Đ 1- Tập hợp. Tập hợp con
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
Đ.2- Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng
bằng 601
Đ 3- Phép cộng và phép nhân
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng
bằng 601
Đ 4- Phép trừ và phép chia
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng
bằng 601
Đ 5- Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

2
8

256
n
3
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng
bằng 601
Đ 8 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1.
Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh
hai luỹ thừa cùng cơ sốhoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1)
thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
Nếu m > n thì am >

- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0)
thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 2 + 2 + + 29.
a) 19920 và 200315
b) 339 và 1121
Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
a) 7245 7243 và 7244 7243
Bài 5. Tìm xN, biết:
a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2 100 0 :218
18 chữ số 0
2 3
So sánh S với 5.28.
Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi
của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m và 10.98.
Bài 8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3
với điều kiện mỗi chữ số dùng một và chỉ một lần.

Bài tập bổ sung
Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa:
I/ Lý thuyết
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.
- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào
cũng có tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng

cùng lần lợt là 6 và 1.)
II/ Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.
a) A = 98.96.94.92 91.93.95.97
b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n 0)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7
5

Bài 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích
đó có bao nhiêu thừa số?
Bài 6: Tích 2.22.23 210 . 52.54.56 514 .
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 31+ 32 + 33 + + 330 .
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là
số chính phơng.

Bài tập bổ sung

Chuyên đề 3
Số nguYên tố. Hợp số
Phân tích một số ra thừa số nguYên tố.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Xác định số lợng các ớc của một số:
Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố đợc M =
x

118. Cho a,nN*, biết an M5. Chứng minh a2+150 M25
119. a) Cho n là số không chi hết cho 3. Chứng minh rằng n 2
chia 3 d 1.
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p 2 + 2003 là số
nguyên tố hay hợp số.
Bài 120. Cho n> 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh
rằng hai số n2 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên
tố.
Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
b) Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng
4p + 1 là hợp số
Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p
+ 100 là số nguyên tố hay hợp số?
3). Hỏi p
Phân tích một số ra thừa số nguYên tố
Bài 123: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng
cách hợp lý nhất:
a) 700; 9000;

210 000
b) 500; 1600; 18 000
Bài 124: Mỗi số sau có bao nhiêu ớc:
90 ; 540 ; 3675.
Bài 125: Tìm các ớc của số:
a) 119 b) 625 c) 200.
Bài 126: Tính cạnh của một hình vuông biết diện tích của
nó là:
a) 5929m2;


E. 10100- 7
C. 175 + 244 +
a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
b) Số 360 có bao nhiêu ớc.
c) Tìm tất cả các ớc của 360
3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 1025 b) 113 + 123 + 133 + 143
4. Chứng minh rằng bình phơng của một số nguyên tố khác 2
và 3 khi chia cho 12 đều d 1.
5. Tìm số n N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.
Đ 13. Ước chung và ớc chung lớn nhất
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng
bằng 601
IV. Bài tập
Bài 130: Cho A là tập hợp các số nguyên tố
B là tập hợp các hợp số
M là tập hợp các ớc của 20
N là tập hợp các ớc của 50
a) Tìm A B
b) Tìm M N
Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
chúng là 90 và ƯCLN của chúng là 15.
Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN
của chúng là 27.
Bài 141: Cho a + 5b
M7 (a, b

N). Chứng minh rằng 10a + b
M7. Mệnh đề đảo lại có đúng không?
Bài 142: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ
số nh nhau. Chứng minh rằng a : 9.
Bài 143: Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12
chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số ngời đi vừa đủ số ghế
ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?

Bài tập bổ sung

1. Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12
2. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và
ƯCLN của a,b là 16.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN
của a,b là 6.
4. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
7


Giải
Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hết cho 18;
30; 45.
Vậy a + 10 BC (18,30,45).
BC (18,30,45) = 2.32.5 = 90.
Suy ra a + 10 = 90k ( kN*).
Hay a = 90k 10.
Với k = 1 thì a = 80 (mới có 2 chữ số)
Với k = 3thì a = 170 (có 3 chữ số)
Vậy số cần tìm là 170 8

IV. Bài tập:
Bài 144: Một xe lăn dành cho ngời tàn tật có chu vi bánh trớc
là 63cm, chu vi bánh sau là 186cm. Ngời ta đánh dấu hai
điểm tiếp đất cảu han bánh xe này. Hỏi bánh trớc và bánh
sâuphỉ lăn ít nhất bao nhiêu vòng thì hai điểm đợc đánh
dấu lại cùng tiếp đất một lúc.
Bài 145: Ba học sinh, mỗi ngời mua một loại bút. Giá ba loại
lần lợt là 1200 đồng, 1500 đồng, 2 000 đồng. Biết số tiền
phải trả là nh nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu
bút?


9 6. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc
6 đều d 1. Tìm A biết A < 400.
7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trờng có khoảng từ 235
đến 250 em, khi chia cho 3 d 2, chia cho 4 thì d 3, chia cho
5 d 4, chia cho 6 d 5, chia 10 d 9. tìm số học sinh của khối 6
Chuyên đề 4
Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết
Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao
giờ cũng có ít nhất hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn
chữ số 2.
Bài 154: Cho dãy số : 10; 102; 103; ;1020.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 d 1.
Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có
tổng các chữ số bằng 19.
Bài 159: Cho ba số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng
các chữ số bằng 19.
Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng
tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn
chọn đợc hai số có tổng chia hết cho 4.
Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta
luôn chon đợc ba số có tổng chia hết cho 4.

b) 1 + 2 + 3 + +x = 210

Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978.
Trong hệ đếm CAN CHI năm đó là năm nào?

Bài 170: Chứng minh:
a) 10n + 53 M9 b) 4343 -1717 M10
c) 555 5 chia hết cho 11 nhng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 d
5 ; chia nó cho 9 d 12
Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.
a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là
ngày thứ mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = 4 + 42 + 43 + + 423 + 424 . Chứng minh :
A M20 ; A M21 ; A M420
Bài 174: Cho n = 29k với k N. Với giá trị nào của k thì n là :
a) Số nguyên tố.
b) Là hợp số.

Bài 175: Tìm x, y N biết (x+1)(2y-5) = 143.
Bài 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố
chỉ chứa hai số nguyên tố khác nhau p1 và p2. Biết a3 có tất
cả 40 ớc hỏi a2 có bao nhiêu ớc ?
Bài 177: Tìm a N biết 355 chia a d 13 và 836 chia cho
a thì d .
Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì d 5, chia cho 13 thì
d 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì d bao nhiêu?
Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27

B = {x Z | x < - 4}
C = {x Z | x - 2}
Tìm A B ; B C ; C A
Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có
số 0.
Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số
nguyên âm nhỏ nhát có 2 chữ số có phải là 2 số nguyên
liên tiếp nhau không?
Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a) a00 > -111
b) a99 > - 600
c) cb3 < cba
d) -cba<c85
Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0. biết a là một số âm và
a<b. Hãy sắp xếp 3 số đó theo thứ tự tăng dần.
Bài 188: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng,
mệnh đề nào sai?
a) Nếu a = b thì | a | = | b |
b) Nếu | a | = | b | thì a = b
c) Nếu | a | < | b | thì a < b
Bài 189: Tìm x biết:
a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54
Bài 190: Tìm x, y, z Z biết : | x | + | y | + | z | = 0

12


197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai
số đối của chúng.
198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y
199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biết |x|
+ |y| = 10.
200. Tính tổng :
a) S1 = a + |a| với a Z.
b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a với a Z- và có 101 số
hạng.
13 201*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong
các số đó đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18
số đó cũng là một số âm? Bài toán còn đúng không nếu
thay 18 số bằng 19 số. Đ 3. Phép trừ hai số nguYên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

b) | x+ a | = a với a Z.
208. Tìm x, y Z, biết | x + 35 40 | + | y + 10 11| 0.
209*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100. Tính x y
210. Cho x {-2 ; -1; 0 ; 1; ; 11}
y { -89; -88; - 87; ; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất của x y.
211. Cho x, y Z.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có
GTLN, tìm GTLN đó.
b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có
GTNN, tìm GTNN đó.

14 c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
C = | x 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.
Bài tập bổ sung

Đ 4.QuY tắc chuYển vế. QuY tắc dấu ngoặc
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
IV. Bài tập:

15

Bài tập bổ sung
Đ 5. Phép nhân hai số nguYên

I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một
số nguyên dơng.
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số
nguyên âm.
2. a b ac ab nếu c > 0
a b ac ab nếu c < 0

y 1 x 1 1

x 2;y 2
x 0;y 0
16222. Cho A = (5m 8m 9m2)(-n3 + 4n3)
A=
B=
IV. Bài tập:
220. Tìm x Z biết:

230*. Cho 16 số nguyên. Tích của 3 số bất kì luôn là
một số âm. Chứng minh rằng tích của 16 số đó là một
số dơng.
231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b)
b) (a b)(a b) 17 c) (a + b)(a b)
232. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì
bình phơng của số ở giữa hn tich hai số kia đúng 1 đơn
vị.
233. Cho a = - 20 ; b c = - 5, hãy tìm A biết
A2 = b(a c) c(a b)
234. Biến đổi tổng thành tích:
a) ab ac + ad b) ac + ad bc bd
235. Cho a, b , c Z. Biết ab ac + bc c2 = -1
Chứng minh a và b là hai số đối nhau.
236*. Tìm x, y Z biết :
a) xy + 3x 7y = 21
b) xy + 3x 2y = 11





240. Co a, b , x , y Z trong đó x , y không đối nhau.
Chứng minh rằng nếu ax by Mx+ y thì ay bx Mx + y
241. Tìm các giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y
sao cho
3x 4y = -21 (Phơng trình Điôphăng)
242. Cho S = 1 3 + 32 33 + + 398 399.
a) Chứg minh rằng S là bội của 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 d 1.
243. Tìm số nguyên dơng n sao cho n + 2 là ớc của 111
còn n 2 là bội của 11.
244. Tìm n Z để;
a) 4n 5 Mn
b) -11 là bội của n 1
c) 2n 1 là ớc của 3n + 2.
245. Tìm n Z sao cho :
n 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n 1
246*. Tìm n Z để:
a) n2 7 là bội của n + 3
b) n + 3 là bội của n2 7

M M

Bài tập bổ sung c) |7x
+ 1| = 20
251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 }

; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a b với a A; b B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
252. Số (-3)20 + có phải là tích của hai số nguyên liên
tiếp không ?
253. Tìm x Z biết (x + 5)(3x 12) > 0
254. Tìm x Z biết (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) < 0
255. Tìm x, y Z biết (x 7)(xy + 1) = 9
256. Cho a, b, c, d Z .
Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c +
d.
Chứng minh rằng a = b
257. Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng hiệu
của chúng.

Chuyên đề Phơng trình Điôphăng
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Ví dụ: 1

Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x và y sao cho

10
;
với a < 3
;
-4
a-3
-a -1
; ; ; ;
<x<
< 3x <

x=
19 - 15y
2

=

10 - 3y +

258. Trong các số sau, số nào là phân số:
-5 43 5 9 7: 2a
2
Z)
259. Cho n N, hỏi sau n giờ thì kim gìơ quay đợc bao
nhiêu vòng? Với giá trị nào của n thì vòng quay là số tự
nhiên.
260. Viết các phân số dới đây dới dạng phân số có mẫu số d-
ơng, biết a Z
3 -5 6
2
261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có 1 số đợc dùng hai lần
hãy viết các cặp phân số bằng nhau
262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng
nhau?
15 -17 6 28 3
60 5 15 -20 12
263. Tìm x Z , biết :
a)
111 91
37 13
b)
-84 108
14 9

21



9
267. Tìm x, y Z biết:
x 9
y
-4
18
x
x+1
y
5
0
268. Tìm x, y Z biết:

y-3 Bài 2. Tính chất cơ bản của phân số. Rút gọn phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:


I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:

Bài 7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép
nhân phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:

Bài 8. Chuyên đề : Tổng các phân số viết theo quy luật
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:

Bài 9. Phép chia phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:

Bài 10. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm.
I/ Kiến thức cơ bản


III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:

Đ 14. Ôn tập chơng

M

24