Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức.
1.1. Phương pháp chung:
+) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện
nào đó và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức.
+) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có
thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất
các phép toán và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau chúng ta có thể biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.
+) Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn
phương pháp phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh.
+) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về
biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích.

1.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho
1
a c
b d
 
Với a, b, c, d

0.
Chứng minh rằng:
a c
a b c d

 

Đây không phải là bài toán khó đối với đa số học sinh, nhưng các
em sẽ lúng túng khi lựa chọn cách làm bài toán này. Có rất nhiều cách để
làm bài toán cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tôi xin được trình bày một số



a c d c a b
  a c
a b c d

 
(Đpcm).
Cách 3.
Có: ;
a c
m a mb c md
b d
    
Khi đó:
 
1 1
a mb mb m
a b mb b b m m
  
   
 
1 1
c md md m

. .
a d b c
a c
b d
 là đẳng thức
đúng
nên
a c
a b c d

 
là dẳng thức thức đúng.
Cách 5.
Có: 1 1
a c b d b d
b d a c a c
      



a b c d
a d
 


Suy ra:
a c

a a a c c
 
    
Suy ra:
a c
a b c d

 
(Đpcm).
Ví dụ 2. Cho
a c
b d
 . Chứng minh rằng:
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
 

 

Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Có thể sử
dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút đã:
Lời giải:
Có:
5 3 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3
a c a b a b a b a b
b d c d c d c d c d
 

ab
cd
từ tỉ lệ thức
bài cho. Chỉ cần gợi ý một chút xíu nữa là các em làm được ngay thôi!
Em hãy so sánh: . ; .
a a b b
c c d d
và
ab
cd
?
Bây giờ thì các em đã biết phải làm như thế nào rồi!
Lời giải:
Có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b a b ab a b
b d c d c d cd c d

      


Vậy:
2 2
2 2
a b ab
c d cd




 
 

 
 
 

Đã có bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi làm xuất
hiện điều phải chứng minh.
Lời giải:
a) Có:
a c
b d



a b a b
c d c d

 


Suy ra: . .
a b a b a b
c d c d c d
 

 

Hay:

     
 
     

     

Do đó:
3
3 3 3 3
3 3 3 3
a b a b a b
c d c d c d
 
 
  
 
 
 

Vậy:
3
3 3
3 3
a b a b
c d c d
 
 

 
 

a+5
b+6
=
a-5
b-6
=
(a+5)-(a-5)
(b+6)-(b-6)
=
(a+5)+(a-5)
(b+6)+(b-6)

Hay:
a
b
=
5
6
(Đpcm).
Ví dụ 6.
Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng:
x-y
4
=
y-z
5
.
Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trước đã.
Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa về dãy tỉ số bằng nhau như thế nào?
Lời giải:

10-6
=
x-y
4
(1)
+)
x+y
15
=
x+z
10
=
(x+y)-(x+z)
15-10
=
y-z
5
(2)
Từ (1) và (2) ta có
x-y
4
=
y-z
5
(Đpcm).
Ví dụ 7. Cho
2 2
2 2
a b
c d

a b
c d


=
ab
cd
=
2ab
2cd
=
a
2
+b
2
-2ab
c
2
+d
2
-2cd
=
a
2
+b
2
+2ab
c
2
+d

2
Suy ra:
a+b
c+d
=
a-b
c-d
hoặc
a+b
c+d
= -
a-b
c-d
.
+) Nếu
a+b
c+d
=
a-b
c-d
thì
a+b
c+d
=
a-b
c-d
=
(a+b)+(a-b)
(c+d)+(c-d)
=

=
(a+b)+(b-a)
(c+d)+(c-d)
=
(a+b)-(b-a)
(c+d)-(c-d)b
c
=
a
d



a
b
=
d
c
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
a
b
=
c
d
hoặc
a

= ac ; c
2
= bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b
3
+c
3
≠  d
3
. Chứng
minh rằng: a)

3
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
   
 

 
   
 

b)
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
 


a b
ab
cd
c d




c)
2 2
2 2 2 2
7 3 7 3
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d
 

 
d)
2 2 2 2
2 2 2 2
3 10 17 3 10
7 5 7 5
a b ab c d cd
a b ab c d cd
   

   

Bài 5. (Mở rộng) Cho

pc+qd

e)
ma
2
+nb
2
+kab
mc
2
+nd
2
+kcd
=
pa
2
+qb
2
+rab
pc
2
+qd
2
+rcd

f)
ma
3
+nb
3

b
c
=
c
d
. Chứng minh rằng:
a) (
a+b+c
b+c+d
)
3
=
a
d
b)
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
 

 

Bài 7. Cho
bz-cy
a
=
cx-az
b
=

≠ 0.
Bài 10. Chứng minh rằng: Nếu a
2
= bc thì
a+b
a-b
=
c+a
c-a
.
Điều đảo lại có đúng không?
Bài 11. Cho bốn số khác 0 là: a
1
, a
2
, a
3
, a
4
thoả mãn a
2
2
= a
1
.a
3
và a
3
2
=


 
với n  N.
Bài 13. Chứng minh rằng: Nếu
2 2 2 2
2 2 2 2
k k k k
k k k k
a b a b
c d c d
 

 
thì
a
b
= 
c
d
.
Bài 14. Từ (
a
c
)
n
=
n n
n n
a b
c d

a
2
+a
3
+…+a
2009

)
2008
biết
a
1
a
2
=
a
2
a
3
=
a
3
a
4
= … =
a
2008
a
2009
.

a
b
=
c
d
. Hãy chứng minh:
a)
a
b
=
c
d
=
3a+2c
3b+2d

b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d)
c) (
a-b
c-d
)
4
=
4 4
4 4
a b
c d




b
b+
1
a
=
a
1
b
b
1
a
.