CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN,
ĐẶT CÁC ĐỀ TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Năm học: 2013 - 2014
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lí luận:
Ở bậc tiểu học môn toán là một trong những môn học hết sức quan
trọng. Môn toán nhằm giúp học sinh phát triển óc sáng tạo, kỹ năng tưởng
tượng, suy luận phán đoán và giải quyết vấn đề một cách chính xác góp
phần hình thành, phát triển toàn diện nhân cách học sinh. Vì vậy môn toán
là một môn học khó, khó không những ở phần tiếp thu kiến thức mới mà
khó ở cả phần vận dụng kiến thức vào giải các bài tập.
Đối với học sinh Tiểu học nhận thức nặng về cảm tính, cụ thể, năng
lực tư duy còn hạn chế do đó trong quá trình giải các bài tập các em còn
máy móc, thụ động và rất lúng túng khi phân tích, tưởng tượng, liên kết
các mối quan hệ của kiến thức để giải bài tập hơi phức tạp.
Môn toán ở tiểu học được cấu trúc bao gồm các mảng kiến thức về: số
học, các yếu tố đại số, đo đại lượng, các yếu tố hình học và giải bài toán
có lời văn. Với đặc điểm của môn học, đặc điểm tư duy của học sinh như
trên và với nội dung chương trình cũng như các dạng toán ở tiểu học vô
cùng đa dạng và phong phú nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đưa ra
mỗi mạch kiến thức một vài bài tập đại diện để phân tích từ đó phát triển
ra một số đề bài phức tạp hơn so với bài toán ban đầu giúp học sinh khá
giỏi lớp 4, 5 tự giải, đồng thời giúp các bạn đồng nghiệp có thể có những
hướng mới trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán hay tự ra đề bài
cho học sinh làm.
2. Cơ sở thực tiễn:
Căn cứ nội dung chương trình môn toán ở tiểu học nói chung và ở lớp
4, 5 nói riêng, Căn cứ vào quá trình giảng dạy đại trà cũng như bồi dưỡng

Ví dụ 1: Số học sinh của 3 lớp lần lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32
học sinh. Hỏi trung bình cộng mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? (số 2 trang
27 sách toán 4).
Phân tích: Đây là một bài toán rất đơn giản để tính được trung bình
mỗi lớp có bao nhiêu học sinh trước hết phải tính tổng số học sinh cả 3
lớp. Sau đó thực hiện phép chia cho 3.
Giải:
Tổng số học sinh của 3 lớp là:
25 + 27 + 32 = 84 ( học sinh )
Trung bình mỗi lớp có:
84 : 3 = 28 ( học sinh )
Mở rộng: Sau khi giải bài toán này giáo viên mở rộng thêm cho học
sinh thêm bằng câu hỏi: Nếu biết trung bình cộng, muốn tính tổng thì ta
làm thế nào?
Từ bài toán trên phát triển thành các bài toán khác cho học sinh làm
như sau:
1. Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp, trong đó lớp 4A có 25 học
sinh, lớp 4B có 27 học sinh và trung bình số học sinh của mỗi lớp là 28
học sinh. Hỏi lớp 4C có bao nhiêu học sinh?
Phân tích: Bài toán này cho biết trung bình cộng => sẽ biết được tổng
số học sinh của cả khối 4 từ đó có thể dễ dàng giải bài toán.
Giải:
Tổng số học sinh của cả 3 lớp khối 4 là:
28 x 3 = 84 ( học sinh )
Số học sinh của lớp 4C là:
84 - ( 25 + 27) = 32 ( học sinh )
Đáp số: 32 học sinh
2. Tại một trường tiểu học có 3 lớp 4. Trong đó lớp 4A có 25 học
sinh, lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh 2 lớp 4A và
4B là 1 học sinh, lớp 4C có 32 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lớp có bao

Ta có sơ đồ:
4
4A + 4B 4C
Từ sơ đồ ta thấy tổng số HS của 2 lớp 4A và 4B bằng 2 phần bớt đi 4
em. Do đó trung bình số HS của lớp 4A và 4B bằng một phần trừ đi 2 em
suy ra số HS của lớp 4B bằng 1 phần bớt đi 1 em và số HS lớp 4A bằng 1
phần bớt đi 3 em nên 1 phần ứng với số HS là: 25 + 3 = 28 ( em )
Số HS của 3 lớp khối 4 là:
28 x 3 = 84 ( em )
Đáp số: 84 em
4. Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp. Biết rằng trung bình mỗi
lớp có 28 HS, trong đó số HS của lớp 4B ít hơn của lớp 4C là 5 em và
nhiều hơn lớp 4A là 2 em. Tính xem mỗi lớp có bao nhiêu HS?
Phân tích: Biết trung bình mỗi lớp có 28 HS => biết tổng số HS của cả
khối 4 => vẽ sơ đồ để giải.
Giải:
Tổng số HS của 3 lớp là:
28
×
3 = 84 (em)
Ta có sơ đồ:
Số HS lớp 4A
Số HS lớp 4B 2
Số HS lớp 4C 5
Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS của lớp 4A là:
(84 - 2 - 2 - 5) : 3 = 25 (em)
Số HS của lớp 4B là:
25 + 2 = 27 (em)
Số HS của lớp 4C là:
27 + 5 = 32 (em)

cb
a
×
Vậy:
cb
a
×
=
b
1
-
c
1
Từ bài toán này có thể mở rộng, phát triển thành các bài toán cho HS
giải như sau:
1. Tính tổng sau bằng cách thuận tiện nhất:
2
1
+
32
1
x
+
43
1
x
+
54
1
x

54
1
x
=
4
1
-
5
1
Vậy:
2
1
+
32
1
x
+
43
1
x
+
54
1
x
= 1 -
2
1
+
2
1

+
43
1
x
+ …….+
9998
1
x
+
10099
1
x
(Cách giải bài này tương tự như bài ở trên)
b.
6
1
+
12
1
+
20
1
+
30
1
+ …….+
90
1
+
110

mỗi số hạng thành hiệu của 2 phân số
1311
2
x
=
11
1
-
13
1
,
1513
2
x
=
13
1
-
15
1
;
…….)
d.
4
3
+
28
3
+
70

Đặt tổng đó bằng S rồi tính S x 2, ta có:
S x 2 =
31
2
x
+
53
2
x
+
75
2
x
+ ….+
9997
2
x
Bài toán trở về giống với bài 2c. Tính kết quả rồi chia đôi để tính S.
b.
51
2
x
+
95
2
x
+ ……+
9793
2
x

S : 3. Cách giải giống như các bài trên, tính được kết quả đem nhân 3 để
tính S.
d.
75
4
x
+
97
4
x
+
119
4
x
+ … +
9997
4
x
Phân tích: Vì 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2, …., 99 - 97 = 2 nên phải làm xuất
hiện số 2 ở tử số bằng cách: Đặt tổng trên bằng S rồi tính S : 2. Tính được
kết quả đem nhân 2 để tính S.
Ví dụ 3: Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N nếu cộng thêm
3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N.
Phân tích: Ta thấy ở bài này đại lượng M là không đổi. Vậy chúng ta
cần dựa vào M để giải bài toán này.
Giải:
Ban đầu M gấp 5 lần N nên N =
5
1
M

M
Sau khi N bớt 2 đơn vị thì : N - 2 =
6
1
M
2 đơn vị ứng với:
5
1
-
6
1
=
30
1
(M)
M = 2 :
30
1
= 60; N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60, N = 12.
2. M và N là hai số tự nhiên, biết M gấp 5 lần N, nếu bớt M đi 12 đơn
vị thì M gấp 4 lần N. Tìm 2 số M và N.
Phân tích: Ở bài toán này N là đại lượng không đổi.
Giải:
Ban đầu M = 5 N
Sau khi bớt M đi 12 đơn vị thì : M - 12 = 4 N
12 đơn vị ứng với: 5N - 4 N = N
Vậy N = 12; M = 12x 5 = 60
Đáp số: M = 60, N = 12.
3. Cho 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N. Nếu thêm vào M 2

Nhưng ta thấy ở đây thêm vào N và bớt ở M đi cùng 1 số đơn vị như nhau
(3) nên tổng (M + N) là không đổi. Nên để giải bài toán này cần dựa vào
tổng của M và N.
Giải:
M = 5N nên coi N là 1 phần thì M sẽ gồm 5 phần như thế. Vậy M + N
= 6 (phần) => N =
6
1
(M + N)
Sau khi thêm vào N 3 đơn vị và bớt ở M 3 đơn vị thì:
N + 3 =
195
5
+
(M + N) =
24
5
(M + N)
3 đơn vị ứng với:
24
5
-
6
1
=
24
1
(M + N)
M + N = 3 :
24

3 đơn vị ứng với:
16
21
-
4
5
=
16
1
(M-N)
M - N = 3 :
16
1
= 48
M =
4
5
x 48 = 60
N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60; N = 12
Ví dụ 4: Cho phân số
16
15
. Hãy viết các phân số đã cho dưới dạng tổng
của các phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau.
Phân tích: Để phân tích phân số
16
15
thành tổng các phân số có tử số = 1
và mẫu số khác nhau thì trước hết ta cần phân tích phân số đó thành tổng

4
1
+
2
1
( Hoàn toàn tương tự với các bài toán mà tay phân số
16
15
bằng các
phân số
27
25
,
18
17
,
35
13
,
32
31
,
16
11
,
30
14
, … )
Hoặc mở rộng thêm các bài như sau:
1. Hãy viết phân số

30
1
+
15
1
+
6
1
+
5
1
Cách 2:
30
14
=
30
653 ++
=
30
3
+
30
5
+
30
6
=
10
1
+

cùng mẫu số: a.
5
4
b.
21
17
Phân tích: Nếu như bài toán ở ví dụ 4 phân tích phân số theo hướng
thành tổng các phân số rút gọn được (tử số là ước của mẫu số) thì ngược
lại ở bài toán này ta lại phân tích tử số thành tổng của các số mà mẫu số
không chia hết (không phải là ước của mẫu số).
a. Ta thấy: 4 = 1 + 3 = 2 + 2 ( 1, 2, 3 đều không phải là ước của 5). Từ
đó ta có cách giải như sau:
Giải:
Cách 1:
5
4
=
5
31+
=
5
1
+
5
3
Cách 2:
5
4
=
5

5
1
+
5
1
+
5
1
+
5
1
b. Cách giải tương tự bài a.
3. Phân tích phân số
12
11
thành tổng 2 phân số khác nhau và tối giản?
Phân tích: Đối với bài này chúng ta chỉ việc phân tích tử số 11 thành
tổng 2 số khác nhau chứ không cần quan tâm đến các dấu hiệu chia hết
hay không chia hết như ở các bài trên, ở đây đề bài yêu cầu phân số tối
giản nên sau khi phân tích xong phân số nào rút gọn được thì ta rút gọn
đến tối giản. Từ đó ta có các cách phân tích số 11 thành tổng 2 số như sau:
11 = 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 (5 cách)
Giải:
Cách 1:
12
11
=
12
1
+

12
8
=
4
1
+
3
2
Cách 4:
12
11
=
12
4
+
12
7
=
3
1
+
12
7
Cách 5:
12
11
=
12
5
+

Vậy diện tích ADB = diện tích ACB.
Mở rộng: Từ bài toán này HS có thể vận dụng để giải các bài tập sau:
1. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. Hãy chứng tỏ rằng
diện tích tam giác AID bằng diện tích tam giác BIC (hoặc so sánh diện
tích tam giác AID và BIC), biết I là giao điểm AC và BD.
A B
I
D C
Tóm tắt cách giải:
Diện tích DAC = diện tích DBC (vì chiều cao hạ từ A và B bằng
nhau, chung đáy DC).
Mặt khác: Diện tích AID = diện tích DAC - diện tích DIC
Diện tích BIC = diện tích DBC - diện tích DIC
=>Diện tích AID = diện tích BIC
2. Trong hình vẽ sau, ABCD là hình thang, biết diện tích tam giác
APD là 12 cm
2
, diện tích tam giác BQC là 13 cm
2
. Tính diện tích tứ giác
PMQN ?
A M B
P Q
D C
N
Tóm tắt cách giải:
Nối MN ta có: Diện tích DAN = diện tích DMN (chiều cao hạ từ
A và M bằng nhau và cùng bằng chiều cao hình thang MAND, chung đáy
DN).
Diện tích APD = diện tích DAN - diện tích DPN

I
D C
Tóm tắt cách giải:
a. Diện tích AID =
2
1
diện tích DIC (chung chiều cao từ D đáy AI
=
2
1
IC) (1)
Diện tích BIC =
2
1
diện tích DIC (chung chiều cao hạ từ C, đáy BI
=
2
1
ID) (2)
Từ (1) và (2) => Diện tích DAC = diện tích DBC mà 2 tam giác
này có chung đáy DC nên chiều cao hạ từ đỉnh A và đỉnh B xuống đáy
DC phải bằng nhau => tứ giác ABCD là hình thang.
b. Ta có: Diện tích IAB =
2
1
diện tích IBC (chung chiều cao từ B
đáy AI =
2
1
IC) (1)

toán tham khảo, báo chí, ….) nói riêng chưa nhiều, thời gian thể nghiệm
đề tài còn hạn chế nhưng bước đầu đã mang lại kết quả khả quan qua bài
làm của học sinh. Các em không còn bị động trước các bài toán khác lạ
nữa mà nhiều em còn rất thích thú phân tích, tìm tòi để tìm ra cách giải
tuy nhiên vẫn còn một số ít em khi giải còn mang tính áp đặt, máy móc,
thiếu linh động dẫn đến kết quả làm bài chưa cao. Nguyên nhân chính do
việc nắm kiến thức cơ bản chưa chắc chắn, trình độ của học sinh cũng
không đồng đều nên mức độ tiếp thu của mỗi em rất khác nhau, mặt khác
việc phân tích tìm ra dạng bài là việc vô cùng khó khăn, các bài toán được
mở rộng ra từ dạng bài mẫu nhưng khi giải cũng mang đầy tính sáng tạo
hơn nữa có khi cùng dạng nhưng mỗi bài mỗi cách diễn đạt nên đòi hỏi
học sinh phải biết tưởng tượng liên kết kiến thức để giải.
Kết quả cụ thể của 2 năm áp dụng chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh
giỏi lớp 5 như sau: Sau khi áp dụng chuyên đề tôi ra bài khảo sát cho lớp
bồi dưỡng lớp 5 của trường, kết quả thu được:
- Năm học 2011 - 2012 trường có 26/30 em bồi dưỡng đạt điểm 5
trở lên
- Năm học 2012 - 2013 trường có 24/28 em bồi dưỡng đạt điểm 5
trở lên
Từ những thành công bước đầu cũng như những vấn đề đang tồn tại
khi thể nghiệm cho học sinh chuyên đề này, tôi rút ra một số đề xuất và
bài học kinh nghiệm là:
5. Đề xuất và bài học kinh nghiệm:
Trong quá trình giảng dạy nói chung và hướng dẫn thực hành giải bài
tập nói riêng để đạt kết quả cao giáo viên cần lưu ý những vấn đề sau:
- Cần trang bị cho học sinh có một lượng kiến thức cơ bản phù hợp,
vững chắc đạt mục tiêu yêu cầu.
- Trong quá trình giảng dạy không nên quan niệm chỉ giảng thật kỹ ở
phần lí thuyết mà ít quan tâm đến việc phân tích, mở rộng trong khi
hướng dẫn học sinh phần bài tập thực hành.