TRƯỜNG THPT LONG MỸ
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC
( có giải chi tiết )
B06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a 2
, SA = a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm
của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB.
HD: Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ∆ABD ⇒ BI =
2
BM
3
=
a 2
3
và AI =
1 a 3
AC
3 3
=
∆ABI có BI
2
+ AI
2
=
2 2
2 2
2a 3a
a AB
3 9

=
SABC
1 1 1
V . BA.BC.SA
6 6 6
=
=
1
a.a 2.a
36
⇒ V
ANIB =
3
a 2
36
C2:
Xét ∆ABM và ∆BCA vuông đồng dạng ?
·
·
·
·
·
0 0
ABM +BAC =BCA+ BAC =90 90AIB MB AC⇒ = ⇒ ⊥
(1)
SA ⊥(ABCD) ⇒SA ⊥MB (2).
Từ (1) và (2) ⇒MB ⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥(SAC).
Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình của ∆SAC
⇒NH = SA/2= a/2 và NH//SA nên NH ⊥(ABI), do đó V
ANIB

2
= A'D
2
- A'B
2
= a
2
,suy ra ∆BO'D đều BH= ? .
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
S
AOO'
= a
2
/2
Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là:
2
1 3
.
3 2 2
a a
V = =
D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
GV BÙI VĂN NHẠN ĐT 0908.753.116 1
y
z
x
B
S

.
1 3
. .
3 6
S ABC ABC
a
V SA S
∆
= =
(đvtt)
+ ∆SAB vuông tại A có AM là đường cao
⇒ SM.SB = SA
2
⇒
2
2
4
5
SM SA
SB
SB
= =
+ ∆SAC vuông tại A có AN là đường cao
⇒ SN.SC = SA
2
⇒
2
2
4
5

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
HD:
Gọi H là trung điểm của AD.
Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD.
Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên
SH⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BP (1)
Xét hình vuông ABCD ta có
∆CDH = ∆BCP
CH ⊥ BP (2) .
Từ (1) và (2) ⇒ BP⊥ (SHC) .
Vì MN//SC và AN // CH ⇒(AMN) // (SHC)
Do đó: BP⊥(AMN) ⇒ BP⊥ AM.
Kẻ MK ⊥ (ABCD) , Ta có: V
CMNP
= (1/3)MK.S
CNP
2 3
1 3 1 3
; . ;
2 4 2 8 96
CNP CMNP
a a a
MK SH S CN CP V= = = = =

B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
HD:
Gọi H là tâm ABCD ⇒SH ⊥(ABCD) .

H
D
A
B
C
S
TRƯỜNG THPT LONG MỸ
D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC= BAD= 90
0
, BA = BC = a, AD =
2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) .
HD:
Kẻ CE vuông góc AD, thì tứ giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a. Sử dụng định lý
Pitago ta có: CD
2
=2a
2
,SC
2
= 4a
2
,SD
2
= 6a
2
;
SD

Gọi H là trung điểm của BC.
Suy ra A'H ⊥(ABC) và AH =
2 2
1 1
3
2 2
BC a a a= + =
Do đó : A'H =A'A
2
– AH
2
= 3a
2
⇒A'H =
3a
Vậy
3
'.
1
' .
3 2
A ABC ABC
a
V A H S= =
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'
2
= A'B'
2
+ A'H
2

A
C
B
C'
B'
A'
N
M
D
A
B
C
S
H
E
E
M
A
B
C
A'
B'
C'
A
C
E
S
K
D
I

/4 ; ME
2
= AM
2
+ AE
2
= 5a
2
/4 .Suy ra tam giác SME cân tại E nên và
·
ME/2 / 2 1
;cos =
SM
5 / 2 5
a
SME
a
ϕ ϕ
= = =

D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
2a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
HD:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ là
V
ABC.A'B'C'
= AA’.S
ABC