Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:

( ) ( )
yxfZyx
RXRX
,,
22
=→
⊆→

X: tập xác định
Xét
( )
0 0
,f x y
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
/
0
0 0 0 0
/
0
, ,
lim
, ,
lim

′
=
∂
∂
=
∂
∂
là giới hạn
),(),(lim
0
yxfyxxf
x
−∆+
→∆
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
/ /
2 // 2 // // 2
2
x y
xx xy yy
dz z dx z dy
d z z dx z dxdy z dy
= +
= + +
Tổng quát:
f
yx
zd

z =
Giải:
Ta có:
/ / 2 3 2 3
// / 2 3 2 3
/// / 2 3 2 3
(2 3 ) 2
2(2 3 ) 4
4(2 3 ) 8
x y x y
x x
x y x y
xx x
x y x y
xxx x
z x y e e
z x y e e
z x y e e
+ +
+ +
+ +
= + =
= + =
= + =

⇒

yxnn
x
ez

( )
y y
y y
y y
yy y
y y
yyy y
y y
x
y x
z xe xe
z xe xe
z xe xe
z xe e
= =
= =
= =
⇒ = =

Câu 3 : Cho hàm số
( , ) ln
y
z f x y e x= =
Tính
2
(4)
?
yxy
z =
Giải:

x x
= =
= =
 
= =
 
 
 
= =
 
 

Câu 4: Cho hàm số
( , )
xy
z f x y e= =
Tính
5
5
?
x
z =
Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
5
/
/

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/
/
/
// 2
/
// 2
/
/
/
// 2
sin os
os sin
sin os sin
sin os
os sin

Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/
/
/
// 2
/
/// 2 3
/
/
os sin
sin cos
os sin
cos
2
os sin
cos

 
 
= = −
 
⇒ = +
 
 
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
2 4z x y
= +
Giải:
Ta có:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +
z = x
2
+ 4
y
z
/
x
= (x
2
+ 4
y
)
/
=


z =
( )
yx −ln

z
/
x
=
( )
/
ln
x
x y−
=
yx
yx
−
−
/
)(
=
( )
1
2
1
2( )
x y
x y
x y
−

−
−

1
2( )
dz dx
x y
⇒ =
−
dy
yx )(2
1
−
−

2( )
dx dy
x y
−
=
−
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số:
).( xyarcygz −=
Giải:
Ta có:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +
z =
( )arcyg y x−

1
1 ( )y x
=
+ −( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
dx dy dy dx
dz
y x y x y x
− −
⇒ = + =
+ − + − + −
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm:
2
2 sin( )z x xy xy= − +
Giải:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +
( )
/
2 2 .cos
x
Z x y y xy= − +
( )
/
2 .cos

y
z x x x x x
z y e
y
′ ′
= = =
′
=
′′
=
′′
=
′′
= +

2
2 2 2 2
2cos2 2 (1 2 )
y
d z xdx e y dy⇒ = + +
Câu 12: Cho hàm hai biến
yx
ez
2+
=
, tính
// // / /
?, ?, ?
xx yy xy
z z z= = =

yy
z x y e e
+ +
= + =

yxyx
x
eeyxz
22//
)2(
++
=+=

yxyx
xy
eeyxz
22///
.2)2(
++
=+=
Câu 1 3 : Tìm vi phân cấp hai
2
d z của hàm hai biến
lnz y x=
Trang 4
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
Giải:
Ta có:
2 // 2 // // 2
2

y
d z dx dxdy
x x
=
= −
=
=
=
⇒ = − +
Câu 1 4 : Tìm vi phân cấp hai
2
d z
của hàm hai biến
2 2
sinz x x y= +
Giải:
Ta có:
2 // 2 // // 2
2
xx xy yy
d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
/ 2
//
/ 2
//
//
2 2 2
2 sin
2
sin 2 sin 2

d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
/ 2
//
/ 2
//
//
2 2 2
2 sin
2
sin 2 sin 2
2 os2
2sin cos 2sin 2
2 2sin 2 2 os2
x
xx
y
yy
xy
Z x y
Z
Z y x y
Z xc y
Z y y y
d z dx ydxdy xc ydy
= +
=
= +
= −
= = −
⇒ = − −

xy
yy
yy
z x y y
z x y xy
z x y x y
d z y dx xy dxdy x ydy
= =
= =
= =
⇒ = + +
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D
⊆
R
2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết:
( ) ( ) ( )
; , , , ( )f a b f x y x y Q P≥ ∀ ∈
lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương
( ) ( )
; ,f a b f x y<
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng:
( )
;P a b






=
=

( , )
o o
I x y
được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
Tính
//////
,,
yyxyxx
zzz
Bước 3:
Trang 6
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
Đặt
( )
( )
ooyy
ooxy
ooxx
yxzC
yxzB
yxzA

o
,y
o
) là điểm cực tiểu
Với A<0
⇒
(x
o
,y
o
) là điểm cực đại
0=∆
dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận
1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số
( )
yx,
ϕ
Điểm (x
o
,y
o
) được gọi là điểm cực trị
của hàn số f(x,y) với điều kiện
( )
0, =
oo
yx
ϕ
nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và

( )









=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0;
0;;
0;;
oo
oooo
oooo
yx

( )
y y x=
. Thay
( )
y y x=
vào
( )
( )
,
x
f x y
ta được hàm một biến theo
x
Cách 2:
* Giải hệ (I) để tìm điểm dừng
( )
0 0
,x y
và
o
λ
*
( )
( )
( )




