PHN I S
Chủ đề I: rút gọn biểu thức
a/Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý : - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu
thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên;
tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất Do vậy ta phải áp dụng các ph ơng pháp giải tơng ứng, thích
hợp cho từng loại bài.
B/ KI N TH C C B N
*S dng cỏc hng ng thc ỏng nh:
CC HNG NG THC NG NH
1. (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
2. (A
B)
2
=A
2
2
B
3
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
AB+B
2
)
7. A
3
B
3
=(A
B)(A
2
+AB+B
2
)
8.
2
0
0
0
AkhiA
A A
AkhiA
≥
= =
− <
*Các phép biến đổi căn thức
2
2
2
2
) . . ( 0; 0)
) ( 0; 0)
) ( 0)
1
) . ( . 0; 0)
.( )
) ( 0; )
( )
) ( 0; 0; )
m+n=A
2 2 . ( ) oi
m.n=B
A B A B A B
A A
m
m
+)
2 2
2 2
a a ;
a a ;
a a a .
a bv b
a bv ab b
bv ab b
+ −
+ − +
− + +
C. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
+
+
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
a 2010 1 2010 1 2010 1 2010 1
2.2010 2 2010 1 2.2010 2 2010 2 2010
= − + + = − + +
= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
3
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
= + − − − −
÷ ÷
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
Q
2 5
2 3
−
= −
÷
−
+
R 3 13 48= + +
2.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
6.Tìm x, biết:
( )
2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
________________________________________________
Chủ đề II : HÀM S Ố y=ax+b và HÀM S Ố y= ax
2
Hàm số y=ax+b
ax+b (d)y =
5
, , ,
( )y a x b d= +
Ta có: -
, ,
a a (d) va (d )≠ ⇔
cắt nhau
+Nếu
,
b b=
thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung;
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b≠ ⇔
song song với nhau
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b= ⇔
trùng nhau
-
, ,
a.a 1 d va (d )= − ⇔
vuông góc với nhau
+Đường thẳng y=ax+b có tung độ gốc là b, hoành độ gốc là –b/a
+Giao điểm của hai đường thẳng y=kx+bvà y=k’x+b’ là nghiệm của hệ:
y=kx+b = k’x+b’
.Luôn có giao điểm có tọa độ là (m;am
2
)
-Xét đường thẳng y=m và (P) y=ax
2
.Nếu m=0 thì có một giao điểm là gốc tọa độ;
.Nếu am>0 thì có hai giao điểm là hoành độ là
m
x
n
= ±
.Nếu am<0thì không có giao điểm.
-Xét đường thẳngy=mx+n (m
≠
0) và (P) y=ax
2
.Hoành độ giao điểmcủa chúng là nghiệm của phương trình hoành độ: ax
2
=mx+n.
A/ §å thÞ
)0(&)0(
'2'
≠=≠+=
axayabaxy
vµ t ¬ng quan gi÷a chóng
I/ Tìm hệ số a - Điểm thuộc hay không thuộc đồ thị
2
x
y
x
2
(a
0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
a
x
2
= ax + b
a
x
2
- ax b = 0 (1)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P).
2. Tỡm điều kiện (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (1) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
0>
về dạng:
=
2
)( BA
thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+
0
<
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức
về dạng:
=
( )
[ ]
mBA +
2
với
0>m
thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
Bài tập luyện tập:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x
2
.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) khi m = 2
Bµi 6: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng (
1
d
) y = -2(x+1)
1. §iÓm A cã thuéc (
1
d
) kh«ng ? V× sao ?
2. T×m a ®Ó hµm sè (P):
2
.xay =
®i qua A
Bµi 7: Cho hµm sè (P):
2
4
1
xy −=
vµ ®êng th¼ng (d):
12 −−= mmxy
1. VÏ (P)
2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
CHỦ ĐỀ III/ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A/ Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình: (Bậc nhất)
I-Phương pháp:
1-Phương trình ax+b=0(a
≠
0),với a,b là các số đã cho,x là ẩn số là phương trình bậc
nhất một ẩn.
Để giải phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần của nó.Chẳng hạn
với:Phương trình A(x).B(x).C(x)=0 khi và chỉ khi:A(x)=0 hoặc B(x)=0 hoặc C(x)=0.
*Phương trình có chứa hệ số chữ(Giải và biện luận phương trình).( Đã trình bày ở trên
rồi!)
8
*Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối(| |) của một biểu thức:
0
0
AkhiA
A
AkhiA
≥
=
− <
2-Bất phương trình bậc nhất ax+b>0(a#0) hoặc (
ax+b<0;ax+b 0;ax+b 0≥ ≤
)
.Nếu a>0 bất phương trình có nghiệm x>-b/a.
.Nếu a<0 bất phương trình có nghiệm x<-b/a.
*Chú ý khi nhân cả hai với cùng với một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
3-Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
, , ,
ax+by=c
a x+b y c
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
9
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=
⇔ =
=
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
10
c)
2 2
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
11
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8
+ − =
+ =
+ =
+ −
− + =
− =
− =
− =
− +
Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
=
+ =
=
⇔ ⇔
+ =
=
− + =
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =
+ =
+ − = − = + + =
− + = + + =
+ =
+ =
+ + =
4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
+ − =
=
Dng 2:b=0 khi ú (1)
ax
2
+c=0
x=
c
a
-Nu
c
a
0 thỡ x=
c
a
-Nu
c
a
<0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
==+
=+=
0
0
0))((0
2
2
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
22084
22
=== xxx
B
Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau:
a) 7x
2
- 5x = 0 ; b) 3x
2
+9x = 0 ; c) 5x
2
20x = 0
d) -3x
2
+ 15 = 0 ; e) 3x
2
- 53 = 0 ; f) 3x
2
+ 6 = 0
g) 4x
2
0
=
: Phng trỡnh cú nghim kộp
1 2
2
b
x x
a
= =
0
<
:Phng trỡnh vụ nghim.
,
0 >
:Phng trỡnh cú hai nghim
phõn bit:
, ,
1,2
b
x
a
=
,
0 =
:Phng trỡnh cú nghim kộp
,
= =
-Nếu có hai số u và v sao cho:
.
u v S
u v P
+ =
=
2
( 4 )S P≥
thì u,v là hai nghiệm của phương trình:
2
0X SX P− + =
-Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= =
0
P
S
∆ ≥
>
>
-Pt (1) có hai nghiệm âm
0
0
0
P
S
∆ ≥
>
<
-Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ac<0 hoặc P<0.
V-Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào
đó:
*Các dạng cụ thể là 1;2;3:
2 2
= + =
= +
ví dụ giảI p.t bằng công thức nghiệm:
Giải phơng trình:
043
2
= xx
( a =1; b = - 3; c = - 4)
Ta có:
25169)4.(1.4)3(
2
=+==
0525 >==
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
4
1.2
5)3(
1
=
+
=x
1
1.2
5)3(
2
=
3x + 1 = 0 f/ 5x
2
4x + 6 = 0
g/ 7x
2
- 9x + 2 = 0 h/ 23x
2
- 9x - 32 = 0 i/ 2x
2
+ 9x + 7 = 0
k/ 2x
2
- 7x + 2 = 0 l/ x
2
- 6x + 8 = 0 m/ x
2
+ 6x + 8 = 0
Bài3:
a/ (x + 2)
2
- 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)
2
- x + 1 = (x - 1)(x - 2)
c/ 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) 15 d/ x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
d/ 2x
2
+ 4x = 3 f, 3x
2
2
2
x = ình: ax
2
+ bx + c = 0
Bài tập luyện tập Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau:
a) 5x
2
- 6x - 1 = 0 ; b) -3x
2
+14x 8 =0 ; c) 4x
2
+ 4x + 1 = 0
d) 13x
2
12x +1 = 0 ; e) 3x
2
2x 5 = 0 ; f) 16x
2
8x +1 = 0
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0) bằng P
2
đặc biệt:
nghiệm
x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
3. Ví dụ:
Giải phơng trình:
0352
2
=+ xx
Ta có:
2
3
;103)5(2
21
===++=++ xxcba
Giải phơng trình:
043
2
= xx
Ta có:
4
1
)4(
;10)4()3(1
21
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
2
1
480840
>>>+> mmm
Bài tập luyện tập
B i 1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim.
a/ x
2
+ 3x + 3m + 5 = 0 b/ x
2
- 2x + 4m - 1 = 0
c/ - x
2
+ 4x + m + 2 = 0 d/ x
2
+ (2m + 1)x + m
2
+ 1 = 0
Bài 2: Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng trỡnh: x
2
+ kx + 3 = 0
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?
Giải:
kkkcba 44).(1.42);2;1(
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440 ===+= mkk
Bài tập luyện tập
B i1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp.
a/ x
2
4x + k = 0 b/ x
2
+ 5x + 8m + 4 = 0
c/ - x
2
- 5x + 3m + 1 = 0 d/ x
2
(k + 2)x + k
2
+ 1 = 0
Bài2: Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp.
nnncba 44.1.42);2;1(
2
=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440 ><<= nnn
Bài tập luyện tập Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ?
a/ x
2
+ 2x + m + 3 = 0 b/ - x
2
- 3x + 2m - 1 = 0
c/ mx
2
(2m 1)x + m + 1 = 0 d/ mx
2
2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr ớc
.Tìm nghiệm thứ 2
Cách tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr ớc
+) Ta thay x = x
1
vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số
Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình
Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
x
xxxx
xx
Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x
2
- 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x
2
- (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1.
(Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của
phơng trình
Trình bày ở mục 6
[ ]
204)44()5.(1.4)2(
2
2
++== mmmmm
844 2248
222
++=+= mmmm
08)4(
2
>+= m
Vì
0>
với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập
B i 1 . Cho phng trỡnh: 2x
2
mx + m 2 = 0
Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m.
Bài 2:
19
Cho phng trỡnh: x
2
(k 1)x + k 3 = 0
1/Gii phng trỡnh khi k = 2
2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
Bài 3:
a
b
xx =+
21
121
22
==+ xx
Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có:
10451.21
==+
mm
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x
2
- 2x + 5.1 - 4 = 0 x
2
- 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có:
a
c
xx =
21
.
11.1
22
== xx
Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =
= =
Vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bµi tËp luÖn tËp:
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm:
1/ x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2/ x
1
= 36 vµ x
2
= -104
BTBS thêm phần Giải các phương trình sau
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= −
Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
+ + = − + + =
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
2
là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−
( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
⇔
=
+ =
1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13
≥ −
+ = −
⇔
= −
+ =
mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
− − = + = ≥
÷ ÷
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
− − − − = + − + + =
÷
2.Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình. Hãy
tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
4.Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có)
cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.24
Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
A.Lý Thuyết.
I.Phơng pháp giải chung.
Bớc 1. Lập PT hoặc hệ PT:
-Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
-Biểu đạt các đại lợng khác theo ẩn ( chú ý thống nhất đơn vị).
-Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phơng trình hoặc hệ
phơng trình.
Bớc 2 Giải PT hoặc hệ PT.
Bớc 3. Nhận định so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời ( bằng câu viết )
nêu rõ đơn vị của đáp số.
II.các dạng toán cơ bản.
1.Dạng toán chuyển động;
2.Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học;
3.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng;
2
vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đờng AB mất
bao lâu.
25
Copyright: Tài liệu đại học ©