CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Tìm nghiệm gần đúng của một phương trình phi tuyến bất kì là một công việc khá là dễ dàng đối với
nhiều loại máy tính bỏ túi hiện đại ngày nay. Nhưng bạn tự hỏi tại sao máy tính có thể làm được điều
này? Thực ra đó là nhờ những thuật toán tìm nghiệm mà người ta đã lập trình từ trước. Sau đây, tôi
xin giới thiệu một số phương pháp như vậy!
1-Phương pháp chia đôi khoảng chứa nghiệm.
a) Nội dung phương pháp: Giả sử
( )f x
là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và
( ). ( ) 0f a f b <
thì khi đó
phương trình
( ) 0f x =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a; b).
 Nếu
0
2
a b
f
+
 
=
 ÷
 
thì
2
a b
x
+
=
là một nghiệm của phương trình

. Gọi khoảng
mới chứa nghiệm là
( )
1 1
;a b
(với
( ) ( )
1 1
. 0f a f b <
). Lại chia đôi khoảng nghiệm và tính
( )
1
f x
với
1 1
1
2
a b
x
+
=
.
Cứ tiếp tục quá trình trên đi đến bước thứ n nào đó mà
0
2
n n
a b
f
+
 

2
n n
n
b a
b a
−
− =
.
b) Chứng minh:
Ta có: dãy {a
n
} là dãy đơn điệu tăng bị chặn trên bởi b và dãy {b
n
} là dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới
bởi a.
Do
2
n n
n
b a
b a
−
− =
nên
( )
lim lim 0 lim lim lim
2 2
n n
n n n n
n

f x f a f b f x
→+∞ →+∞
= ≤ ⇒ =
hay
x
là nghiệm của pt
( ) 0f x =
.
2-Phương pháp lặp:
a) Nội dung phương pháp:
Giả sử pt
( ) 0f x =
có nghiệm trong khoảng (a; b). Ta tiến hành giải bằng phương pháp lặp gồm các
bươc sau đây:
B1: Đưa phương trình
( ) 0f x =
về phương trình
( )x g x=
.
B2: Chọn
( )
0
;x a b∈
làm nghiệm ban đầu.
B3: Nếu
'( ) 1g x <
với
( )
;x a b∀ ∈
thì dãy lặp

( )
( )
1 0
x x g x g x− = −
.
Theo định lý Lagrange thì
( )
0
;c x x∃ ∈
sao cho
( )
( ) ( )
1 0 0
'( )x x g x g x g c x x− = − = −
.
Suy ra :
( )
( )
1 0 0
'( ) '( ) 1x x g c x x q x x g c q− = − ≤ − ≤ <
.
1
Tương tự, ta có:
2
2 1 0
x x q x x q x x− ≤ − = −

3
3 2 0
x x q x x q x x− ≤ − = −

( ) ( )
( ) ( )
1
n n
n n
n
f x b x
x x
f b f x
+
−
= −
−
với
( )
0
;x a b∈
. Ta có ngiệm của phương trình là
1

n n
x x x
+
= = =
b) Chứng minh:
Áp dụng định lý trung bình Lagrange, ta có:
( ) ( )
( ) ( )
'( )
n n n

n
x x−
hội tụ.
4) Phương pháp tiếp tuyến ( Phương pháp Newton)
a) Nội dung phương pháp:
Giả sử (a; b) là khoảng li nghiệm. Ta thay cung của đồ thị
( )y f x=
trên đoạn [a; b] bằng tiếp tuyến tại
điểm
( )
( )
;A a f a
hoặc điểm
( )
( )
;B b f b
. Khi đó các giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm
gần đúng của phương trình
( ) 0f x =
.
Để tìm nghiệm, ta tiến hành thực hiện dãy lặp sau:
( )
( )
1
'
n
n n
n
f x
x x

f a f a x a x a
f a f a
−
− = − ⇒ = = −
.
Tương tự với tiếp tuyến tại
( )
( )
;B b f b
, ta có:
( )
'( )
f b
x b
f b
= −
.
Vậy với 1 điểm
( )
0
;x a b∈
, ta có:
( ) ( ) ( )
0 1
1 0 2 1 1
0 1
; ; ; (*)
'( ) '( ) '( )
n
n n

f x
= − ⇒ =
hay
%
x x=
là nghiệm của nghiệm của phương trình.
Ứng dụng phương pháp:
Thí dụ: Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình
5
35 32 17 0 (*)x x+ − =
.
Lời giải:
2
Cách 1: Sử dụng phương pháp lặp.
Đặt
5
( ) 35 32 17f x x x= + −
, có
4
'( ) 175 32 0,f x x x= + > ∀
nên
( )
f x
đồng biến trên
¡
.
Mặt khác
( ) ( )
0 17 ; 0,5 0.09375f f= − ≈


hội tụ.
Cho
0
0.25x =
và tiến hành lặp ta đi đến kết quả là :
0,497811736x ≈
.
Cách 2: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến.
Ta tiến hành thực hiện dãy lặp:
( )
1
'( )
n
n n
n
f x
x x
f x
+
= −
hay
5
1
4
35 32 17
175 32
n n
x x
x x
x

Email: 3