Các công thức xác suất
1.1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các
biến cố
1.1.1 Xác suất điều kiện
Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất
của biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra?
Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu A
và B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0.
Trường hợp khác, nếu thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất của nó bằng 1.
Vấn đề còn lại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức cho
A) thì khi đó P(A) được xác định thế nào. Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử
dụng cho trường hợp này.
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian xác suất (W, , P) và B với P(B) > 0. Khi
đó với biến cố A bất kỳ, xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B
đã xảy ra, ký hiệu được xác định bởi Dễ chứng minh được nếu B với P(B) > 0 thì là một độ đo xác
xuất. Từ đó ta nhận được
Tính chất 1.1.2.
* .
*
* .
*

Ví dụ 1.1.3. Một hộp có 6 chiếc bút xanh; 5 bút đỏ và 9 bút đen. Chọn ngẫu nhiên
ra 1 chiếc bút thì thấy đó không phải là bút đen. Tính xác suất để bút chọn ra là bút
xanh.
Giải. Đặt A là biến cố “Chọn được bút xanh” và B là biến cố “chọn được bút
không phải là bút đen”. Ta cần tìm Do AB = A nên


Từ định nghĩa trên dễ suy ra các kết quả sau
 Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi
hoặc
 Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi độc lập hoặc
là độc lập hoặc là độc lập.
Định nghĩa 1.1.7. Dãy n biến cố B
1
, B
2
, , B
n
được gọi là
* Độc lập từng đôi nếu
P(B
i
B
j
) = P(B
i
) . P(B
j
) với mọi i j; i, j =
* Độc lập trong toàn thể nếu với bất kì 1 i
1
<i
2
<…< i
r
n; r = 2, 3,…, n thì



nên A và BC không độc lập.
Ví dụ 1.1.10. Ba xạ thủ, mỗi người độc lập bắn 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu.
Xác suất bắn trúng đích của mỗi người tương ứng là 0,8; 0,75 và 0,7. Tính xác
suất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu.
Giải. Ký hiệu A
i
là biến cố ”người thứ i bắn trúng”, i = 1, 2, 3 và A là biến cố ” có
đúng một người bắn trúng mục tiêu”. Ta có = 0,8.0,25.0,3 + 0,75.0,2.0,3 + 0,7.0,2.0,25 = 0,14
1.2. Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes
1.2.1 Công thức xác suất toàn phần
Giả sử A
1
, A
2
, , A
n
là một hệ đầy đủ các biến cố và P(A
i
) > 0 với mọi i = 1, 2, ,
n. Khi đó với mọi biến cố A bất kỳ ta luôn có

Từ đó,