Chuyên đề đại số 9
dãy số có quy luật

Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
- Cách 1 : Truy toán
- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
- Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
-
Ví dụ 1 : Cho
2 2 2 2
A     
có 100 dấu căn
Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
Giải :
Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy
2 2


2 2 4 2
  2 2 2
 
<
2 2 4 2
  


n n
n n n n
 
    
 
   

Vậy :
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1
n n
   
    Trang 2
=
( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 1)
n n
        

=
1
n


Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát


1 1 1 1 2 1 1
.
1 1
n n
n n n n n n n
    
   
    
 
    
=
=
2 2
1
n n


. Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng

Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức

5 13 5 13 5 13
B       

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có
chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Giải :
Nhận xét B > 2
Ta thấy :
2

( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0
 ( B – 3)[ ( B + 3)( B
2
– 1 ) – 1 ] = 0
Vì B > 2 nên B
2
– 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B
2
– 1) – 1 > 11
do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3
Trang 3
Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương
trình

Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
C             

Giải :
Xét số hạng tổng quát :
2 2
1 1
1
( 1)
k k
 

1 1 1 1 1 1
2 1. 2 . 2 1 2. 0
1 1 ( 1)
k k
k k k k k k
 
  
     
   
 
     
  
     
 

Vậy :
2
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) ( 1)
k k k k
 
    
 
 
 

Nên :
2 2

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
Với n = 1 ta có D
1
=
4 2

< 3 Đúng
Trang 4
Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :

4 4 4 4
k
k
B     
      
< 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 1
1
4 4 4 4
k
k
B


    
      
=

Chứng minh A >
1
4

Giải :
Đặt :
2 2 2 2
n
a     
có biểu thức có n dấu căn
Ta có :
2
1
2
n n
a a

 

2
1
2
n n
a a

 
và
100
99
2

a 
< 2 đúng

2 1
2 2 2
a a
   
<
2 2 4 2
  3 2
2 2 2 2
a a
    
<
2 2 4 2
  
100 99
2
a a
 
< 2

Trang 5
Vậy :

Với n > k
và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh
1
k
a k
 

Phản chứng :
Giả sử
1
k
a k
 
thì theo cách đặt trên ta có :

2
2
1 1 1
. .
k
k k k k k
a
a k a a k a a
k
  
    
mà
2 2
( 1)
k

k
a k
 
là đúng .
Do đó
2
3
a

. Ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình

2 2 2 2 2 3
x x x x x x x
      

Giải :
Dễ thấy x = 0 là một ngiệm
Nếu x = 1 , ta có :
Trang 6

1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 1 2 3 1
        

Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình
Nếu x = 2 , ta có :


x x x x x x x
x x x x x x x
      
       

 x
2
= x + 2x
 x
2
– 3x = 0
 x = 0 hoặc x = 3
Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm
Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3

Trang 7
Bài tập luyện tập
dãy tính có quy luật

Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
a )

2 2 2 2
1
n
n
T a a a a a
      

; Với n  Z
+

Bài tập 4 : Chứng minh rằng

1 1 1 1
1
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( 1) 1n n n n
    
     

với mọi số nguyen dương n

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có

1 1 1 1
2 3 2 2
2 3 4
n n
n
       

Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau

n
     
, với mọi n  Z
+

Bài 9 : Cho 100 số :
1 2 3 4 100
, , , , ,
a a a a a
là 100 số tự nhiên sao
cho ta có :
1 2 3 4 100
1 1 1 1 1
20
a a a a a
     

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức

1 1 1 1 2001

2003
3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
    
   

Bài 11 : Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1


  


b ) áp dụng chứng minh

3 5 2008
4
3 4 5 2008
2007 2 2008
2 3 4 2007
      

Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình y
x x x x x z
     
         

vế trái có y dấu căn