
i
i
m
m
P
m
m
P
m
m
P
m
m
P
2
2
2
2
2
2

P
2
2
=
,
1
2
2
1
m
m
P
i
=
1
2
2
==
i
i
i
m
m
P
i
i
m
P
2
2

1
, P
2
,…,P
n
vẫn không đổi, vì:

Không phụ thuộc vào trị số m V.1.2. Trọng số đơn vị
Để so sánh độ chính xác, thường thay m bằng SSTP của một trị nào đó, ví
dụ lấy m = m
i
thì công thức (2-30) có dạng:

Trọng số: (2-32)

Gọi là trọng số đơn vị, và m
i
là sai số trung phương có trọng số đơn vị , để
tổng quát thường ký hiệu sai số trung phương có trọng số đơn vị là
μ.
Vậy: (2-33)

trong đó:
μ = C (2-33’)
Tức là khi ta có hệ số trọng số C, ta có thể tính sai số trung phương đơn vị
2
1


Giả sử có một đoạn thẳng đo được chiều là S
i
, ta coi mỗi đơn vị chiều dài
được đo với độ chính xác như nhau và cũng có SSTP là
μ thì ta có SSTP đo
chiều dài mỗi đoạn là: m
i
= μ Si
Nếu chọn trong số của mỗi đơn vị dài làm đơn vị trọng số của chiều dài mỗi
đoạn: Nếu chọn trọng số C đơn vị dài là đơn vị trọng số thì: Vậy trong đo chiều dài trực tiếp bằng thước thép, trọng số của chiều dài
đoạn thẳng sẽ tỷ lệ nghịch với chiều dài của chính nó.
V.2.3. Xác định trọng số của góc định hướng của cạnh bất kỳ trong
đường chuyền
Có một đường chuyền như
hình vẽ:
α
o
là góc định hướng
cạnh đầu không có sai số.
βi (i = 1,2,3,…,n) là các
K
C
P =

α
n
β
2
β
1
A
B
1
n
α
0
Hình 2-2
30
góc đo cùng độ chính xác có sai số trung phương là m
β
”.
Góc định hướng cạnh thứ n tính theo công thức:

α
n
= α
0
+ β
1
+β
2
…+β
n
– n. 180

1
, l
2
…l
n
trong
trường hợp này lý thuyết sai số đo đạc đã chứng minh được trị số trung bình cộng
tính từ kết quả đo là số đáng tin cậy nhất ký hiệu là L và được tính theo công thức.

(2-39)

Ta có thể tính L theo cách thứ 2:
Nếu ta chọn một trị số lo gần đúng đối với các kết quả đo,
ε là chênh lệch
giữa các kết quả đo và Lo, ta có:

ε
i
= li – lo → li = lo + ε
i

Với n lần đo thì : [l] = n.l
0
+[ε]
Chia hai vế cho n được:

n
nm
m
P

ε
+=
0
31
Suy ra:
(2-40)
Ví dụ: Một cạnh đo được 4 lần được kết quả đo là 120,35 m, 120,30m,
120,45m, 120,38m, Tính trị số trung bình cộng của các cạnh đó

Số trung bình cộng có tính chất là:
- Khi số lần đo tăng lên vô hạn, số trung bình cộng sẽ tiến dần đến số thực.
- Tổng đại số các số chênh lệch của mỗi lần đo ứng với số trung bình cộng
bằng 0.
VI.2. Sai số trung phương của trị số trung bình cộng
Từ công thức:
L =
n
l
n
l
n
l
n
1

1
(.)
1
( +++
( 2-41)
Nếu đo cùng độ chính xác thì m
1
= m
2
=…. = m
n
= m , ta có:
M =
n
m
(2-42)
VI.3. Sai số trung phương 1 lần đo và sai số trung phương của trị
trung bình cộng tính theo hiệu số hiệu chỉnh xác suất nhất
VI.3.1. Số hiệu chỉnh xác suất của đại lượng đo
Giả sử có một dãy các kết quả đo cùng độ chính xác là l
1
, l
2
, l
3
,…, l
n
của
một đại lượng đo. Trị số trung bình cộng của trị đo này là L, thì số hiệu chỉnh
xác suất nhất là V là hiệu số giữa trị trung bình cộng và các trị đo, ta có:

=+=
+
+
+
+=+=
ε
32

Vi = L – li (2-43)
Lý thuyết sai số đo đạc đã chứng minh được tính chất của số hiệu chỉnh xác
suất nhất là:
- Tổng số hiệu chỉnh xác suất nhất bằng 0, nghĩa là [V] = 0
- Tổng bình phương chênh lệch của số trung bình với mỗi lần đo riêng biệt
là một giá trị nhỏ nhất so với tổng bình phương độ chênh lệch của trị đo bất k
ỳ
với mỗi lần đo riêng biệt, nghĩa là [VV] = min
VI.3.2. Sai số trung phương 1 lần đo tính theo số hiệu chỉnh xác suất nhất

Trên cơ sở biết số trung bình cộng L, Bessen đã đề xuất công thức tính sai
số trung phương của một lần đo theo số hiệu chỉnh xác suất nhất là:

1
][
−
±=
n
VV
m
(2-44)
VI.3.3. Công thức tính sai số trung phương của trị trung bình cộng tính

4
5
6

[β]
147.45.18,5
147.45.20,7
147.45.21,4
147.45.18,1
147.45.20,5
147.45.22,3

886.32.01,5
+ 1,7
- 0,5
- 1,2
+ 2,1
- 0,3
- 2,1
- 0,3
2,89
0,25
1,44
4,41
0.09
4,41
13,49
L =
2,20.45.147
6
VII. BÌNH SAI TRỰC TIẾP KẾT QUẢ ĐO KHÔNG CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC
CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG
VII.1. Số trung bình cộng tổng quát
Giả sử có n nhóm đo cùng độ chính xác, số lần đo mỗi nhóm là
P
1
, P
2
…, P
n,
, tổng kết quả đo của mỗi nhóm là ∑
1
, ∑
2
,…, ∑
n
. Như vậy ta có trị số
trung bình cộng kết quả đo của mỗi nhóm là:
Khi đó các trị số l
1
, l
2,
… l
n
lại các trị đo không cùng độ chính xác vì chúng
nhận được từ số lần đo P
1
, P

+
=
++
∑
+
∑
+
∑

Vậy: L
0
=
][
][
p
lP
(2-46)
L
0
- gọi là số trung bình cộng tổng quát.
Để tiện trong tính toán, sử dụng công thức:
L
0
= l
0
+
][
][
p
P

0
P
M
μ
= =
][P
μ
(2-47)
VII.3. Sai số trung phương đơn vị trọng số và sai số trung phương của
số trung phương của số trung bình cộng tổng quát theo số hiệu chỉnh xác
n
n
n
P
l
P
l
P
l
∑
=
∑
=
∑
= ; ;;
2
2
2
1
1

VII.3.3. Sai số trung phương của trị trung bình cộng tổng quát theo số
hiệu chỉnh xác suất nhất
M
0
=
][P
μ
= ±
)1]([
][
−nP
PVV
(2-49)
VII.3.4. Ví dụ

Cho dãy kết quả đo không cùng độ chính xác như bảng 2-2
Hãy tính sai số trung bình cộng tổng quát và sai số trung phương của nó ?
Bảng 2-2:

TT

Giá trị góc đo
l (độ, phút,
giây)
SSTP
1 lần đo
(m
β
”)
Trọng số

2
5
5
4
1
25
4
4
+ 8
’’

+16
+ 3
+ 1
+12
+ 32
’’

+ 16
+ 75
+ 4
+ 48
-3
’’
4
-11,4
+1,6
+3.6
-7,4
-13,6

10
’’
+ 175
’’
/38 = 134
0
15
’
14
’’
,6

μ = ±
1
][
−n
PVV
=
15
511
−
= ± 11
’’
3
M
0
=
][P
μ
= 11

VIII.3. Làm tròn số trong phép nhân và phép chia
Khi thực hiện phép nhân và phép chia ta lấy số nào có ít số lẻ sau dấu phẩy
nhất làm chuẩn, còn các số khác lấy nhiều hơn số đó một số l
ẻ, kể cả kết quả
phép tính.
Ví dụ: 97,425 x 1,2 thì ta có:
97,42 x 1,2 = 116,904
Kết quả lấy là: 116,90