Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ BỘ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC(CÓ L ỜI GIẢI )
Lo¹i 1. Biện luận theo k
1. sin (πcosx) = 1
2. cos(8sinx) = -1
3. tan(πcosx ) = cot(π sinx)
4. cos(πsinx) = cos(3πsinx)
5. tan(π cosx) = tan(2π cosx)
6. sinx
2
=
1
2
8. cot(x
2
+ 4x + 3) = cot6
9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos
22
)1(cos += xx
ππ
10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
sin
)2(sin
22
xxx
+=
ππ
11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos
0sin)2/12(

5
π
) = sin
2
(2x +
4
5
π
)
Lo¹i 3. Công thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x =
2
sin3x
2. cos3x – sinx =
3
(cosx –sin3x )
3.
05cos
2
1
5sin
2
3
)3
2
cos( =++− xxx
π
4. sin3x =
2
cos(x – π /5) + cos3x

5. Giải và biện luận
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x
6. Giải và biện luận
(3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải và biện luận
cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin
4
x + cos
4
x = m
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Giải pt với m = ¾
1
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
Lo¹i 5. Tổng hợp
1. cos
2
2x – sin
2
8x = sin(
x10
2
17
+
π
)
2. sin
2
3x – cos

của pt:
sin(2x +
)
2
7
cos(3)
2
5
ππ
−−
x
= 1 + 2sinx
6. Giải pt:
4sin
3
xcos3x +4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
7.
)
8
(cos2)
8
cos()
8
sin(32
2
πππ

xxx
π
D¹ng 2: Ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè
l îng gi¸c
1/
2cos2x - 4cosx =1
sinx 0





≥
2/ 4sin
3
x + 3
2
sin2x = 8sinx
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/
1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0





≥

5/ Cho 3sin
3

8/ sin(
5π
2x +
2
) - 3cos(
7
2
x
π
−
) = 1 + 2sinx
9/
2
sin x-2sinx + 2 = 2sinx -1
10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
11/ tanx + cotx = 4 12/
2 4
sin 2x +4cos 2x -1
= 0
2sinxcosx
13/
sin 1 cos 0x x
+ + =
14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
2
Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos2
0

2 2 2
2 2 3
sin x sin x sin x
3 3 2

ữ ữ


+ + + =
21.
( )
6 6 4 4
5
sin x cos x sin x co s x
6
+ = +
22.
6 6
1
2
sin x cos x sinxcosx 0+ + =
23.
4 4 4 4
4sin x co s x sin x cos 4x+ = +
24.
( )
24 4 2
1
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = +

1.
3cosx sinx 2 =
, 2.
cosx 3sinx 1
=
3
a.sinx b.cosx c+ =
Cách 1: asinx + bcosx = c
Đặt cosx=
2 2
a
a +b
; sinx=
2 2
b
a + b
2 2
a + b sin(x +) = c

Cách 2:
b
a sinx + cosx = c
a
Đặt
b
= tan a sinx +cosx.tan = c
a

4 4
1
sin x cos (x )
4 4

+ + =
5.
3(1 cos2 )
cos
2sin

=
x
x
x
, 6.
2
1
sin 2 sin
2
+ =x x

7.
1
3sinx +cosx =
cosx
8.
tan 3cot 4(sin 3cos )
= +
x x x x

15.
2
1+cosx +cos2x +cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos x +cosx-1 3
16.
cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
=
17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b.
1 cosx
y
sinx cosx 2

=
+ +
c.
2 cosx
y
sinx cosx 2
+
=
+

Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
Giải
phơng
trình

Đẳng cấp bậc 2: asin
2
x + bsinx.cosx + c cos
2
x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx

0, chia 2 vế cho cos
2
x ta đợc:
atan
2
x + btanx + c = d(tan
2
x + 1)
Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin
3
x + bcos
3
x + c(sinx + cosx) = 0
Hoặc asin
3
x + b.cos
3
x + csin
2
xcosx + dsinxcos
2
x = 0

x = 0
10. 4cos
3
x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11. 2cos
3
x = sin3x
12. cos
3
x - sin
3
x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
14. sin
3
(x -

/4) =
2
sinx
Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1)
3.
sin2x 2 sin x 1
4


(sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin
3
2x + cos
3
2

x =
3
2
sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos
4
x + sin
4
x - 2(1 - sin
2
xcos
2
x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12.
sin cos 4sin 2 1x x x
+ =
13. sinxcosx +
sinx + cosx
= 1
5
( )
( )
a sinx cosx b.sinxcosx c

2
- 2at + 2c b = 0
Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
14. cosx +
1
cosx
+ sinx +
1
sinx
=
10
3

Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phơng trình
1/ sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x 2/ cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos

2x + sin
2
4x = sin
2
6x 8/ sin
2
x = cos
2
2x + cos
2
3x
9/ (sin
2
2x + cos
4
2x - 1):
sinxcosx
= 0 10/ 2cos
2
2x + cos2x = 4 sin
2
2xcos
2
x
11/ sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3

2
2x+ cos
2
x với
x (0;)

18/ sin
2
4x - cos
2
6x = sin(
10,5 +10x
) với

x (0; )
2


19/ 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
x sin3x + 3
3
cos4x = 3
20/ cos4xsinx - sin
2
2x = 4sin
2
(

=(a

b)(a
2
m
ab + b
2
) * a
8
+ b
8
= ( a
4
+ b
4
)
2
- 2a
4
b
4
* a
4
- b
4
= ( a
2
+ b
2
)(a

; sin
2
x=
1-cos2x
2
Công thức hạ bậc 3 cos
3
x=
3cosx +cos3x
4
; sin
3
x=
3sinx -sin3x
4
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1. sin
4
2
x
+cos
4
2
x
=1-2sinx 2. cos
3
x-sin
3
x=cos

8 3 6
7. cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8
x + sin
8
x) 8. cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
9. cos
6
x + sin
6
x = cos4x
10. sinx + sin
2
x + sin
3
x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos

cos
2
x +
6
cosx = 0
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/
sin3 sin5
3 5
x x
=
9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx

10/ cos
8
x + sin
8
x = 2(cos
10
x + sin
10
x) +
5
4
cos2x
11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin

21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
7
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
24/ 2
2
π
sin(x + )
4
=
1 1
+
sinx cosx
25/ 2tanx + cotx =
2
3
sin 2x
+

26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
1. Tìm TXĐ của hàm số: a.
2 cos
sin 2
x
y
x
−
=
b. y =
xsin1

x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
2. tanx.sin
2
x−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin
2
x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin
3
x-4cos
3
x +3cosx)=sinx+cosx
ĐS:

sin
4
α
= −
.
6. sinx−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= +
.
HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin
3
x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π

k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +
10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈¢
11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK
1t ≤
, ta được: 2t

2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
13.Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải
Điều kiện:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


≠

x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈¢
14.Giải phương trình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2

.
9
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
15.Giải phương trình:
cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔

− = − ≤

10