2.4. phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến
Nhân Quả bằng Hàm hệ thống H(z)
2.4.1 hàm hệ thống H(z)
2.4.1a Định nghĩa : Hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Z của đặc tính xung h(n) :
∑
∞
=
−
==
0
).()]([)(
n
n
znhnhZTzH
[2.4-1]
với
−
>
h
RHRC zz ||:)]([
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ được tính theo tích chập [1.5-7] :
h(n)*x(n)ny
=
)(
Có thể tìm được :
)]([)( nxZTz
X
=
và
)]([)( nhZTzH =
Do đó, theo tính chất tích chập của biến đổi Z có :

2.4.1b Tìm hàm hệ thống H(z) từ phương trình sai phân
Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng tổng quát bậc N :
∑∑
==
−=−
MN
k
k
r
r
k
nxbrnya
00
)()(
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :






−=






−
∑∑

0
)(
0
)(
0
0
)(
)(
)(
MN
N
N
M
M
N
M
z
za
zb
za
zb
z
z
z
r
r
r
k
k
k

)(
)(
)(
210
1
10
)(
N
M
MMMN
ppp
zzzzzza
bzbzbz
z
z
z
X
Y
H
−−−
++
−
+
==
−
[2.4-6]
ở đây cần lưu ý rằng, để tìm đúng H(z) thì phương trình đặc trưng
0
)( =z
D

)]([)(
zX
zY
IZTzIZTnh
H
[2.4-7]
Ví dụ 2.22 : Cho hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân :
)()()()()(
1322142
−−=−+−− nxnxnynyny
Hãy xác định hàm hệ thống H(z) và đặc tính xung h(n) của hệ.
Giải : Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :
)()()()()(
121
3242 zzzzzzzz XXYYY
−−−
−=+−
Hay :
))(())((
121
31242
−−−
−=+− zzzzz XY
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(

z
z
z
z
X
Y
H
Vậy hàm hệ thống là :
22
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
12
3
122
3
−
−
=
+−
−
==
z
zz
zz
zz

2
)(
)(
)(
)()(
1
1
12
3
−
+
−
=
−
=
−
z
z
z
z
z
z
CC
H
Trong đó :
1
2
31
1
12







−
−−
= CC
z
z
zz
dz
d
Vậy :
22
)(
)(
)(
)()(
1
1
12
1
12
3
−
−
−
=

Hay :
)().()( 5,0 nunnh −=
2.4.1c Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số qua biến đổi Z
Khi biết đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ và tác động x(n), có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ xử lý
số theo tích chập :
h(n)*x(n)ny
=
)(
Các phương pháp tính trực tiếp tích chập đã được trình bầy ở chương một đều khá phức tạp, và trong nhiều trường
hợp không thể tìm được biểu thức của phản ứng y(n). Có thể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ dễ dàng hơn
bằng cách tính tích chập qua biến đổi Z, các bước thực hiện như sau :
1- Tìm các biến đổi Z thuận :
)]([)( nxZTz
X
=
và
)]([)( nhZTzH =
2- Từ đó xác định được :
)().()( zzz HXY =
3- Tìm biến đổi Z ngược :
)]().([)]([)( zzIZTzIZTny HXY ==
Trong đa số các trường hợp, hàm hệ thống H(z) và tác động X(z) có dạng phân thức hữu tỷ :
)(
)(
)(
z
z
z
A
B

, trong đó các cực z
pk
≠
z
pi
với mọi k và i. Đồng thời, các cực điểm của hàm hệ thống H(z) không bị loại trừ bởi các không điểm của tác động X(z)
và ngược lại. Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ , phân tích hàm :
∑∑
==
−
+
−
=
m
i
pi
k
n
k
pk
k
zzzzz
z
QA
Y
10
)()(
)(
96
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả, nên với

pkk
zny
A
0
0
.)(
[2.4-9]
Thành phần dao động tự do y
0
(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z), tức là phụ thuộc vào cấu
trúc của hệ xử lý số.
Còn dao động cưỡng bức :
∑
=
=
m
k
n
pikp
zny
Q
1
.)(
[2.4-10]
Thành phần dao động cưỡng bức y
p
(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của tác động X(z), tức là phụ thuộc vào
dạng của tác động x(n).
Giá trị của các hệ số A
k

)(
)](.[)]([)(
2
2
−
===
z
z
nuZTnxZTz
n
X
3
2
3
3
)(
)(
)]([)(
1
1
1
z
zz
zz
z
nhZTzH
++
=
−
−

p1
= 0 của hàm hệ thống H(z), do đó dao động tự do y
0
(n)
sẽ bớt đi một số hạng.
Phản ứng của hệ là :






−
++
==
)(
)(
)]([)(
2
1
2
2
zz
zz
IZTzIZTny Y
Để tìm y(n), phân tích Y(z) thành tổng của các phân thức :

)(
)(
)(

, C
3
phụ thuộc vào cực bội bậc 3 của hàm hệ thống H(z) tại z
p1
= 0 , hệ số B phụ thuộc
vào cực đơn của tác động X(z) tại z
p2
= 2 . Tính các hệ số của [2.4-12] :
8
7
2
122
2
2
)21
3
2
3
2
)(
)(
)((
=
++
=⇒
=
−
−++
= BB
z

2
1
)(
)(
)(
)(
2
2
3
32
2
=






−
++
=⇒
=






−
++

C
0
2
1242
2
22
2
)
)
(
(
=
−
−
−−−−+
=
z
z
zzzzz
C
4
3
2
3
0
2
34
2
2
2

)
)
)
)
(
(
(
(
===






−
−−
==






−
++
=
zzz
z
zz

2
32.242 16
)(
)).(().()(
1
4
2
1
−=
−−
=⇒
−
−−−−−
= CC
Thay giá trị của các hệ số trên vào [2.4-12] nhận được :
)(
)(
2
1
8
71
2
11
4
31
4
7
32
−
+−−−=

7
2
2
1
1
4
3
4
7
nynynunnnny
p
n
+=+−−−−−=
δδδ
Trong đó dao động tự do :
)()()()(
2
2
1
1
4
3
4
7
0
−−−−−=
nnnny
δδδ
Và dao động cưỡng bức :
)()(

[2.4-13]
Vì
)]([)( zIZTnh H=
nên dựa vào [2.4-13] có thể tìm được điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm
hệ thống H(z).
Theo các cực của hàm hệ thống H(z), có thể phân tích H(z) thành tổng các phân thức, khi đó h(n) là tổng các thành
phần tương ứng. Để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định, tất cả các thành phần của h(n) đều phải thỏa mãn [2.4-13]. Theo các cực
đơn, cực bội hoặc cực phức của H(z), đặc tính xung h(n) có các dạng như sau :
Với các cực thực đơn
pk
z
, thành phần đặc tính xung
)(nh
k
được xác định theo [2.3-18] :
)(..)( nuznh
n
pkkk
B=
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] :
0
)](..[lim)(lim
==
∞→∞→
nuznh
n
pkk
n
k
n

+=
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] :
0
)(lim
=
∞→
nh
e
n
⇒
0
||lim
=
∞→
n
n
pe
z
Hay :
1
||
<
pe
z
[2.4-15]
Với các cực thực bội
pk
z
, thành phần đặc tính xung
)(nh

q
nh
⇒
0
)(lim
=
∞→
n
n
pq
z
Hay :
1
||
<
pq
z
[2.4-16]
Tổng hợp các biểu thức [2.4-14] , [2.4-15] và [2.4-16] , để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định theo điều kiện [2.4-13] thì
tất cả các cực
pk
z
của hàm hệ thống H(z) phải thỏa mãn điều kiện :
98
1|| <
pk
z
[2.4-17]
Điều kiện ổn định [2.4-17] của hệ xử lý số TTBBNQ có thể được phát biểu như sau : Điều kiện đủ để hệ xử lý số
TTBBNQ ổn định là tất cả các cực điểm của hàm hệ thống H(z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị |z|= 1

0
loại trừ
tất cả các cực điểm
1
|| >
pk
z
của H(z), thì hệ vẫn ổn định.
Ví dụ 2.24 : Xét hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống :
))((
)()(
)(
5,05,1.2
75,02.25,142
22
−−
=
+
=
+
=
−−
zz
z
zz
z
zz
z
zH
Vì H(z) có hai cực đơn là

1 −
−
=
−
−
−
=
z
z
zz
z
zX
Phản ứng :
))(())((
.
)(
),(
)().()(
5,01
5,0
5,05,1.21
51
−−
=
−−−
−
==
zz
z
zz

−
==
z
z
z
z
zzz HXY
Hệ xử lý số là TTBBNQ nên với
1[
||:)]( >zz
YRC
, theo bảng 2.3 nhận được :
)()()()()]([)(
0
5,0
nynynunuzIZTny
p
n
Y
−−==
=
Thành phần dao động tự do của phản ứng
)()( 5,0
0
nuny
n
−=
→ 0 khi n → ∞ , vì thế hệ đã cho ổn định, mặc dù
nó không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17]. Nguyên nhân là không điểm z
01

N
N
N
zazazazazD
[2.4-18]
99