Tiết 35 BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
+ Củng cố lại các kiến thức đã học về vectơ chỉ phương của đường thẳng
trong không gian.
+ Biết cách xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, từ
đó nắm được định nghĩa hai đường thẳng vuông góc và vận dụng để giải
các bài toán thực tế.
+ Củng cố lại điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
2. Kĩ năng:
+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng nhiều cách.
+ Biết vẽ hình không gian, tưởng tượng hình không gian.
3. Tư duy:
+ Rèn luyện tư duy logic, tư duy trừu tượng.
+ Rèn luyện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp.
4. Thái độ:
+ Tích cực, chủ động học tập.
+ Cẩn thận, chính xác.
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên:
+ Lựa chọn một số bài tập ở SGK để sửa
+ Chuẩn bị bài tập ngoài SGK
+ Chuẩn bị đồ dùng dạy học: thước, phiếu học tập (PHT).
2. Học sinh:
+ Xem lại kiến thức lý thuyết của bài 2.
+ Làm bài tập SGK.
III. Phương pháp dạy học:
+ Gợi mở, vấn đáp
+ Nêu vấn đề, giải quyết vấn đề
+ Thảo luận nhóm
IV. Tiến trình dạy học:

đồng phẳng thì theo điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ
ta có:

n
=
Từ đó ta có
n
n
.
=
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Phát PHT1: (nội dung
như trên)
Yêu cầu học sinh suy
nghĩ trình bày lời giải dựa
theo những gợi ý trong
PHT1.
Gọi một học sinh bất kỳ
lên trình bày lời giải.
Gọi học sinh khác nhận
xét
Chính xác hóa kết quả,
cho điểm
Nhận PHT và đọc nội dung của PHT
Trình bày lời giải:
Nếu
ban ,,
đồng phẳng thì theo điều
kiện đồng phẳng của 3 vectơ ta có:


Từ đó ta có
c
=
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Phát PHT2: (nội dung
như trên)
Yêu cầu học sinh suy
nghĩ trình bày lời giải dựa
theo những gợi ý trong
PHT2.
Gọi một học sinh bất kỳ
lên trình bày lời giải.
Nhận PHT và đọc nội dung của PHT
Trình bày lời giải:
Giả sử 3 vectơ cùng vuông góc với
n

là
.,, cba
Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu
ba,
cùng phương thì
cba ,,

Gọi học sinh khác nhận
xét
Chính xác hóa kết quả,
cho điểm
Nếu ba đường thẳng
321
,, ddd cùng
vuông góc với một đường thẳng thì do kết
quả nêu trên, ta có ba vectơ của ba đường
thẳng
321
,, ddd đồng phẳng tức là ba
đường thẳng
321
,, ddd
cùng song song
với một mặt phẳng.
Học sinh khác nhận xét
Nghe và chép

Hoạt động 4: Làm bài tập 9 SGK
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Yêu cầu học sinh hoạt động Học sinh hoạt động theo nhóm
nhóm
Gợi ý:
- Cách vẽ hình
- Để chứng minh

Xét BCSA do SBSCBC 
nên
SCSASBSABCSA 

·
·
. cos AS . cos ASC.
SA SB B SA SC  Mặt khác SA = SB = SC và
·
·
AS AS
B C
 nên
. 0,
SA BC

uur uuur
tức là
.
SA BC


uuur
theo các
vectơ
,
AB AD
uuur uuur
như thế nào?
Gọi một học sinh bất kỳ lên
trình bày lời giải.
Học sinh đọc đề bài và suy nghĩ.

- Ta chứng minh
. 0
AC BD

uuur uuur-
BD AD AB
 
uuur uuur uuur

Trình bày lời giải:
Ta có:
. .
AB AC AC AD

uuur uuur uuur uuur
AB CD
  Học sinh khác nhận xét
Nghe và chép

4. Củng cố - BTVN:
- Hãy nêu các cách chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc.
- Trả lời:
+ Chứng minh góc giữa chúng bằng 90


+ Chứng minh


os , 0,
c u v

ur r
với
,
u v
ur r
lần lượt là các vectơ chỉ
phương của a và b.
+ Chứng minh
. 0
u v

các phép tính để vận dụng .
3.Về thái độ
Thấy được sự phát triển toán học , thấy được tính chặt chẽ của toán học
khi phát triển mở rộng các kiến thức.
II.CHUẨN BỊ CHO BÀI HỌC
1.Chuẩn bị của giáo viên:
Câu hỏi :Hãy nhắc lại :-Định nghĩa véctơ
-Giá của véctơ ,độ dài vectơ
-Sự cùng phương , cùng hướng của hai vectơ
-Phép cộng hai vectơ
-Phép nhân vectơ với một số.
2.Chuẩn bị của học sinh :
Câu trả lời : Vectơ là một đoạn thẳng dịnh hướng
AB
uuur
có điểm đầu và
điểm mút (A gọi là điểm đầu , B gọi là điểm mút )
-Đuờng thẳng đi qua hai điểm đầu và cuối gọi là giá của vectơ .
-Hai vectơ là cùng phương nếu chúng có cùng giá hoặc giá của chúng
song song với nhau.
-Hai vectơ cùng hướng nếu chúng có cùng phương và cùng hướng , hai
vectơ ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược hướng .
-Độ dài
AB
uuur
là |
AB
uuur
| =AB
-Hai vec tơ bằng nhau

a
r
.
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP
1.Định nghĩa vectơ trong không gian
Hoạt động 1: Định nghĩa
Giáo viên đặt vấn đề :Môn hình học mởongj thêm các khái niệm về vectơ
tương tự như trong hình học phẳng để hiểu rõ và vận dụng tốt trong học
tập và tự học.Xét vectơ trong không gian.
Trợ giúp giáo viên Hoạt động của học sinh
-Giáo viên đặt vấn đề xét một đoạn thẳng
AB trong khô
a
r
ng gian , cách biểu diễn
đoạn thẳng đó bằng mọtt véctơ . Từ đó dẫn
đến định nghĩa (SKG)
-Lưu ý:
+ Giá , độ dài , phương chiều của véc tơ .
+Hai véctơ bằng nhau không được định
nghĩa như trong mặt phẳng .
+Véctơ không AA=0

HS
1
VéctơAB, A gọi là điểm đầu B gọi l
à đi
+Xét 1 : HS
1
đọc và vẽ hình 3.1

véctơ trong mặt phẳng. Sau đó giáo viên
thông báo tính tương tự trong mặt phẳng:
+ kí hiệu véctơ theo định nghĩa
a AB
"
r uuur
,
b BC
"
r uuur
L
AB BC AC
! "
uuur uuur uuur

hay:
a
b AC
! "
r r uuur
.
+ Phép cộng véctơ trong không gian tương
tự phép cộng trong mặt phẳng. vậy, nó có
tính chất tương tự. Hãy nhắc lại các tính
- Học sinh nêu các tính ch
ất của phép cộng các vect
+ Giao hoán : a

a
r
=
a
r
.
chất đó.
- giáo viên yêu cầu nghiên cứu một ví dụ:
+ Cho tứ diện ABCD. Chứng minh:
AC
BD AD BC
! " !
uuur uuur uuur uuur
.
Hỏi: Hãy nêu phương pháp hướng giải và
nêu cách chứng minh.
Gợi ý: trong mặt phẳng (BCD) tạo ra hai
véctơ
CE BD
"
uuur uuur
.
- Yêu cầu học sinh thực hiện ∆
3
để dẫn đến
quy tắc hình hộp:
+ Giáo viên lưu ý học sinh: trong mặt phẳng
có hai quy tắc cộng vectơ:
+ Quy tắc hình bình hành
+ Quy tắc tam giác.

! " ! "
uuur uuur uuur uuur uuur
.
Vậy, từ đó suy ra

AC BD AD BC
! " !
uuur uuur uuur uuur
.
+Hình vẽ dùng để chứng minh quy tắc h
ình h
3.3)
Gợi ý:
AB AD
! "
uuur uuur
?
'
AB AD AA
L ! !
uuur uuur uuur
.
- Áp dụng tính tổng và hiệu:
a) Tính tổng
' ' '
AB A D CC
! !
uuur uuuuur uuuur

Gợi ý: Vận dụng phép cộng vectơ theo quy

'
AB AD AA
! !
uuur uuur uuur
= ?

, ' '
AB AD AC AA CC
! " "
uuur uuur uuur uuur uuuur

Do đó
' '
AB AD AA AC
! ! "
uuur uuur uuur uuuur
.
+ HS: Chỉ ra kết quả

' '
AB A D
!
uuur uuuuur
=
AB AD
!
uuur uuur
.
HS: tính
AB AD AC

a)
1
2
MN AB DC
" !
uuuur uuur uuur

b)
3
AB AC AD AG
! ! "
uuur uuur uuur uuur

Gợi ý: Dùng quy tắc cộng vectơ theo hệ
thức Salơ.
Gợi ý: Tính
GA GD
! "
uuur uuur
?,
GB GC
! "
uuur uuur
?.
+ Tương tự, em hãy chứng minh đẳng thức
b).
- Học sinh nêu các tính ch
ất của phép nhân vect
một số trong mặt phẳng
T/C 1: k

= m (n
a
r
).
T/C 5: m.
0
r
=
0
r
.
T/C 6: 1.
a
r
=
a
r
.1 =
a
r
, (-1)
a
r
= -
a
r
.
HS: Nêu cách giải
MN MA AB BN
" ! !


khác vectơ không gian:
Từ o ta vẽ :
, ,
OA a OB b OC c
" " "
uuur r uuur r uuur r
.
Huớng dẫn và gợi ý học sinh rút ramột số
kết luận về khả năng đồng phẳng . Có thể
chứng minh các kết luận này ? Gợi ý: Dùng phương pháp chứng minh
phản chứng .
- Gọi một học sinh đọc định nghĩa trong
sách giáo khoa.
+ Yêu cầu học sinh nghiên cứu ví dụ 3 từ
đó trả lời câu ∆
5

+ Các vectơ , ,
AB AC AD
uuur uuur uuur
có ba giá cùng song song v
một mặt phẳng nào đó.
+
, ,
AD MN BC
uuur uuuur uuur

, ,0
a b
r r r
luôn đồng phẳng với mọi
a b
r r
+Ba vectơ
, ,
a b c
r r r
với
,
a b
r r
cùng phương thì
đông b
CM. Gi
ả sử OABC thuộc một mặt phẳng (a) .
Giá
a
r
(a),
b
r
(a),
c
r
(a). Suy ra vô lí.
+HS: Nêu định nghĩa SGK.


HS: Phân tích theo quy tắc h
ình bình hành (hình 3Hình 3.5
.
a mb nc
" !
r r r

HS: Ghi giả thiết và kết luận
a
r
không song song v
. , ,
b a b c
r r r r
đồng phẳng khi
c ma nb
" !
r r r
,m,n không đ
thời bằng 0 và duy nhất.
Vậy, theo sự phân tích vectơ
OC
uuur
theo hai
vectơ
OA,
OB

OC mOA nOB
" !
uuur uuur uuur
.
c ma nb
O " !
r r r
Vì
,
a b
r r
không cùng
thuộc một phương nên m,n đư
ợc xác định duy nhất.

Hình 3.7

HS:Ghi giả thiết và kết luận và vẽ h
ình (hình 3.7)

ba vectơ đồng phẳng .
Gợi ý : Dựa vào định nghĩa
(
,
BC AD
uuur uuur
song song với mặt phẳng (MNPQ)).

của các cạnh AB, CD,CA,DB.
a)Chứng minh : MNPQ là hình bình hành .

b)Chứng minh
, ,
MN BC AD
uuuur uuur uuur
là đồng phẳng .Học sinh được gọi nêu cách giải
AD MQ
L
AD (MNPQ)
BC MP
L
BC (MNPQ).
Suy ra
, ,
MN BC AD
uuuur uuur uuur
đồng phẳng .
c) Phân tích
MN
uuuur
theo các vectơ
, .
BC AD
uuur uuur


3.8).
, , , X=x. , ,
OA a OB b OC c O a b c
" " " !
uuur r uuur r uuur r uuur r r r r
không đồng phẳng , ABCO
đồng phẳng .
GV: Từ điểm X kẻ đường XX
'

OC,X
'
U
(AOB).
GV: Vậy , trong mặt phẳng
(OCXX
'
),hãy phân tích
X'
O
uuur
theo hai vectơ
X'
O
uuur
và
OC
uuur
,
sự phân tích đó là duy nhất .

Hình3.8
+ HS:
X X'
O pc kO
" !
uuur r uuur
,k,p được xác định
một cách duy nhất .
+HS:Thay vào ta có
OX ( ' ' ) X
pc k m OA n OB O mOA nOB pOC
" ! ! O " ! !
uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur

X
O mOA nOB
" !
uuur uuur uuur
,m,n được xác
định duy nhất.
-Ví dụ minh hoạ : Giáo viên
nêu ví dụ minh hoạ cho định lí
, yêu cầu cả lớp cùng giải :
+Cho ABCD là hình thoi , IB
= IA và KB = KF .Chứng minh
rằng :
a)
, ,
FH IK BG
uuur uur uuur

(BDG).).
b) + Phân tích theo các vectơ .

với m,n,p được xác định một cách duy
nhất
HS: Vẽ hình (3.9), ghi giả thiết và kết
luận

Hình 3.9
HS: Nêu cách chứng minh
+ Nêu cách giải (dựa vào hình 3.10):
+So sánh
,
BD FH
uuur uuur
và
,
DG IK
uuur uur
.

Hình 3.10
HS: Nêu cách giải
+Theo tính chất tam giác
+ Em hãy phân tích
BG
uuur
theo
các vectơ
BD

+
EM AI
"
uuuur uur
.Phân tích
AI
uur
theo các vectơ
AB,
AD
uuur uuur
.

Vậy ,
1 1
.
2 2
AM AB AD AE
" ! !
uuuur uuur uuur uuur

IV.CỦNG CỐ
Giáo viên tổng kết lại các kiến thức cần nhớ
+Các định nghĩa , vectơ trong không gian , hai vectơ bằng nhau ,vectơ
không đọ dài vectơ .
+Các phép toán: cộng trừ các vectơ ,nhân vectơ với một số thực.
+Định nghĩa ba vectơ không đồng phẳng , điều kiện để ba vectơ đồng
phẳng .
+ Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ .
+ Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng dựa vào các tính

diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện của tứ
diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
(A) Thiết diện là hình thang ; (B) Thiết diện là hình bình
hành ;
(C) Thiết diện là hình chữ nhật (D) Thiết diện là hình vuông ;
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng
SC và mp(SAB) là α, khí đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
(A) tanα
3;

(B) tanα
2;

(C) tanα = 1;
(D) tanα =
1
2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
(A) a (B) a
2
; (C) a
3
;
(D) 2a;
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của