SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Đề tài:
MỘT SỐ KĨ NĂNG DẠY SO SÁNH PHÂN SỐ
Tác giả: Nguyễn Diệp Hưng
Đơn vị công tác: Trường Tiểu học Bồng Sơn
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết
Như chúng ta đã biết, ở Tiểu học các em được học nhiều môn học khác nhau.
Mỗi môn học đều có mục đích đào tạo riêng, song tất cả đều có mục tiêu chung là hình
thành cho các em những kiến thức cần thiết về tự nhiên- xã hội, con người, thiên
nhiên, để các em có những kiến thức cần thiết làm nền tảng cơ bản để có thể tiếp tục học
các bậc học trên. Trong các môn học đó thì môn Toán và môn tiếng Việt là hai môn học
chính ở Tiểu học.
Là giáo viên nhiều năm dạy bồi dưỡng môn Toán cho học sinh khá giỏi, khi dạy đến
phần So sánh phân số, tôi nhận thấy hầu hết học sinh chỉ so sánh thành thạo các phân số
mà các em đã được học qua chương trình sách giáo khoa.
Khi phải so sánh các phân số có tử số khác nhau, mẫu số cũng khác nhau, cả hai
phân số đều lớn hơn 1 hay đều bé hơn 1 (mà không được phép qui đồng tử số hay qui
đồng mẫu số) thì hầu hết các em bị lúng túng ngay.
Chẳng hạn: Không qui đồng mẫu số hoặc tử số, hãy so sánh các phân số:
a/
9
13
3
7
và
b/
18
15
8

30
25
và
91
75
h/
21
14
và
63
53
i/
13
4
và
22
7
k/
4545
1313
45
13
và

1
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Sở dĩ học sinh gặp khó khăn khi phải so sánh các phân số trên là vì với kiến thức
mà các em đã được học qua chương trình sách giáo khoa là chưa đủ để giải quyết các bài
so sánh đó. Tuy vậy vẫn có một số rất ít học sinh cũng có thể so sánh được nhưng các em
phải “vất vả” lắm, và cũng không qui nạp được phương pháp so sánh từng dạng như thế

+ So sánh phân số cùng tử số. (Không có tiết lí thuyết riêng biệt, chỉ thông qua tiết
luyện tập so sánh các phân số khác mẫu số để cung cấp cho học sinh cách so sánh các
phân số cùng tử số).
Như vậy kiến thức về So sánh phân số được đưa ra trong sách giáo khoa (gồm
các dạng so sánh nói trên) chỉ đảm bảo yêu cầu cần học của học sinh theo qui định chuẩn
kiến thức và kĩ năng. Trong khi đó kiến thức về so sánh các phân số ở mức độ nâng cao
chỉ được đề cập trong một số tài liệu tham khảo và chỉ dành cho học sinh khá giỏi, cũng
chưa có tài liệu nào đề cập đến lí thuyết hoặc chỉ ra phương pháp so sánh cụ thể cho từng
dạng so sánh, do vậy khi tham khảo các tài liệu này, học sinh gặp nhiều lúng túng, khó
phân định, nhận diện và vận dụng phương pháp nào để so sánh một cách hiệu quả nhất.
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Là giáo viên đã nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng môn Toán cho đối tượng học
sinh giỏi, qua thực tế giảng dạy về mảng So sánh phân số, tôi đã đúc kết được những
nguyên nhân khiến học sinh gặp lúng túng khi đứng trước những bài tập về so sánh các
phân số mà không được phép qui đồng mẫu số hoặc tử số, bởi các lí do như sau:
- Các dạng so sánh phân số ở mức độ phức tạp chưa được đề cập đến trong nội dung
chương trình sách giáo khoa, do vậy đối với các em thì đây là một kiến thức khó và hoàn
toàn mới lạ.
3
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
- Thời lượng của một tiết học toán không nhiều, hơn nữa trong lớp có nhiều đối tượng
khác nhau, do vậy giáo viên khó có thể đưa ra những bài tập về so sánh các phân số ở
mức độ nâng cao cho học sinh.
- Trong các tài liệu tham khảo dành cho đối tượng học sinh khá giỏi, các bài tập so
sánh phân số chỉ đưa ra các bước so sánh chứ chưa chỉ ra cách nhận diện đặc điểm của
các phân số đã cho. Do vậy học sinh khi gặp các bài so sánh này thì có thể các em cũng
so sánh được, tuy nhiên để qui nạp thành phương pháp cụ thể thì các em chưa khái quát
được.
Trong khi đó, ở các đề thi học sinh giỏi các cấp thì các bài tập về phân số nói
chung, so sánh phân số nói riêng chiếm một lượng điểm số đáng kể.

cùng một số đơn vị.
Dạng tổng quát:
2
2
1
1
M
T
và
M
T
; tróng đó: T1 – M1 = T2 – M2
(T: là tử số; M: là mẫu số)
Ví dụ: So sánh
3
7
và
9
13
(Không qui đồng mẫu số hoặc tử số).
Cả
3
7
và
9
13
đều lớn hơn 1
Và 7 – 3 = 13 – 9 = 4
a. Chuẩn bị kiến thức cho học sinh.
5

Nếu c > d thì a > b
6
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
b. Nhận xét đặc điểm của hai phân số
3
7
và
9
13
.
-Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của hai phân số đã cho.
Học sinh nêu được: Cả hai phân số đều lớn hơn 1, tử số đều lớn hơn mẫu số là 4 đơn
vị.
c. Hướng dẫn học sinh cách so sánh hai phân số
3
7
và
9
13
.
- Lấy từng phân số trừ đi 1.
3
7
- 1 =
3
49
13

3
4
;
9
13
- 1 =
9
4
Vì
3
4
>
9
4
nên
3
7
>
9
13

d. Cách so sánh: Trường hợp các phân số đã cho đều lớn hơn 1, có tử số lớn hơn
mẫu số cùng một số đơn vị, ta tiến hành như sau:
- Lấy lần lượt từng phân số đã cho trừ đi 1.
7
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
- So sánh các hiệu tìm được. Hiệu của phép trừ nào lớn hơn thì số bị trừ của phép trừ
đó lớn hơn.
đ. Bài tập vận dụng.
So sánh

2
11
>
4
11
>
9
11
nên
2
13
>
4
15
>
9
20
1.1.2.Trường hợp 2: Các phân số đã cho đều nhỏ hơn 1, có tử số nhỏ hơn mẫu số
cùng một số đơn vị.
Dạng tổng quát:
2
2
1
1
M
T
và
M
T
; tróng đó: M1 – T1= M2 – T2

20 – y = 6
- Sau đó giáo viên cho học sinh nhận xét về hai phép trừ đã cho.
Học sinh nêu được:
+ Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau (đều bằng 20).
+ Hiệu của phép trừ thứ nhất nhỏ hơn hiệu của phép trừ thứ hai (4 < 6).
- Giáo viên đặt vấn đề: Nếu không cần tính giá trị của hai số trừ x và y, em có thể so
sánh x và y được không?
Học sinh sẽ so sánh được, bởi vì: Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau (đều bằng
20), mà hiệu của phép trừ thứ nhất nhỏ hơn hiệu của phép trừ thứ hai (4 < 6) nên số trừ
của phép trừ thứ nhất sẽ lớn hơn số trừ của phép trừ thứ hai (x > y).
- Từ đó, giáo viên giúp học sinh củng cố lại tính chất của phép trừ: Hai phép trừ có số
bị trừ bằng nhau, hiệu của phép trừ nào nhỏ hơn thì số trừ của phép trừ đó lớn hơn.
Tổng quát: a – n = c
a – m = d
Nếu c < d thì n > m
b. Nhận xét đặc điểm của hai phân số
8
5
và
18
15
.
- Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của hai phân số đã cho.
Học sinh nêu được: + Cả hai phân số đều nhỏ hơn 1.
+ Tử số đều nhỏ hơn mẫu số 3 đơn vị.
c. Hướng dẫn học sinh cách so sánh hai phân số
8
5
và
18

18
15
được không?
Học sinh sẽ so sánh được :
8
5
<
18
15
* Cách trình bày:
Ta có: 1-
8
5
=
8
3
; 1-
18
15
=
18
3
Vì
8
3
>
18
3
nên
8

1
=
5
4
; 1 -
10
6
=
10
4
; 1 -
7
3
=
7
4
; 1 -
12
8
=
12
4
Vì
5
4
>
7
4
>
10

M
T
. Trong đó: T1 > T2 ; M1 < M2
a. Đặt vấn đề.
- Giáo viên đưa ra hai phép chia: 30 : 5 và 20 : 10
- Giáo viên nêu vấn đề: Không thực hiện phép chia, em hãy cho biết thương của phép
chia nào lớn hơn? Vì sao?
Học sinh sẽ nêu được: Thương của phép chia thứ nhất lớn hơn thương của phép
chia thứ hai (30 : 5 > 20 : 10). Bởi vì:
+ Số bị chia của phép chia thứ nhất lớn hơn số bị chia của phép chia thứ hai (30 > 20).
+Số chia của phép chia thứ nhất nhỏ hơn số chia của phép chia thứ hai (5 < 10).
- Giáo viên tiếp tục yêu cầu học sinh chuyển hai phép chia trên thành hai phân số
tương ứng.
30 : 5 =
5
30
11
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
20 : 10 =
10
20
- Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết phân số
5
30
và phân số
10
20
, phân số nào lớn
hơn? Vì sao?
Học sinh sẽ nêu được: Vì 30 : 5 > 20 : 10 nên chắc chắn

30
mà
10
30
>
10
20
nên
5
30
>
10
20
*Cách thứ hai: Chọn phân số trung gian là phân số
5
20
Ta có:
5
30
>
5
20
mà
5
20
>
10
20
nên
5

35
11
và
23
17
; cặp phân số
73
83
và
63
93
;
đ. Cách chọn phân số trung gian.
Có hai cách chọn phân số trung gian.
*Cách thứ nhất: Chọn phân số trung gian là phân số có tử số chính là tử số của
phân số thứ nhất, mẫu số chính là mẫu số của phân số thứ hai.
*Cách thứ hai: Chọn phân số trung gian là phân số có tử số chính là tử số của phân
số thứ hai, mẫu số chính là mẫu số của phân số thứ nhất.
Ví dụ: So sánh hai phân số
73
83
và
63
93
Ta chọn phân số trung gian là
63
83
hoặc chọn phân số trung gian là
73
93

83
<
63
93
13
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
*Cách thứ hai: Ta chọn phân số trung gian là
73
93
Ta có
73
83
<
73
93
mà
73
93
<
63
93
nên
73
83
<
63
93

h. Bài tập mở rộng.
Phương pháp so sánh dựa vào phân số trung gian có thể so sánh được ba, bốn,

>
13
8
Nên
11
9
>
13
8
(1)
-Tiếp theo ta so sánh cặp phân số thứ hai và thứ ba (
13
8
và
15
7
)
Chọn phân số trung gian là:
15
8
Ta có:
13
8
>
15
8
mà
15
8
>

và
12
23
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh sắp xếp lại các phân số đã cho.
Chẳng hạn: Sắp xếp lại
13
21
;
12
23
và
11
25
xuất hiện dạng tổng quát (có 21 < 23 < 25;
13 > 12 > 11).
Hoặc: Sắp xếp lại
11
25
;
12
23
và
13
21
xuất hiện dạng tổng quát (có 25 > 23 > 21;
11 < 12 < 13).
k.2. Trong các phân số cần so sánh, có phân số cần phải gấp tử số và mẫu số lên
một số lần trước khi so sánh.
Ví dụ: So sánh
83

80
26
và
83
25
(xuất hiện dạng tổng quát, có 26 > 25; 80 < 83)
Chọn phân số trung gian là
83
26
Ta có:
80
26
>
83
26
15
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Mà
83
26
>
83
25
Vậy
80
26
>
83
25
. Hay

;
92
56
và
25
13
thì ta so sánh
21
15
;
23
14
và
25
13
. Bây giờ đã xuất hiện
dạng tổng quát (có 15 > 14 >13; 21 < 23 < 25)
-Trước tiên ta so sánh
21
15
và
23
14
Chọn phân số trung gian là:
21
14
Ta có:
21
15
>

mà
23
13
>
25
13
Nên
23
14
>
25
13
(2)
16
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Từ (1) và (2) ta suy ra:
21
15
>
23
14
>
25
13
1.2.2. Trường hợp 2: (Gồm 2 trường hợp nhỏ)
a. Trường hợp mẫu của phân số thứ nhất gấp tử số của phân số thứ nhất a lần và
thêm n đơn vị; mẫu số của phân số thứ hai gấp tử số của phân số thứ hai a lần và bớt n
đơn vị.
Dạng tổng quát:
2

7
3
<
6
3
=
2
1
Mà
13
7
>
14
7
=
2
1
Vậy
7
3
<
13
7
*Ví dụ 2: So sánh
39
9
và
25
7
Ta thấy 39 = 9 x 4 + 3 và 25 = 7 x 4 – 3. Trong đó a = 4; n = 3

thêm n đơn vị; tử số của phân số thứ hai gấp mẫu số của phân số thứ hai a lần và bớt n
đơn vị.
Dạng tổng quát:
2
2
1
1
M
T
và
M
T
.
Trong đó: T1 = M1
×
a + n ; T2 = M2
×
a – n
Trong trường hợp này, giáo viên hướng dẫn để học sinh chọn phân số trung gian
là
1
a
*Ví dụ 1: So sánh
5
11
và
9
17
Ta thấy 11 = 5 x 2 + 1 và 17 = 9 x 2 – 1. Trong đó a = 2; n = 1
So sánh như sau: Chọn phân số trung gian là:

và
10
47
Ta thấy 38 = 7 x 5 + 3 và 47 = 10 x 5 – 3. Trong đó a = 5; n = 3
So sánh như sau: Chọn phân số trung gian là:
1
5
18
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Ta có:
7
38
>
7
35
=
1
5
Mà
10
47
<
10
50
=
1
5
Vậy
7
38

90
75
chính là phân số trung gian)
1.2.4. Trường hợp 4: So sánh các phân số có sự kết hợp giữa phương pháp dựa
vào phân số trung gian và phương pháp dựa vào “hiệu”.
Ví dụ: So sánh
21
14
và
63
53
*Giáo viên hướng dẫn học sinh tiến hành phân tích như sau:
- Phân số
21
14
bằng phân số
3
2
và bằng
30
20

- Thay vì so sánh
21
14
với
63
53
thì ta phải so sánh
30

=
30
10
1 -
63
53
=
63
10
Vì
30
10
>
63
10
nên
30
20
<
63
53
, hay
21
14
<
63
53
1.3. So sánh các phân số dựa vào phân số đảo ngược.
Dạng tổng quát:
2

9
, yêu cầu học
sinh so sánh hai phân số đảo ngược này.
Học sinh dễ dàng so sánh được:
5
9
<
4
9
(hai phân số cùng tử số).
-Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận ra: Nếu phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai
thì phân số đảo ngược của phân số thứ nhất sẽ nhỏ hơn phân số đảo ngược của phân số
thứ hai.
20
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
Tổng quát: Nếu
b
a
>
d
c
thì
a
b
<
c
d
b. Bài tập mẫu.
So sánh hai phân số
13

ta được hai phân số
4
13
và
7
22
- Chuyển các phân số đảo ngược thành hỗn số, so sánh các hỗn số với nhau để so sánh
các phân số đảo ngược. Từ đó so sánh được hai phân số đã cho.
Ta có:
4
13
=
4
1
3

7
22
=
7
1
3
Vì
4
1
>
7
1
nên
4

phân số đã cho ban đầu.
đ. Bài tập vận dụng.
So sánh các phân số
22
5
;
26
6
và
30
7
- Đảo ngược 3 phân số đã cho, ta được ba phân số
5
22
;
6
26
và
7
30
Ta có:
5
22
=
5
2
4
;
6
26

2
4
Hay
5
22
>
6
26
>
7
30
Vậy
22
5
<
26
6
<
30
7
e. Một số trường hợp đặc biệt đáng lưu ý khi sử dụng phương pháp so sánh dựa
vào phân số đảo ngược.
e.1. Trường hợp khi đảo ngược các phân số thì phân số mới có mẫu số bằng 1.
Ví dụ: So sánh các phân số
5
1
;
13
3
và

Vì 5 >
3
1
4
>
7
1
4
Hay
1
5
;
3
13
và
7
29
Vậy
5
1
<
13
3
<
29
7
e.2. Giáo viên cũng lưu ý cho học sinh khi so sánh các phân số như
4
23
và

3
nên
4
3
5
>
6
3
5
Vậy
4
23
>
6
33
1.4. So sánh các phân số dựa vào nhóm chữ số lặp lại giống nhau.
a. Bài tập mẫu.
So sánh
45
13
và
4545
1313
23
SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
a.1.Hướng dẫn học sinh nhận xét đặc điểm của hai phân số
45
13
và
4545

SKKN: Một số kĩ năng dạy so sánh phân số
-Lấy tử số và mẫu số của phân số
45
13
cùng nhân với 101
Ta có:
45
13
=
10145
10113
×
×
=
4545
1313
Vậy
45
13
=
4545
1313
b. Cách so sánh hai phân số dựa vào nhóm chữ số lặp lại giống nhau.
Ta tiến hành theo hai bước:
*Bước 1: Lấy tử số có nhiều nhóm chữ số lặp lại chia cho tử số có ít nhóm chữ số,
xác định thương tìm được; hoặc lấy mẫu số có nhiều nhóm chữ số lặp lại chia cho mẫu số
có ít nhóm chữ số. (Bước này chỉ tính ngoài giấy nháp).
*Bước 2: Lấy tử số và mẫu số của phân số có ít nhóm chữ số cùng nhân với
thương tìm được, ta được phân số mới bằng phân số có nhiều nhóm chữ số.
c. Bài tập vận dụng.

=
1001001456
1001001123
×
×
=
456456456
123123123
25