ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ
MÔN TOÁN CAO CẤP C2 ĐẠI HỌC
(
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
)
GVHD: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Lớp học phần:……………………… Khoa:……………
Học kỳ:………Năm học:…………
Danh sách nhóm:
1. Nguyễn Văn A
2. Lê Thị B
………
HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY
1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu).
2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó.
3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo:
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.
2. Khoa Toán Thống kê – Giáo trình Đại số tuyến tính – ĐH Kinh tế TP.HCM.
3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM.
4. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
5. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
17*. Từ câu 196 đến câu 208.
18*. Từ câu 209 đến câu 211.
19*. Từ câu 212 đến câu 228.
20*. Từ câu 229 đến câu 240.
21*. Câu 241.
22*. Từ câu 242 đến câu 249.
23*. Từ câu 250 đến câu 253.
24*. Câu 254.
25*. Câu 255, 256.
26*. Từ câu 257 đến câu 261.
27*. Câu 262, 263.
28*. Câu 264, 265.
• Cách ch
ọn bài tập như sau:
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 2
1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 16 câu trong các dạng có dấu “*”, không được chọn 2 câu
trong cùng 1 dạng. Câu có nhiều câu nhỏ thì chỉ làm 1 câu nhỏ. VD. Chọn câu 108. 3).
2) Nhóm có từ 2 đến tối đa 5 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng
thêm phải chọn làm thêm 10 câu trong 28 dạng liệt kê ở trên.
VD. Nhóm có 4 sinh viên thì số bài tập sẽ là: 16 + 10.3 = 46 câu.
3) Sinh viên tự đọc bài đọc thêm (phần cuối cùng) và làm thêm như sau:
a) Nhóm có từ 1 đến 2 sinh viên phải chọn làm thêm 3 câu trong phần Bài toán Kinh tế gồm: chọn
câu 1 hoặc 2; chọn câu 3 hoặc 4 hoặc 5; chọn câu 7 hoặc 8.
b) Nhóm có từ 3 đến 5 sinh viên phải làm hết 8 câu trong phần Bài toán Kinh tế.
………………………………………………………
ĐỀ BÀI TẬP
1 1 1 3
.
Câu 3. Tính các định thức
=
0 1 2 0
7 3 4 1
A
1 2 7 0
0 4 4 0
;
−
−
=
−
−
2 1 1 1
1 2 1 1
B
1 1 2 1
1 1 1 2
.
Câu 4. Tính các định thức
=
0 0 1 2
7 1 3 4
A
1 0 2 7
0 0 4 4
;
−
=
4 1 3 7
0 0 1 2
A
1 0 2 4
0 0 7 7
;
=
4 1 1 1
1 4 1 1
B
1 1 4 1
1 1 1 4
.
Câu 7. Tính các định thức
=
1 1 2 0
2 3 4 1
A
1 1 7 0
2 2 2 1
;
=
5 1 1 1
1 5 1 1
B
1 1 5 1
1 1 1 5
.
Câu 8. Tính các định thức
1 2 1 1
B
1 1 3 1
1 1 1 4
.
Câu 10. Tính các định thức
=
0 0 1 2
0 0 3 4
A
1 1 1 2
2 1 3 5
;
=
4 1 1 1
1 3 1 1
B
1 1 2 1
1 1 1 1
.
Câu 11. Tính các định thức
=
1 1 1 2
2 0 3 2
A
1 1 2 4
2 4 4 8
;
−
−
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ =
0
. Câu 14.
+
∆ = + −
+ + +
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ =
0
.
Câu 15.
+
∆ = + −
+ + +
m 8 7 6
m 1 m 2m 1
m 1 m 1 m 1
,
∆ ≥
0
. Câu 16.
∆ =
1 1 3
.
Câu 20.
∆ =
1 2 1
0 m 1
1 0 1
,
∆ >
0
. Câu 21.
∆ = +
+
1 2 m
2 5 m 1
3 7 m 2
,
∆ >
0
.
Câu 22.
+
∆ =
2 m 2 4
m m 0
1 2 m
,
∆ =
0
. Câu 23.
+
∆ = − + −
+ − −
2 2m 5 12
m 3 m 1 3m
m 3 m 1 3m
,
∆ >
0
. Câu 27.
+
∆ = +
2 2m 1 4
m 3 1 m
3 1 m
,
∆ >
0
.
Câu 28.
−
∆ =
m 0 2m m
1 m 1 m 0
1 1 0 0
m 0 0 0
,
∆ >
0
. Câu 29.
−
1 1 x 1
1 1 1 x
;
+
=
2
x 1 x 1 1
2 x 1 1
B
1 0 x 1
x 0 1 x
.
Câu 32. Tính det A,
=
.
Câu 34. Tính det A,
=
1 0 3 1 3 2 1 3 5
A 2 1 1 2 1 3 5 0 1
3 2 2 3 2 1 3 1 0
. Câu 35. Tính det A,
=
1 0 3 0 1 2 1 3 2
A 2 1 1 1 1 0 2 1 3
3 2 2 2 0 1 3 2 1
. Câu 37. Tính det A
T
,
=
1 0 3 1 3 2 1 3 5
A 2 1 1 2 1 3 5 0 1
3 2 2 3 2 1 3 1 0
. Câu 39. Tính det A
T
,
=
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
a b x a x b c a b c
a b x a x b c (1 x ) a b c
a b x a x b c a b c
.
Câu 41*. Tính các định thức cấp n:
=
a x x x
x a x x
A
x x x a
;
+
+
=
+
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 a a a
a 1 a a
B
a a 1 a
.
HD:
1 a b a a
1 a a b a
B
1 a a a b
(cấp n + 1).
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 5
Câu 43*. Tính các định thức:
=
x y y y
y x y y
A
y y y x
(cấp n);
=
1 2 n
2 n
1 n
1 2
1 x x x
1 a x x
1 x a x
B
1 x x a
(cấp n + 1).
. Câu 47. Giải phương trình:
− −
=
1 x 1 1
1 x 1 1
0
0 1 1 1
0 2 0 2
.
Câu 48. Giải phương trình:
− −
=
2
x x 1 1
1 x 1 1
0
1 1 1 1
1 0 1 1
. Câu 49. Giải phương trình:
=
x x 1 x
x 1 1 1
0
x x 2 1
x x 1 3
.
Câu 50. Giải phương trình:
=
x x 1 0
1 2 1 1
0 0 x 1 0
0
x 1 x x 2
0 0 x 1 x
.
Từ câu 54 đến câu 69 có câu hỏi chung là tìm hạng của ma trận A.
Câu 54.
=
1 3 5 7 9
2 4 6 9 10
A
3 5 7 9 11
4 6 8 10 12
. Câu 56.
=
=
1 1 1 1 3
1 2 1 1 3
A
2 0 1 2 3
4 0 2 4 7
. Câu 58.
−
−
=
− − −
1 2 3 4
2 4 9 6
A
1 2 5 3
1 2 6 3
. Câu 61.
=
2 3 3 1 5
4 4 6 2 10
A
8 6 12 4 20
10 8 15 5 26
.
Câu 63.
−
=
=
− −
−
2 1 1 2 1
3 1 0 2 1
A
7 1 2 2 1
13 1 2 2 1
. Câu 65.
− −
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 6
Câu 66.
−
−
=
−
−
−
1 1 1 2 2
2 1 0 4 2
A
4 1 2 8 2
7 9 8 14 18
.
Câu 68.
− −
−
=
2 1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
A
3 4 3 4 3 4
5 5 6 7 5 5
.
Từ câu 70 đến câu 83 có câu hỏi chung là tìm tham số m để ma trận A có hạng (r(A)) cụ thể (được chỉ ra trong từng câu).
2 3m 1 2 m 4
A
4 5m 1 m 4 2m 7
2 2m 2 4
, r(A) = 3. Câu 71.
− +
=
− + +
+
3 m 0 1
6 2m m 2
A
9 3m 0 m 2
15 5m 1 0 7
, r(A) = 2. Câu 73.
=
=
− + +
1 m 1 2
2 3m 1 m 2 m 3
A
4 5m 1 m 4 2m 7
2 2m 2 4
, r(A) = 2. Câu 75.
=
+
+
1 3 2 3
2 5 4 5
A
3 8 6 m 9
1 1 3 3
3 2 8 8
A
3 2 8 m 9
2 1 5 m 6
, r(A) = 2.
Câu 78.
−
− +
=
−
− −
− −
1 2 3 4
2 3 4 5
A
3 5 7 9
5 7 9 m
, r(A) = 2.
Câu 80.
−
=
−
−
1 2 3 4
2 3 4 5
A
3 5 7 m
5 7 9 m
, r(A) = 3.
3 5 7 m
5 7 9 m
, r(A) = 2. Câu 83.
+
=
+
− −
1 3
1 0 2 1 2
2 2
0 3 1 1 0
3 1
; b)
−
−
−
− −
−
− −
− −
− − −
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
0 1 1 3 2 1 0 1 1 0
1 0 1 2 1 3 1 1 1 1
. Câu 90. Tính:
− −
− −
− − − −
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
− −
T
1 3
1 0 2 1 2
2 2
0 3 1 1 0
3 1
. Câu 92. Tính:
−
1 2 3
3 2 1
3 2 1
1 3 0
0 1 2
.
Câu 93. Tính:
− −
− −
6
2 1
1 3
. Câu 96. Tính
− −
5
3 2
4 2
. Câu 97. Tính
)
2010
2
I A−
. Câu 99. Cho ma trận
=
−
0 0
A
1 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
.
Câu 100. Cho ma trận
0 1
A
0 0
, tính
(
)
2010
2
I A−
.
Câu 102. Cho ma trận
=
=
0 1 0 0
0 0 1 0
A
0 0 0 1
0 0 0 0
, tính AA
T
.
Câu 104. Cho ma trận vuông cấp 100:
(
)
=
ij
A a
, trong đó phần tử ở dòng thứ i là (–1)
2
.
Câu 107. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng:
1)
=
1 0 3
A 2 1 1
3 2 2
; 2)
=
1 3 2
C 2 1 3
3 2 1
; 4)
=
; 6)
2 1 0 2
2 2 1 0
F
0 2 2 1
1 0 2 2
=
.
Câu 108. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp ma trận phụ đại số (adjA):
1)
=
0 1 2
B 1 1 0
2 0 1
; 3)
=
1 3 2
C 2 1 3
=
− −
1 1 1 1
0 1 0 1 0 2 3 0
A
1 0 2 1 1 0 2 1
; 2)
1 1 1 1
0 2 3 0 0 1 0 1
B
1 0 2 1 1 0 2 1
− − − −
=
1 0 1 0 2 1 2 1
− − − −
=
− −
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 8
Từ câu 110 đến câu 119 có câu hỏi chung là tìm điều kiện của tham số m để ma trận A khả nghịch.
Câu 110.
+
+ +
m 1 1 3
A m 3 m 3 3
2m 2 m 3 3
.
Câu 112.
+ +
= +
3 1 m
A 2 3 1
7 7 2m 3
.
Câu 114.
−
= − −
− −
2 2 0
− −
= −
+ − −
3 2 3
A m 1 m 1
m 6 3 m 7
. Câu 117.
− −
= − −
− −
2 2 0
A m 1 m 1
1 3 m 1
. Câu 119.
m 1 2 m
A 0 m 1 3
m 0 m 1
−
1 2 3 4 5
4 6 8 9 10
A
5 8 11 13 16
10 16 22 26 m
; 2)
− − −
=
−
1 2 1 1 1
m 1 1 1 1
C
1 m 0 1 1
1 2 2 1 1
; 4)
Từ câu 121 đến câu 144 có câu hỏi chung là giải hệ phương trình tuyến tính.
Câu 121.
+ − =
+ − =
+ − =
x y z 2
2x y 3z 1
3x 2y 4x 3
. Câu 122.
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
3x 6y 2z 11
4x 9y 4z 17
x 3y z 5
. Câu 125.
+ + =
− + =
+ + =
+ − =
+ − =
5x 12y 12z 2
2x 5y 5z 1
3x 7y 7z 1.
. Câu 128.
− + =
− − =
− + =
x y 2z 1
3x 2y z 0
4x 3y z 2.
. Câu 129.
x y 2z 0
x y 4z 2
2x 2y 5z 0.
. Câu 131.
− − =
+ − =
+ − =
x y z 3
2x y 2z 0
5x y 5z 3.
. Câu 132.
− + =
5x 13y 7z 5.
. Câu 134.
− + =
− + =
− + =
x 3y 4z 1
2x 6y 8z 2
5x 15y 21z 5.
.
Câu 135.
− + =
− + =
Câu 137.
+ + + + =
+ + + − = −
+ + + =
+ + + − =
x y z t u 7
3x 2y z t 3u 2
y 2z 2t 6u 23
5x 4y 3z 3t u 12
. Câu 138.
+ − − + =
− + − + =
− + − + = −
2x 2y z t u 1
x 2y z t 2u 1
4x 10y 5z 5t 7u 1
2x 14y 7z 7t 11u 1
. Câu 140.
+ − + − =
− + − + =
+ − + − =
3x 2y z t 3u 0
y 2z 2t 6u 0
5x 4y 3z 3t u 0
. Câu 142.
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
2x y z t u 0
x y z t 2u 0
3x 3y 3z 3t 4u 0
4x 5y 5z 5t 7u 0
.
Câu 143.
+ − + − =
− + − + =
3x y 2z t u 0
2x y 7z 3t 5u 0
x 3y 2z 5t 7u 0
3x 2y 7z 5t 8u 0
.
Từ câu 145 đến câu 178 có câu hỏi chung là biện luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính theo tham số m.
Câu 145.
− + − =
+ =
+ + =
2 m 1 x m 10 y m
mx m 2 y 2m
. Câu 148.
α + α =
α − α =
x sin y cos m
x cos y sin 2m
(
α
cho trước).
Câu 149.
( )
+ =
+ + =
+ + =
m 1 x y m 2
x m 1 y 0
. Câu 152.
( )
+ =
+ + =
mx 2y 1
m 1 x 3y 1
.
Câu 153.
+ =
+ =
mx y m
+ + = +
2
m 1 x 6m 4 y 2m 4
x m 1 y m 4
. Câu 156.
(
)
− = + +
− + =
2
mx y 2m m 1
m 2 x y m
.
Câu 157.
+ − =
Câu 159.
+ + =
+ − =
+ + =
x y z 0
x 2y mz 1
2x 3y 2z 1.
. Câu 160.
+ − =
+ − =
+ + =
+ − = +
+ − =
4x 3y z 7
2x 4y 2z m 7
x 2y z 4.
.
Câu 163.
− + =
+ − =
− + =
3x y 2z 3
+ + + − = +
2x 3y z 1
4x (m 5)y (m 3)z m 1
8x (m 11)y (m 5)z m 4.
. Câu 166.
+ − =
+ + + − = +
+ + − = +
2x 3y z 1
4x (m 5)y (m 3)z m 1
8x 12y (m 4)z m 4.
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
+ + − =
2x 4y 2(7 m)z 4
2x 4y 5z 1
5x 10y (m 5)z 4.
.
Câu 169.
+ + =
+ + =
+ + =
2
mx y z 1
x my z m
x y mz m
. Câu 170.
2
(3m 1)x 2my (3m 1)z 1
2mx 2my (3m 1)z m
(m 1)x (m 1)y 2(m 1)z m
. Câu 172.
+ + =
+ + =
+ + =
2
x my m z 1
x 2y 4z 2
x 3y 9z 3
.
Câu 173.
− + + =
3x 7y 3z 3t 1
.
Câu 175.
− + − =
+ − + =
+ − =
+ =
x y 2z 2t 0
2x y z t 3
3x z t 3
5x y m
. Câu 176.
− + − + =
+ − + =
+ − + = +
2x y z t 1
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
4x 8y 4z 16t m 1
. Câu 178.
+ − + =
− + + =
+ − + =
+ − + = +
.
Câu 180.
x 2y z 2t m
x 7y 5z t m
− + + =
+ − − = −
và
x 2y z t m
3x 7y 3z 3t 1
+ − + =
+ − + =
2x y z t 3
− + − =
+ − + =
và
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
− + − + =
+ − − + =
.
Câu 183.
x y 2z 2t 0
5x y m
− + − =
và
x y z t u 1
3x y z 3t 4u 6
+ − − + =
+ + − + =
.
Câu 185.
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
+ − + =
+ − + =
và
2x y z 2t 4
x y 2z t m
+ − + =
.
Câu 187.
2x y z t 1
x 7y 4z 11t m
− + + =
+ − + =
và
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 188.
2x y z t 1
− + + =
+ − + = +
và
+ − + =
+ − + = +
+ − + =
x 2y z t m
2x 5y 2z 2t 2m 1
3x 7y 3z 3t 1
.
Câu 190.
2x y z t 3
− + − =
+ − + =
và
2x y z 2t 3u 3
x y z t u 1
3x y z 3t 4u 6
− + − + =
+ − − + =
+ + − + =
.
Câu 192.
Câu 193.
2x y z t 1
x 2y z 4t 2
x 7y 4z 11t m
− + + =
+ − + =
+ − + =
và
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
.
Câu 195.
x 7y 4z 11t m
4x 8y 4z 16t m 1
+ − + =
+ − + = +
và
2x y z 2t 4
2x 2y 2z t 3
x y 2z t m
+ − + =
+ − + =
+ − + =
Câu 210. Tìm điều kiện của tham số m để các vector sau độc lập tuyến tính:
1) u = (m + 1; 1; m + 1), v = (1; 1; 1), w = (2; 0; m + 2).
2) u = (m + 2; 3; 2), v = (1; m; 1), w = (m + 2; 2m + 1; m + 2).
3) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; 4; m), w = (m; 1; 0; 0).
4) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; 4; m), w = (m + 2; 1; 0; 0).
5) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; m; m), w = (m + 2; 1; 0; 0).
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 12
6) u = (2; 1; 1; m), v = (2; 1; –1; m), w = (10; 5; –1; 5m).
7) t = (2; 3; 1; 4), u = (3; 7; 5; 1), v = (8; 17; 11; m), w = (1; 4; 4; –3).
Câu 211. Tìm điều kiện của tham số m để các vector sau tạo thành một cơ sở của
3
ℝ
,
4
ℝ
:
1) u = (1; 2; m), v = (1; m; 0), w = (m; 1; 0).
2) u = (m; 1; 1), v = (1; m; 1), w = (1; 1; m).
3) u = (1; 2; 3), v = (m; 2m + 3; 3m + 3), w = (1; 4; 6).
4) u = (1; 2; m), v = (m; 2m + 3; 3m + 3), w = (4; 3m + 7; 5m + 3).
5) t = (3; 1; 2; m – 1), u = (0; 0; m; 0), v = (2; 1; 4; 0), w = (3; 2; 7; 0).
6) t = (1; 2; 3; 4), u = (2; 3; 4; 5), v = (3; 4; 5; 6), w = (4; 5; 6; m).
7) t = (2; 3; 1; 4), u = (3; 7; 5; 1), v = (8; 17; 11; m), w = (1; 4; 4; –3).
Câu 212. Tìm một cơ sở của không gian con W = <u, v, w> của
3
ℝ
:
t = (2; 2; 3; 4), u = (4; 4; 6; 8), v = (6; 6; 9; 12), w = (8; 8; 12; 16).
Câu 220. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (1; 2; 3; 4), u = (2; 0; 6; 0), v = (6; 6; 7; 0), w = (8; 0; 0; 0).
Câu 221. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (3; 1; 5; 7), u = (4; –1; –2; 2), v = (10; 1; 8; 17), w = (13; 2; 13; 24).
Câu 222. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (2; 3; 5; 7), u = (4; 1; 3; 2), v = (8; 7; 13; 16), w = (6; 4; 8; 9).
Câu 223. Tìm số chiều n = dimW và 1 cơ sở của không gian con W = <t, u, v, w> của
4
ℝ
:
t = (1; 1; 5; 7), u = (1; –1; –2; 2), v = (2; 2; 10; 17), w = (3; 3; 15; 24).
Câu 224. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
3
ℝ
có số chiều là 2:
u = (1; 3; 1), v = (1; m + 3; 3), w = (1; m + 6; m + 3).
Câu 225. Tìm tham số m để không gian con W = <u, v, w> của
4
Câu 237. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; –1; 1)} và ß’ = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 238. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1)} và ß’ = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 239. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; –1; 1)} và ß’ = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
Câu 240. Trong không gian
3
ℝ
, cho hai cơ sở ß = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} và ß’ = {(0; 0; 1), (1; –1; 0), (1; 1; 1)}.
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở ß sang ß’; b) Tìm tọa độ u = (2; 1; –1) trong hai cơ sở đó.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp C2 ĐH – 2011
Trang 13
Câu 241. Tìm một cơ sở của không gian con nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
1)
+ + =
x 2y 3z 0
. 3)
+ − =
+ − =
+ − =
5x 12y 12z 0
2x 5y 5z 0
3x 7y 7z 0
.
4)
− + =
− − =
+ + =
− − =
x y 2z 0
x y 4z 0
2x 2y 5z 0
.
7)
− − =
+ − =
+ − =
+ + =
x 3y 2z 0
x 5y z 0
3x 5y 8z 0
.
10)
− + =
+ − =
− + =
x 2y 7z 0
2x 3y 2z 0
2x y z 0
. 11)
x 2y z 3t 4u 0
2x 4y 2z t 5u 0
2x 4y 2z 4t 2u 0
.
Câu 242. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (0; x). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 1), (1; 0)}.
Câu 243. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x; 0). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 2), (1; 3)}.
Câu 244. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x – y; x). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 2), (1; 3)}.
Câu 245. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, định bởi f(x, y) = (x; x + y). Tìm ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 3), (1; 2)}.
Câu 246. Cho ánh xạ tuyến tính
1 2
3 4
. Tìm biểu thức của f.
Câu 248. Cho ánh xạ tuyến tính
→
2 2
f :
ℝ ℝ
, ma trận của f đối với cơ sở ß = {(1; 1), (–1;–2)} là
1 2
3 4
. Bằng cách đặt y
1
= x
1
,
〈 〉
= −
〈 〉
2 1
2 2 1
1 1
x , y
y x y
y , y
,
〈 〉 〈 〉
= − −
〈 〉 〈 〉
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
x , y x , y
y x y y
y , y y , y
(ký hiệu
〈 〉
,
là tích vô hướng). Tìm hệ trực giao hóa của hệ vector đã cho.
Câu 251. Trong
3
y , y y , y
(ký hiệu
〈 〉
,
là tích vô hướng). Tìm hệ trực giao hóa của hệ vector đã cho.
Câu 252. Trong
3
ℝ
cho hệ vector
{
}
= − = − =
1 2 3
x (1;0; 1), x (1; 1;0), x (1;1;1)
. Bằng cách đặt y
1
= x
1
,
〈 〉
= −
〈 〉
2 1
2 2 1
1 1
x , y
y x y
y , y
,
〈 〉 〈 〉
ℝ ℝ
, biết ma
trận của f trong cơ sở chính tắc là:
1)
−
−
− −
2 1 2
5 3 3
1 0 2
− −
− −
1 3 3
2 6 13
1 4 8
. 4)
−
−
−
1 3 4
4 7 8
6 7 7
. 6)
−
−
− −
1 4 8
4 7 4
8 4 1
. 8)
− −
− −
− −
−
1 4 2
A 3 4 0
3 1 3
. 2)
−
= −
− −
−
= −
−
1 3 3
A 3 5 3
6 6 4
. 5)
3 1 1
A 1 1 1
1 1 1
.
Câu 256. Tìm ma trận trực giao S làm chéo hóa ma trận A và xác định D = S
–1
AS, biết ma trận A là:
1)
− −
= −
3 1 1
A 1 3 1
1 1 3
. 3)
−
= −
1 1 5
. 5)
=
3 2 0
A 2 2 2
0 2 1
. 6)
−
f(x ,x , x ) 5x 5x 5x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− − −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 1 1 1 2 1
y ; ; , y ;0; , y ; ;
3 3 3 2 2 6 6 6
.
Câu 258. Đưa dạng toàn phương
= − − − + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 5x 5x 5x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1
y ;0; , y ; ; , y ; ;
2 2 6 6 6 3 3 3
.
Câu 260. Đưa dạng toàn phương
= + + + + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x ,x , x ) 8x 8x 8x 2x x 2x x 2x x
về dạng
chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao, với cơ sở trực chuẩn
− −
′ ′ ′
= = =
1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1
y ;0; , y ; ; , y ; ;
2 2 6 6 6 3 3 3
.
Câu 262. Xét dấu của các dạng toàn phương sau bằng cách dùng định thức con chính (định lý Sylvester):
1) f(x, y) = x
2
+ 26y
2
+ 10xy; 2) f(x, y) = – x
2
+ 2xy – 4y
2
;
3) f(x, y, z) = – 11x
2
– 6y
2
– 6z
2
+ 12xy – 12xz + 6yz; 4) f(x, y, z) = 9x
2
+ 6y
2
+ 12xy – 10xz – 2yz.
Câu 263. Tìm tham số m để dạng toàn phương sau:
1) f(x, y, z) = 2x
2
+ 6xy + 2xz – 6y
Trang 15
Câu 265. Tìm phép biến đổi trực giao đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. Viết dạng chính tắc đó và xác định dấu của
dạng toàn phương:
1)
= + −
2 2
1 2 1 2 1 2
f(x , x ) 27x 3x 10x x
; 2)
= + + + − +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 6x 3x 3x 4x x 8x x 4x x
;
3)
= + + − + −
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 2x 5x 2x 4x x 4x x 2x x
;
4)
= − + − +
2
1 2 3 2 1 2 2 3 1 3
f(x , x , x ) 3x 4x x 4x x 10x x
; 5)
= − + − + +
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
2 4
Q 5 4
3 2
=
.
a) Tính
T
Q P
và cho biết ý nghĩa từng phần tử của
T
Q P
3 1, 8
=
.
a) Tính
T
Q P
và cho biết ý nghĩa từng phần tử của
T
Q P
.
b) Tính các chỉ số giá Laspeyres và Paasche.
5P Q 6
= +
.
a) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.
b) Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 9 đơn vị tiền/đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết
người mua hay người bán phải trả thuế này?
Câu 6. Cho các hàm cung, hàm cầu của hai mặt hàng như sau:
1
D 1 2
Q 410 5P 2P
= − −
,
1
S 1
Q 3P 60
= −
;
2
D 1 2
Q 295 P 3P
= − −
,
2
S 2
Q 2P 120
= −
.
a) Hãy xác định giá cân bằng của hai mặt hàng trên.
b) Hãy cho biết hai mặt hàng trên có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau?
Câu 7. Xét một nền kinh tế có 3 ngành: công nghiệp, nông nghiệp và dịch vụ.
Copyright: Tài liệu đại học ©