PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
VD1:
Tìm GTNN của A =
2
1 4 4
x x
  +
2
4 12 9
x x
 

Giải:
A =
2
(1 2 )
x
 +
2
(2 3)
x 
=
1 2
x
 +
2 3
x







x


3
2

Vậy GTNN của A bằng 2 với
1
2


x


3
2

VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) =
1
x

+
2 4
x

+

 ) + 3
4
x

( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 )
x x x x x
         + 3
4
x


= 15 + 3
4
x



15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x
2
+ y
2
+ z
2
với P = ax + by + cz không đổi (với a

2
+ z
2


222
c
b
a
P


.
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi
c
z
b
y
a
x
 , hay nói cách
khác S
min
=
222
c
b
a
P


1
x

+
2
y

biết x + y = 4
b) B =
1
x
x

+
2
y
x


Giải:
Điều kiện x

1, y

2
Ta có
1
x

=


  
  2 2.( 2)
2 2 1 2
4
2 2 2 2 2
y y
y
y
y y
 
 
   

Max B =
1 2 2 2
2 4 4

 


1 1 2
2 2 4
x x
y y
  
 


2
1
2 3
x
 
 




 
2 2
2 2
2 3 2 3x y
   
 
   
   

= (2 + 3) (2x
2
+ 3y
2
)

5.5 = 25
A
2
= 25

2 3 5
x y
x y
x y


    

  


MaxA = 5
1
2 3 5
x y
x y
x y


   

 


VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x
xbxa ))((


Khi đó:
2
)(2
))((
baabba
x
xbxa




Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (
2
)ba  đạt được khi abx 
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a) )53)(12()( xxxf



;
b) )1()1()(
3
xxxf  ;
c)
2
)(
2



2
)53(
2
5
5
4
1
.
5
2
)53)(
2
5
5(
5
2
)53)(12()(
2













)1)(1)(1)(33(
3
1
)(
44















xxxx
xxxxxf

Vậy f(x) lớn nhất là
16
27
khi
2
1
x

. Ta có:
27
1
)(27)2(311
232
3
22
 xfxxxx
.
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là
27
1
, khi
1


x
.
VD8:
Tìm giá trị dương nhỏ nhất của

x
x
xf
32
)(
2

 .
Giải:






2222222222
)( zxyzxyxzyzyx 

Từ đó suy ra




2
444
3 zxyzxyzyx 

Suy ra
   
3
16
,,16,,3  zyxfzyxf

Vậy


zyxf ,, bé nhất bằng
3
16
, khi

a b
x y
 
(a và b là hằng số
dương)
Bài 5. Tìm GTLN của:
A x y
 
biết rằng
2 2
4 1
x y
 