SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT TIÊN LỮ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN)Môn: Toán THPT
Tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền
Giáo viên môn: Toán
Năm học 2013 - 2014
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp
các dạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó là những dạng
toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải được
nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng được
xuyên suốt từ THCS đến THPT. Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng
về phương pháp cũng như tính toán. Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về
một số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề
tài "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quan
đến đường thẳng và đường tròn".
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ
- Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học,
Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
III. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

đến đường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2,
11A3 trường THPT Tiên Lữ.
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 3
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
NỘI DUNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1)
a
= (a
1
; a
2
) <=>
a
= a
1
i+a
2
j
2) Cho
a
= (a
1
; a
2
),

1
; b
2
). Ta có:
a
.
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
a
=
2
2
2
1
aa +
; cos(
a
,
b
) =
ba
ba
.

ABAB
yyxx −+−
3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k
1≠
)
MA kMB⇔ =
uuur uuur
thì





−
−
=
−
−
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
1

=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 4
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
1)

2
- a
2
b
1
= 0
1 2
1 2
1 2
0 0
a a
b b
b b
 
⇔ = ≠ ≠
 ÷
 
nÕu vµ
3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
uuur uuur
AB v ACµ
cùng phương
Nhắc lại:
1. Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Khoảng cách
từ đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng
2
3
độ dài trung tuyến.
2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao.
H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC

, d
2
là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC
4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của
tam giác đó
5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

= =
DB EB AB
DC EC AC
( )
,D E BC∈

Chú ý:
a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm
của tam giác trùng nhau.
b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân
giác trong của tam giác trùng nhau
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 5
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
A. ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

( )
( )
( ) ( )
∈
= + ≠
− + − =

g
g
0 0 0
1 2
0 1
0 2
; ( )
;
M x y d
VTCP u a a
x x a t
PTTS t R
y y a t
®iÓm
Và phương trình chính tắc là
0
1
x x
a
−
=
( )
µ
0
1 2
2
0 0
y y
a v a
a

0 0 0 0 0
; 'M x y d C Bx Ay

5) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và song song với
∆
: Ax + By+ C = 0
- d song song với
∆
: Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng:
Ax + By + C’ = 0 (C’
C≠
)
-
( )
0 0 0 0 0
; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − −
6) Phương trình đường thẳng d đi qua
( ) ( ) ( )
vµ; 0 , 0; 0 0A a B b a b≠ ≠
là
1
x y
a b
+ =

2 2
0A B+ ≠
Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
) là:
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
+
++
= ±
2
2
2
2
222
BA
CyBxA
+
++
8) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0

A B A B
α
+
=
+ +
9) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và cách điểm N
( )
;
N N
x y
một khoảng k cho
trước
Gọi
( )
;n A B=
r

( )
2 2
0A B+ ≠
là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng
( ) ( )
0 0
0A x x B y y− + − =

1 1
0A B+ ≠
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 (2)
( )
2 2
2 2
0A B+ ≠
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
, nếu có là nghiệm của hệ 2 phương trình (1)
và (2)
Ta có kết quả sau:
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 7
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Nếu
2
1
A
A
≠

A
A
=
2
1
B
B
=
2
1
C
C
thì ∆
1
≡ ∆
2
Lưu ý: ∆
1
⊥
∆
2
<=> A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0

0
)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng ∆:
Ax + By + C = 0 được cho bởi:
d(M
0
; ∆) =
22
00
BA
CByAx
+
++
Lưu ý:
1. Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải.
2. Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồi
giải.
3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn
số x và y rồi giải.
Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)
Nếu A = d
∩
d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ

By At
∈


⊥

B2: Tìm tọa độ
I At By= ∩
B3:
'ABB∆
cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B
và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’.
B. ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn
1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ
toạ độ Oxy là:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
2. Định lý 2: Phương trình x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 với A
2
+ B
2

= =
Phương trình đường tròn là: x
2
+
2
1 25
( )
2 4
y − =

b. Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến là:
AB
uuur
= (-4;3).
Phương trình tiếp tuyến là: -4x +3y + 11 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2 ; 3) và đường thẳng
∆
: x - 2y -1 = 0
a. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng
∆
b. Tìm tọa độ tiếp điểm
Giải:
a. Ta có bán kính R = d(I;
∆
)=
5
Phương trình đường tròn: ( x -2)
2
+ ( y – 3)
2

Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R =
10
Gọi
∆
là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trình
đường thẳng
∆
có dạng: x +3y +C = 0 .
Do
∆
tiếp xúc với (C) nên d(I;
∆
) = R
3 3
10 10
10
C
C
− +
⇔ = ⇔ =
Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x
2
+y
2
- 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) .Viết phương trình
tiếp tuyến với đường tròn ( C) và qua A.
Giải: Gọi
∆
: Ax +By + C = 0

2
= 4(A
2
+B
2
)
⇔
4B(4A - 3B) = 0
⇔
0
4
3
B
B A
=



=


Với B = 0, A tùy ý nên ta chọn A = 1 thì C = -1 ta có phương trình tiếp tuyến là:
x - 1 = 0
Với
4
3
B A=
chọn A = 3 thì B = 4 và C = - 15 ta có phương trình tiếp tuyến là:
3x +4y – 15 = 0
BÀI TẬP ÁP DỤNG

⇒ A(3; 2).
Giả sử B(–1; b) ∈ d
1
, C(c; –2) ∈ d
2
.
AB b AC c( 4; 2), ( 3; 4)= − − = − −
uuur uuur
.
Ta có:
AB AC
BC
2
. 0
50


=

=


uuur uuur
⇔
b c
b c
5, 0
1, 6

= =

C (1; 1)
1
−
,
C
2
( 2; 10)− −
.
+ Với
C
1
(1; 1)−
⇒ (C):
2 2
x y x y
11 11 16
0
3 3 3
+ − + + =
+ Với
C
2
( 2; 10)− −
⇒ (C):
2 2
x y x y
91 91 416
0
3 3 3
+ − + + =

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 12
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Kết luận:
x y
2 2
( 1) ( 1) 1
− + + =
và
x y
2 2
( 5) ( 5) 25
− + + =
Bài 4
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
,
A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng
d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn
1) PTTS của d:
x t
y t4 3

=

= − +

. Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d.
( )

1
:
x y 2 0+ − =
và d
2
:
x y2 6 3 0+ + =
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 0
2 6 3 0

+ − =

+ + =

⇒
A
15 7
;
4 4
 
−
 ÷
 
.
Giả sử:



− −

− +

=


⇔
b
c
1
4
9
4

=



= −


⇒
B
1 7
;
4 4
 

0)
=> VTPT của BC là:
1
( ; )
= −
r
n b a
.
Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0
⇔
ax + by –2a –b =0
BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0
⇔
– bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
⇔
2 2 2 2
23 4
= −− +

= ⇔

= −
+ +

b ab b a
b a
a b a b
• b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0;
AD: 2x + y – 4 =0

1
, R
2
lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C
1
), (C
2
).
Giả sử I(a; a – 1) ∈ d. (C) tiếp xúc ngoài với (C
1
), (C
2
) nên
II
1
= R + R
1
, II
2
= R + R
2
⇒ II
1
– R
1
= II
2
– R
2
⇔

60 (1)
120 (2)

=


=

AMB
AMB
Vì MI là phân giác của
·
AMB
nên:
(1) ⇔
·
AMI
= 30
0

0
sin 30
⇔ =
IA
MI
⇔ MI = 2R ⇔
2
9 4 7
+ = ⇔ = ±
m m

)
Bài 9
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 2) 9− + + =
và
đường thẳng d:
x y m 0+ + =
. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A
mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC
vuông (B, C là hai tiếp điểm).
Hướng dẫn
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên
ABIC là hình vuông có cạnh bằng 3 ⇒ IA =
3 2
. Giả sử A(x; –x – m) ∈ d.
IA
2
18=
⇔
x m x
2 2
( 1) ( 2) 18− + − − + =
⇔
x m x m m
2 2
2 2(3 ) 4 13 0− − + − − =
(1)
Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất

AB
5
2
2
∆
− −
=
⇒
a b
a b
a b
8 (1)
5 3
2 (2)

− =
− − = ⇔

− =

; Trọng tâm G
a b5 5
;
3 3
 
+ −
 ÷
 
∈ d
⇒ 3a –b =4 (3)

Hướng dẫn
B(0; –1).
2 2BM ( ; )=
uuur
⇒ MB ⊥ BC.
Kẻ MN // BC cắt d
2
tại N thì BCNM là hình chữ nhật.
phương trình đường thẳng MN:
3 0x y
+ − =
. N = MN ∩ d
2
⇒
8 1
3 3
N ;
 
 ÷
 
.
NC ⊥ BC ⇒ phương trình đường thẳng NC:
7
0
3
x y− − =
.
C = NC ∩ d
1
⇒

. 3 3MA MB MB MB
= ⇒ =
uuur uuur
. Gọi H là hình chiếu của I lên AB
3BH
⇒ =
( )
2 2
4 ,( )IH R BH d I d
⇒ = − = =
Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).
( )
2 2
0
6 4
,( ) 4 4
12
5
a
a b
d I d
a b
a b
=

− −

⊥ ⇒ − + = = ⇒
IAB CH pt AB x y A AB AD A 1
.
AB = 2AM
⇒
AB = 2AN
⇒
N là trung điểm AB
( )
3; 1
⇒ − −
B
.
1
( ) : 2 1 0, ( ) ( ) ; 2
2
 
− − = = ⇒ − −
 ÷
 
Ipt AM x y C AM CH C
Bài 14
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1:
7 17 0
− + =
x y
,
d2:
5 0
+ − =

x y ( )
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1 2
,
∆ ∆
KL:
3 3 0+ − =x y
và
3 1 0
− + =
x y
Bài 15
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
ABCD
cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa
độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh
AB : y 3 7(x 1)= -
. Biết chu vi của
ABCD
bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B,
C.
Hướng dẫn
(1;0)
= ⇒
IB AB Ox B
,
( )
;3 7( 1) 1
∈ ⇒ − ⇒ >
A AB A a a a

3 1 3 1
1 2 . 12
−
= + ≥ ⇒ ≥
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12
+ = + ≥ =
OA OB a b ab
( 3 )OA OB
⇒ +
nhỏ nhất bằng 12
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 18
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
3
6
3 1 1
2
2
a b
a
b
a b
=

=


x t
y t
. M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)
( , ). ( , ).
= ⇔ =
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD

⇔
7
9
3
= − ∨ =
t t
⇒
7
( 9; 32), ( ;2)
3
− −
M M
Bài 18
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng
4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng
y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và d.
Hướng dẫn
Ta có:
( )
1;2 5AB AB
= − ⇒ =
uuur

   
= ⇒
−
 ÷  ÷

= ⇔ = ⇔
   


= ⇒ − −

t C D
t
d C AB CH
t C D
Vậy
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
   
 ÷  ÷
   
C D
hoặc
( ) ( )
1;0 , 0; 2− −C D
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 19
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 19
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là

−
 ÷  ÷
   

Bài 21
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình
2 2
( 2) ( 1) 25
− + + =
x y
theo một dây
cung có độ dài bằng 8.
Hướng dẫn
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ⇔ ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1)
của (C) đến d bằng 3.
( )
2 2
2 2
2 2
, 3 3 3
a b a b
d I d a b a b
a b
− − −

: 2 5 0
− + =
d x y
. d
2
: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua
điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam
giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Hướng dẫn
d1 có VTPT
1
(2; 1)
= −
r
a
; d2 có VTPT
2
(3;6)
=
r
a
Ta có:

2 2 2 2
32
cos45 3 8 3 0
3
2 ( 1)
=−

⇔ = ⇔ − − = ⇔

= −
+ + −

A BA B
A AB B
B A
A B
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
:3 5 0+ − =d x y
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
: 3 5 0− − =d x y
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
:3 5 0+ − =d x y
;
: 3 5 0− − =d x y
Bài 23
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), phương trình
đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =

).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0
− − − = ⇔ − + =
AK x y x y
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
+ − =

⇒

− + =

x y
I
x y
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0−K
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8



− − + =

m n
m n

1
1
= −

⇔

=

m
n
⇒ B(–1; –4),
C(5; 1)
⇒ phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC:
2 2
83 17 338
0
27 9 27
+ − + − =
x y x y
Bài 25
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
giác ABC với các đỉnh: A(–2;3),
1

 
= ⇔ = ⇒ − = − ⇒ =
−
+ −
d
DB AB
d d d
DC AC d
Phương trình AD:
2 3
1 0
3 3
+ −
= ⇔ + − =
−
x y
x y
;
AC:
2 3
3 4 6 0
4 3
+ −
= ⇔ + − =
−
x y
x y
Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là
1
−


− = − ⇒ =


Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ∆ABC là:
2 2
1 1 1
2 2 4
   
− + − =
 ÷  ÷
   
x y
hoặc
2 2
7 3 9
4 4 16
x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   

Bài 26
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường tròn (C
1
): x
2
+ y

, bán kính R
2
= 1.
Ta có:
1 2 1 2
3
= = +
I I R R
⇒ (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
⇒ (C
1
) và (C
2
) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là
x = 3 song song với Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài:
( ) : ( ): 0
∆ ∆
= + ⇔ − + =
y ax b ax y b
ta có:
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 23
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
2
1 1
2 2

=

+
  
⇔ ⇔
   
=
+ −
− +

  
=
= =
  
 
+


Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:
1 2 3
2 4 7 2 2 4 7 2
( ): 3, ( ): , ( )
4 4 4 4
∆ ∆ ∆
+ −
= = − + = +
x y x y x
Bài 27
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; −1) và đường thẳng
∆: x − 2y −1 = 0. Tìm điểm C thuộc đường thẳng ∆ sao cho diện tích tam giác ABC

(7; 3) và C
2
(−5; −3)
Bài 28
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
12, tâm I thuộc đường thẳng
( ) : 3 0
− − =
d x y
và có hoành độ
9
2
=
I
x
, trung điểm
của một cạnh là giao điểm của d và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
Hướng dẫn
I có hoành độ
9
2
=
I
x
và
( )
9 3
: 3 0 ;
2 2

AD d
M AD
, suy ra phương trình AD:
1.( 3) 1.( 0) 0 3 0− + − = ⇔ + − =x y x y
.
Lại có MA = MD =
2
.
Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
3 0
3
( 3) 2
( 3) 2
+ − =

= − +


⇔
 
− + =
− + =



x y
y x
x y

là trung điểm của AC, suy ra:
2 9 2 7
2
2 3 1 2
2
+

=

= − = − =


⇔
 
+ = − = − =


=


A C
I
C I A
A C C I A
I
x x
x
x x x
y y y y y
y

   
− + + =
 ÷  ÷
   
x y
Bài 30
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng
∆
định
bởi:
2 2
( ) : 4 2 0; : 2 12 0C x y x y x y
+ − − = ∆ + − =
. Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M
vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 60
0
.
Hướng dẫn
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ 25