Hoặc:
)(*)()().()( nxnnxnx
k
kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
[1.2-25]
Chứng minh: Luôn có
)().()( kkk nxx −=
δ
với mọi k ∈ (- ∞ , ∞). Vì thế, khi lấy
tổng các mẫu x(k) với k∈ (- ∞ , ∞), nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán
của tích chập, từ [1.2-24] nhận được [1.2-25].
1.3 tín hiệu số
1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số
Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên,
còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây dựng các thuật toán xử lý tín
hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử
dụng biến n = (nT/T). Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số
x(n), do đó có thể sử dụng các biểu diễn của dãy số để biểu diễn tín hiệu số, cũng
như sử dụng các phép toán của dãy số để thực hiện tính toán và xây dựng các thuật
toán xử lý tín hiệu số.
Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới các dạng
hàm số, bảng số liệu, đồ thị và dãy số liệu. Người ta thường sử dụng biểu diễn tín
hiệu số dưới dạng dãy số liệu có độ dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng các
chương trình phần mềm.
Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là cộng, nhân,

Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)
N
mà không làm thay đổi nó,
bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0 khi n ≥ N.
1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho
độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình
)(nx
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
=
1
0
)()(
1
N
n
nxnx
N
[1.3-1]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑
−=
+
=
N
Nn

N
Nn
N
nxLimnx
N
)(
)(
)(
12
1
[1.3-4]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình
hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô
hạn.
1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá trị tất cả các mẫu
của tín hiệu.
Năng lượng E
x
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
=
1
0
2
)(
N
n

−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
[1.3-8]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu
hạn và chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có
thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng
lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình phương của tín hiệu).
Công suất trung bình P
x
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
===
1
0
22
)()(
1
N
n
x
nxnx

∑
−
=
∞→∞→
===
1
0
2
2
)()(
1
N
n
NN
x
nxnxLimLim
NN
x
E
P
[1.3-11]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
−=
∞→∞→
=
+
=
+
=






= nnx
2
cos)(
π
với n ∈ [-4 , 4]
Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị
δ
(n):
- Tín hiệu số
δ
(n) có độ dài hữu hạn N = 1 .
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:
1)( =n
δ
- Năng lượng theo [1.3-5]:
11
0
0
==
∑
=n
E
δ
- Công suất trung bình theo [1.3-9]:
1

- Năng lượng theo [1.3-7]:
∞
∑∑
∞
=
∞
=
===
0
2
0
2
1)(
nn
u
nuE
- Công suất trung bình theo [1.3-11]:
11
11
1
0
2
1
0
2
)( ====
∑∑
−
=
∞→∞→

N
N
N
N
NN
n
nrectnrect
- Năng lượng theo [1.3-5]:
∑∑
−
=
−
=
===
1
0
2
1
0
2
1)(
NN
N
nn
x
NE nrect
- Công suất trung bình theo [1.3-9]:
1===
N
N







=
∑
−=
)cos(3
2
cos)cos(
2
cos)( 2
2
4
2
9
1
9
1
4
4
ππ
ππ
n
nnx








− 4
2
3
2
2
22
0 coscoscoscos)cos(
2
cos
πππππ
[ ]
9
1
101010101
9
1
)( == ++−+++−+nx
- Năng lượng theo [1.3-6]:
5101010101
2
4
4
2
cos =++++++++=

