- Sơ đồ cấu trúc của các hệ xử lý số TTBB được mô tả bằng đặc tính xung h(n) hữu hạn (hệ FIR) sẽ có số phần tử
hữu hạn (xem hình 1.37), do đó hệ FIR luôn thực hiện được theo cấu trúc không có phản hồi.
- Sơ đồ cấu trúc của các hệ xử lý số TTBB được mô tả bằng đặc tính xung h(n) vô hạn (hệ IIR) sẽ có số phần tử vô
hạn (xem hình 1.38), do đó không thể thực hiện được hệ IIR theo quan hệ vào ra không đệ quy, với cấu trúc không có phản
hồi. Từ đây phát sinh vấn đề cần có phương pháp khác để mô tả và thực hiện các hệ xử lý số IIR.
1.7 phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến
Nhân Quả bằng phương trình sai phân
1.7.1 Mô tả hệ xử lý số bằng phương trình sai phân
1.7.1a Thực hiện hệ xử lý số IIR bằng quan hệ vào ra đệ quy
Để đưa ra giải pháp thực hiện hệ xử lý số IIR có đặc tính xung
)()( nuanh
n
=
ở ví dụ 1-25, viết lại biểu thức [1.6-
14] dưới dạng :
∑ ∑
∞
=
∞
=
−+=−=
0 1
)()()()(
k k
kk
kk
nxanxnxany
Đổi chỉ số, đặt (k - 1) = k’ ⇒ k = (k’ + 1) và khi k = 1 thì k’ = 0 :
∑∑
∞
=

)(.)()(
1
−+=
nyanxny
[1.7-1]
Biểu thức [1.7-1] là quan hệ vào ra đệ quy. Theo [1.7-1] xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số IIR có
)()( nuanh
n
=
ở hình 1.40, nó chỉ có ba phần tử tạo thành một vòng phản hồi. Hình 1.40 : Sơ đồ cấu trúc đệ quy của hệ xử lý số TTBB có
)()( nuanh
n
=
.
Như vậy, theo quan hệ vào ra không đệ quy [1.6-14] sơ đồ cấu trúc của hệ IIR đã cho cần có vô hạn phần tử nên
không thể thực hiện được, còn theo quan hệ vào ra đệ quy [1.7-1] có thể thực hiện được hệ xử lý số IIR đã cho bằng ba phần
tử.
Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra theo [1.4-11] với các chỉ số k ≥ 0 , r ≥ 1:

[ ]
...),(...,,)(,...,)()(
0
rnyaknxbnxbFny
rk
−−=
[1.7-2]
Tương tự như quan hệ vào ra đệ quy [1.7-1], có thể tách [1.7-2] thành tổng của hai hàm số F

Hình 1.41 : Sơ đồ khối tổng quát của hệ xử lý số nhân quả đệ quy.
46
y(n)
+
D
x(n)
a
[ ]
...),(...,),(
01
k
nxbnxbF
k
−
+
[ ]
. . .,)(. . . ,) ,(
1
12
r
nyanyaF
r
−−
x(n)
y(n)
1.7.1b Mô tả hệ xử lý số bằng phương trình sai phân
Khi k và r là số hữu hạn, k
≤
M và r
≤

Trong đó, x(n) là tác động, y(n) là phản ứng, các hệ số
r
a
và
k
b
phụ thuộc vào tính chất và cấu trúc của hệ xử lý
số, N và M là hằng số.
Các biểu thức [1.7-4] và [1.7-5] được gọi là phương trình sai phân bậc N. Dấu trừ ở vế phải của phương trình sai
phân [1.7-4] chỉ là hình thức để biểu diễn phương trình sai phân [1.7-5] dưới dạng tổng.
Khi N = 0, từ [1.7-4] có phương trình sai phân bậc không :
∑
=
−=
M
k
k
k
nxbny
0
)()(
[1.7-6]
Phương trình sai phân bậc không [1.7-6] mô tả các hệ xử lý số nhân quả không đệ quy, nó là dạng cụ thể của quan
hệ vào ra không đệ quy [1.4-10] có sơ đồ khối trên hình 1.39.
Khi M = 0, từ [1.7-5] có phương trình sai phân thuần nhất :
∑
=
=−
N
r

- Phương trình sai phân có tất cả các hệ số
r
a
và
k
b
là hằng số được gọi là phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng, chúng mô tả hệ xử lý số TTBBNQ.
Xem lại quan hệ vào ra [1.7-1] y(n) = x(n) + a.y(n -1), đó là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc một.
Khi thay tác động
)()( nnx
δ
=
vào phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không [1.7-6], nhận được biểu
thức đặc tính xung h(n) có độ dài hữu hạn của hệ hệ xử lý số TTBBNQ :
n
k
k
bnbnh
M
k
∑
=
=−=
0
)()(
δ
[1.7-8]
Như vậy, phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không mô tả hệ xử lý số TTBBNQ không đệ quy có đặc
tính xung h(n) hữu hạn (hệ FIR). Các hệ số

δ
=
và các điều kiện ban đầu y(-2) = y(-1) = 0. Hãy cho
nhận xét về phản ứng y(n) và tính ổn định của hệ đã cho.
Giải : Sử dụng phương pháp thế lần lượt tính được các giá trị của y(n).
10.1,005,0121,015,000
.)()()()(
=+=−+−+=
+
yyy
δ
5,001,01.5,0011,005,011
.)()()()(
=++=−++=
yyy
δ
35,011,05,0.5,0001,015,022
.)()()()(
=++=++=
yyy
δ
225,05,01,035,0.5,0011,025,033
.)()()()(
=++=++=
yyy
δ
1475,035,01,0225,0.5,0021,035,044
.)()()()(
=++=++=
yyy

aaauuayauyay
++=++−=+=
012323
)()(.)()()()(.)(
2101212
aaaauuauayauyay
+++=+++−=+=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=+++++−=+−=
−−+
)(...)()()()()()(.)(
21011
211
nuuauauayanunyany
nnnn

0211
... aaaaa
nnnn
+++++=
−−+
Hoặc viết dưới dạng tổng quát :
∑∑
=
+
=
+
+=−+−=
n
k

==
=−=
n
k
k
n
k
k
p
aknuany
00
)()(
[1.7-11]
Thành phần y
0
(n) theo biểu thức [1.7-10] không phụ thuộc vào tác động x(n), chỉ phụ thuộc vào hệ số a của phương
trình sai phân và điều kiện ban đầu y(-1), tức là y
0
(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số và giá trị khởi tạo của hệ.
Thành phần y
0
(n) chính là nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng khi cho tác động x(n) bằng không và
được gọi là thành phần dao động tự do của phản ứng y(n).
Thành phần y
p
(n) theo biểu thức [1.7-11] phụ thuộc vào hệ số a của phương trình sai phân và tác động u(n), đó là
phản ứng của hệ xử lý số do sự cưỡng bức của tác động, nên được gọi là thành phần dao động cưỡng bức của phản ứng
y(n). Có thể nhận thấy rằng, nghiệm cưỡng bức y
p
(n) theo biểu thức [1.7-11] chính là tích chập của tác động u(n) và đặc tính

(n) của phương trình sai phân.
- Bước 3 : Xác định nghiệm tổng quát theo biểu thức [1.7-12].
- Bước 4: Tìm các hằng số sai phân theo các điều kiện ban đầu.
48
Để tìm nghiệm tự do y
0
(n) của phương trình sai phân thuần nhất, người ta thế
n
Any
α
.)(
0
=
vào phương trình sai
phân thuần nhất :
∑
=
=−
N
r
r
rnya
0
0)(
và nhận được phương trình :
0
...
2
2
1

−−
N
NNN
aaaa
ααα
nhận được N nghiệm α
k
, từ đó có y
0
(n) dưới dạng :
∑
=
=
N
k
n
kk
Anuny
1
0
).()(
α
[1.7-13]
Trong đó A
k
là các hằng số sai phân được xác định từ điều kiện ban đầu.
Nghiệm riêng y
p
(n) của phương trình sai phân thường có dạng :


0
=
vào phương trình thuần nhất :
2020.2
)(..
11
==−=−
⇒⇒
−−
ααααα
nnn
AA
A
Theo [1.7-13] nhận được nghiệm tự do :
)(..)(
2
0
nuAny
n
=
- Bước 2 : Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng
)(.)(.)( nunxny
BB
p
==
. Thế y
p
(n) vào phương trình sai phân đã cho
nhận được :
)()()(.

p
−=+=
- Bước 4 : Xác định hằng số sai phân từ điều kiện ban đầu. Theo phương trình sai phân và điều kiện ban đầu ở đầu
bài xác định được :
10.211200
)()()( =−=−+= yuy
Do đó nghiệm tổng quát có giá trị y(0) là :
10020
)()(..)(
0
=−= uuAy
vậy
211
==−
⇒
A
A
. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân :
)()(..)(
22
nununy
n
−=
, hay
)(].1[)(
)1(
2
nuny
n
−=

αααααα
nnnn
AAA
A
Giải phương trình đặc trưng
032
)(
2
=−+
αα
nhận được các nghiệm :
1
1
=
α
và
3
2
−=
α
Theo [1.7-13] nghiệm tự do là :
)(].)([)(
3
210
nuAAny
n
−+=
- Bước 2 : Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng
)(..)(..)( nunnxnny
BB

4
3
nunny
p
=
- Bước 3 : Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là :
)(..)(..()(.)()()(
4
3
)3
210
nunnuAnuAnynyny
n
p
++=+=
−
- Bước 4 : Xác định hai hằng số sai phân từ điều kiện ban đầu. Theo phương trình sai phân và điều kiện ban đầu ở đầu
bài, xác định được :
)()()()()(
12023120
−+=−−−+
uuyyy
100.210.30.20
)()( =+=−+
⇒
yy
và :
)()()()()( 02113021 uuyyy +=−−+
111.210.31.21
)()( =+=−+






=+−
=+
⇒
1
4
3
3
1
21
21
AA
AA
Giải hệ phương trình trên tìm được :
16
13
1
=
A
và
16
3
2
=
A


++=
−
Trong đó thành phần dao động tự do là nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất :
)(..()(
)3
16
3
16
13
0
nuny
n






+=
−
Hệ sử lý số đã cho có dao động tự do y
0
(n) → - ∞ khi n → ∞ , nên theo định lý ổn định 1, hệ không thỏa mãn điều
kiện ổn định.
Các ví dụ trên cho thấy rằng, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp tìm nghiệm tổng
quát là khá phức tạp, khi phương trình sai phân có bậc N > 2 sẽ càng phức tạp hơn vì phải giải phương trình bậc cao.
Như vậy, cả hai phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đã được trình bầy ở trên đều phức
tạp, vì thế người ta sẽ tìm phương pháp khác để giải phương trình sai phân dễ dàng hơn, vấn đề đó sẽ được nghiên cứu ở
chương hai.
1.7.3 Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số theo phương trình sai phân

b
M
b
2
b
2
+
+
+
+
D
y(n)
x(n)
x(n)
b
0
b
0
+ +
D
Dãy x(i) trong b nhộ ớ