1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
0



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)







x
y
lim'y
0
x






- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a
và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

1
)x('f
1
)y()'f(
1
1



Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x

)’ = x
-1
(a
x
)’ = a
x
lna
(e
x
)’ = e
x
a
ln
x

1
1
)'x(arccos


2
x
1
1
)'arctgx(


2
x
1
1
)'gxcotarc(


6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx





n
0
k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
Ví dụ: Cho y = x

(  R, x > 0), y = ke
x
, tìm y
(n)
8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv

dx) được gọi là vi phân
cấp n của hàm số f.
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c)
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
)c('f
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f



Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả
vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại

0
sao cho:
1n
0
)1n(
n
0
0
)n(
2
0
0
0
0
0
)xx(
)!1n(
)c(f
)xx(
!n
)x(f)xx(
!2
)
x
(
"
f



Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:



n
0
k
k
0
0
k
n
)xx(
!k
)x(f
)x(
P
Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
1
n
)
1

)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x




L
)x('g
)
x
(
'
f
lim
)x('g
)
x
(


)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x







)
x
(
g
lim
)
x
(



3
0x
x
x
sin
x
lim


x
1
arctgx
2
lim
x



Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
gxcot
x
ln
lim
0x 
n
x
x
x

1
(lim
2
/
x



3. Dạng vô định: 0
0
, 1

, 
0
:
Ta xét [f(x)]
g(x)
= e
g(x).ln f(x)
(f(x) > 0)
Ví dụ:
2
x
0
x
xlim


x1
2

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x
0
và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.
Ví dụ: Hàm số y = x
3
, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số
không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0)
không tồn tại.
19
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện
sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0
được gọi là điểm dừng của f.
20
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x
0
a) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ dương
sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x

trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm).
22
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]
23
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Biến kinh tế:
Q Quantity Sản lượng
Q
S
Quantity Supplied Lượng cung
Q
D
Quantity Demanded Lượng cầu
P Price Giá cả
C Cost Chi phí
TC Total Cost Tổng chi phí
R Revenue Doanh thu
TR Total Revenue Tổng doanh thu
P
r
Profit Lợi nhuận
K Capital Tư bản
L Labour Lao động
FC Fix Cost Định phí

Q
