A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện
đại trong dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học trực quan và
phương pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh
các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình
huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹ
thuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất
hiện ở trường phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh
họa mà còn là phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học
sinh, là phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và học
sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông cho thấy học sinh
thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số
logarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưng
không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc
vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng. Mặt khác, đây
là nội dung kiến thức cơ bản trong chương trình toán lớp 12, có phần trìu
tượng và dễ lẫn lộn giữa hai nội dung hàm số mũ - hàm số logarít này nhưng
lại được trình bày sau nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Do vậy, việc sử
dụng các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học nội dung này là việc
làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở
trường phổ thông.
Hơn nữa, đây là nội dung kiến thức thường xuất hiện trong các kỳ thi
Đại học - Cao đẳng và học sinh không khó khăn lắm khi biết cách khai thác
bài toán để lấy điểm.
Vì các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số biện pháp sử
dụng phương tiện trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải bài
tập phần hàm số mũ - hàm số logarít”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

chính xác. Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các
công thức… nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm.
2
Phương tiện
trực quan
Cái cụ thể
hiện thực
Cái trừu
tượng lý
thuyết
Trừu tượng hoá
Sơ đồ 1
Cụ thể hoá
Ví dụ như cho rằng:
+) log
a
A.B = log
a
A.log
b
B (A,B > 0 và a,b
1≠
)
+) log
a
(A+B) = log
a
A + log
a
B

chẳng hạn hầu như các tính chất hàm số mũ, hàm số logarít không được
chứng minh, giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặt
khác, hệ thống bài tập và câu hỏi trong sách giáo khoa chỉ đòi hỏi học sinh ở
mức độ rất đơn giản, áp dụng đơn thuần, học sinh dễ vấp phải các sai lầm mà
bản thân không phát hiện ra.
Từ thực tế đó, tôi mạnh dạn đưa ra một số biện pháp sau:
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN
TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ
LOGARÍT
Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh
chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các
phương tiện trực quan trong quá trình giải phương trình ( bất phương
trình)mũ - logarít.
Hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trực
quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức…).
Trong quá trình giải phương trình mũ - logarít việc sử dụng hợp lý các
phương tiện trực quan tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết
bài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyện
được kỹ năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn
Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phương trình và
bất phương trình mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các
phương pháp: Phương pháp đưa về cùng cơ số; logarit hóa và mũ hoá; đặt ẩn
phụ; đánh giá
Nhưng đối với một số dạng phương trình đặc biệt là các bài toán có
chứa tham số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý
các phương tiện trực quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt
của bài toán.Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1.1. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x2
21 −

vuông góc tOm.
Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các
điểm M(t,m) thỏa mãn (II) được biểu diễn bằng đường đậm trong hình (cung
tròn AB, bỏ điểm B).
Vậy: 0 ≤ m < 1 phương trình có nghiệm duy nhất
Nhận xét: Bài toán 1 có thể giải
bằng phương pháp sử dụng các định lý
đảo về dấu của tam thức bậc 2.
Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài
toán tương tự.
Bài toán 1.2. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x2
21 −
= m - 2
x
Bài toán 1.3. Tìm m để bất phương trình
f(x) = 2
x
+ (3 - m)2
-x
- m ≥ 0 (1) đúng
∀
x
∈
R
Có thể giải bài toán như sau: Đặt 2
x
= t với điều kiện t > 0
Bất phương trình (1) về dạng: f(t) = t
2

.
Trong trường hợp này đa số học sinh gặp khó khăn, hoặc có vận dụng định
lý về dấu của tam thức bậc hai thì cũng rất mơ hồ và máy móc bằng sự minh
họa của trục số học sinh dễ dàng quan sát.
Để f(t) ≥ 0
⇔
t∈ (-∞, t
1)
]

[t
2
,+∞

)
Theo giả thiết t∈(0, +∞)
⇒
f(t) ≥ 0
4
/////////////
+
+
-
t
1
t
2
] [
m
1

⇔
t
1
≤ t
2
< 0
Trong khi giảng dạy giáo viên cần phải phát huy tích cực nhận thức của
học sinh trong việc vận dụng các phương tiện trực quan. Chẳng hạn như trong
bài toán 1.3. Có thể dẫn dắt học sinh bởi những câu hỏi để họ tích cực suy nghĩ:
-
∀
t∈(0, +∞) đều làm cho f(t) ≥ 0 tức là
∀
t∈(0, +∞) đều thuộc vào tập
nghiệm của bất phương trình f(t) ≥ 0 có mối quan hệ như thế nào giữa (0, +∞)
với tập nghiệm đó?
- Tập nghiệm của bất phương trình f(t) ≥ 0 còn phụ thuộc vào những yếu tố
nào ? hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng với các trường hợp ?
- Hãy biểu diễn (0, +∞) cùng với (-∞, t
1
)

(t
2
,+∞) (trong trường hợp
∆ > 0) trên trục số để rút ra vị trí tương đối giữa (0, t
1
, t
2
)…

0 chứa A sau đó biểu diễn A lẫn tập nghiệm lên trục số
nhằm phát hiện ra những đặc điểm về các nghiệm (nếu có) của tam thức f(x)
-
”.
Biện pháp 2: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác
tiềm năng logíc bên trong của vấn đề được trình bày trong SGK, nhờ đó học
sinh nắm vững bản chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng
hơn, mạch lạc hơn.
Khai thác tiềm năng từ logíc bên trong vấn đề, ta càng nắm vững các
thuộc tính bản chất của vấn đề, chính hoạt động đó từ các phương tiện trực
quan tạo điều kiện tối ưu trong qúa trình giải quyết vấn đề. Chẳng hạn trong
quá trình giải các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
mũ và logarit rất nhiều trường hợp ta thu được một hệ hỗn hợp gồm có phép
hội lẫn phép tuyển, các mối liên hệ còn tiềm ẩn chưa rõ ràng, khi đó bằng các
phương tiện trực quan sẽ giúp học sinh hiểu rõ vấn đề hơn.
5
∆ > 0
f(0) > 0
< 0
3 – m > 0
< 0
m <-6
m > 2
⇔ m < -6 hoặc 2 < m < 3
⇔ ⇔
D D
Bài toán 2.1. Với giá trị nào của a thì phương trình
4
x
- 2

x
=

t(t > 0) để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình
t
2
- t + a = 0 (2) phải có nghiệm t > 0.
Trường hợp 1: phương trình (2) có 1 nghiệm thỏa mãn t
1
< 0 < t
2
⇔ 1.f(0) < 0 ⇔ a < 0
Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t
1
≤ t
2
Kết hợp 2 trường hợp phương trình có nghiệm khi a ≤
4
1
.
Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đề
tổng quát: để giải và biện luận phương trình f(x ) = g(m) (1)
Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị
hàm số y = f(x ) và đường thẳng (d): y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x )
Tìm miền xác định (D)
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm
⇔ min f(x ) ≤ g(m) ≤ max f(x )

1
(0,-1)
Bán kính R
1
=
m
Bài toán 2.2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
GV: vế trái của hệ luôn luôn dương vậy để hệ phương trình có nghiệm
thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ?
(m-1≥ 0 ⇔ m ≥ 1)
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học
sinh phát hiện ra rằng:
Gọi X
1
, X
2
lần lượt là tập nghiệm của (1) và
(2)
X
1
là tập các điểm trong hình tròn
X
2
là tập các điểm trong hình tròn
? GV: từ các đồ thị trên hãy tìm điều kiện để hai đường tròn trên tiếp
xúc với nhau? Bằng trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phương trình có
nghiệm duy nhất khi (C
1
) tiếp xúc với (C
2

≤ m-1
2
2y
+2
2x
+ 2
x+1
≤ m-1
(C
1
)
Tâm I
1
(-1, 0)
Bán kính R
2
=
(C
2
)
2
2x
+ (2
y
+1)
2
= m
(2
X
+1)

ta
chỉ lấy cung AB (trên góc phần tư thứ nhất).
Đối với (C
2
) chỉ lấy cung CD (trong góc phần tư thứ nhất). Vậy hệ có
nghiệm khi cung AB và cung CD giao nhau khác rỗng
⇔ I
1
C < R
1
< I
1
D ⇔
2
<
m
< 1+
3
⇔ 2 < m < 4 +2
3

và khi đó vì cung AB và cung CD giao nhau tại điểm {M} nên hệ có nghiệm
duy nhất.
Vậy 2 < m < 4+2
3
hệ có nghiệm duy nhất.
Bài toán 2.5. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình
lg (m-x
2
) = lg (x

2
= m (1)
(u+1)
2
+v
2
= 4 (2)
Phương trình (1) là
đường tròn (C
1
) có
Phương trình (2) là
đường tròn (C
2
) có
Tâm I
1
(0,-1)
Bán kính:R
1
=
Tâm I
2
(-1,0)
R
2
=

2
Hệ ⇔

trình có một nghiệm,
8
7
< m < 1 ∪ m > 4 phương trình có hai nghiệm phân
biệt
Nhận xét:
Thông qua các bài toán trên giáo viên có thể ý thức cho học sinh một
“quy trình”, “phương pháp mới” khi giải các bài toán phương trình, bất
phương trình mũ, logarít (có chứa tham số) bằng việc vận dụng các phương
tiện trực quan.
Biện pháp 3: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác
các kết quả ứng dụng khác nhau của khái niệm, định nghĩa, định lý và đề
xuất bài toán nâng cao nhằm khắc sâu các khái niệm, định nghĩa, định lý.
Theo quan điểm “đặt bài toán cần giải quyết trong mối quan hệ tương
quan với các khái niệm, định nghĩa, định lý đã biết” Chính việc thực hiện
quan điểm trên là phát triển được năng lực định hướng, năng lực huy động
kiến thức cho học sinh, thông qua việc vận dụng các phương tiện trực quan,
cụ thể ta xét các bài toán sau:
Bài toán 3.1:
Giải phương trình: 2
x
= 4x
GV dẫn dắt HS phát hiện
được phương trình trên không giải
được bằng phương pháp đại số,
nên cần phải khai thác theo con
đường khác.
Dễ dàng tìm được một
nghiệm (x = 4). Để tìm nghiệm
khác (nếu có) tốt hơn cả là ta

4+2m+m
2
+6m<0
m
2
+7m +1<0
m
2
+8m+4 <0
0xlogxlog
2
4
1
2
2
1
<+
(1)
x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 (2)
a. Giải bất phương trình (1)
b. Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2).
Giải: Việc nắm vững các tính chất, định lý và vận dụng chúng là rất
cần thiết đối với việc giải bất phương trình (1).
Giáo viên yêu cầu học sinh: xác định tập xác định của bất phương tình
(x > 0) rồi sử dụng các tính chất logarít đưa bất phương tình về dạng
0xlogxlog

đẳng thức (*) phải lưu ý để lấy khoảng nghiệm của bất phương trình.
Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2), giáo viên có thể
nêu những câu hỏi sau:
- Với 1 < x < 2 đều làm cho f(x) = x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 tức là
∀x
∈
(1,2) đều thuộc vào tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 có mối
quan hệ như thế nào giữa (1,2) với tập nghiệm đó ?
- Hãy biểu diễn (1,2) cùng với các tập nghiệm của bất phương trình (2)
lên trục số ?
Những câu hỏi này có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giải: mọi
nghiệm của (1) là nghiệm của (2) có nghĩa là cần tìm m để tập nghiệm của (2)
chứa hết khoảng 1 < x < 2. Bằng sự biểu diễn trên trục số học sinh sẽ phát
hiện dễ dàng hơn.
Bài toán tương đương với điều kiện

Bài toán 3.4: cho hệ phương trình
10
2
2x
+3
2y
= 1
2
x
+2

= 1 là đường tròn đơn vị (C) có

(chỉ lấy cung AB góc phần tư thứ nhất)
u + v = a là phương trình đường thẳng (d) từ mô hình trực quan dễ thấy rằng
hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ (d) tiếp xúc với đường tròn tâm (O)
tại cung AB.
Khi (d) tiếp xúc (c) tại điểm M (-
2
2
;
2
2
) suy ra u = v =
2
2

Bài toán 3.5: Giải bất phương trình:
1) x(log
1

1 3x - x2log
1
3
1
2
3
1
+
>
+

3

⇔
a > 0
⇔
Khoảng cách từ O →(d) = R
a> 0
⇔
2a =⇒
1
2
a-
=
Đặt
2
3
x00x3x201x3x2logA
22
3
1
<<⇔<−⇔>+−=

0x11x0)1x(logB
3
1
<⇔<+⇔>+=
Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn miền nghiệm của A và B lên trục số
x - ∞ -1 0 1/2 1 3/2 +∞
A - + + -
B + - - -

2
>+>+− xxx
5
5
01
05
1
2
>⇔



>
<<−
⇔



>−
−>
x
x
x
xx
x
vì điều kiện x >
2
3
Tóm lại nghiệm của bất phương trình
),5( )

t
x
=2
(t > 0) . Khi đó (1) ⇔ f(t) = t
2
- 4t + 1 - 2m = 0 (2) (t > 0)
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t > 0
⇔
2
1
m
2
3
04S
0m21P
0m214'
tt0
21
<≤−⇒





>=
>−=
>+−=
⇔≤<
Δ
Vậy phương trình có nghiệm khi

t2
x
=
thì t sẽ biến thiên trong miền nào với
điều kiện của x.
Để khắc phục được sai lầm kiểu này giáo viên cần nhấn mạnh cho học
sinh thấy rằng theo mục 2.4.4 đồ thị
x
y 2=
luôn nằm phía trên đường thẳng
y = 1 có nghĩa là
x 12
x
∀≥
(hoặc có thể lý luận:
1220x
0
x
=≥⇒≥
).
- Khi đã mắc phải sai lầm trên thì trong lập luận tiếp theo học sinh lại
mắc phải thiếu sót sau:
Học sinh cho rằng: Phương trình (2) có nghiệm t > 0 chỉ xảy ra 0 < t
1
≤ t
2
mà họ quên rằng có thể xảy ra t
1
< 0 < t
2

tt0
t0tKhắc phục những thiếu sót và sai lầm của học sinh giáo viên
có thể dẫn dắt học sinh giải bài toán như sau:
Đặt
t2
x
=
ta có:
1t1220x
0
x
≥⇒=≥⇒≥
Phương trình tương đương:
t
2
- 4t +1 - 2m = 0 (2) (t > 1)
⇔ t
2
-4t = 2m - 1 (t > 1)
?Yêu cầu học sinh vẽ Parapol.
y = t
2
- 4t (với t > 1)
Vẽ đường thẳng y = 2m - 1
trên hệ trục tọa độ yOt, từ đồ thị suy
ra phương trình (2) có nghiệm t > 1
⇔ 2m -1 > -4 ⇔ m ≥ -

=∆
a - 1
2
S
0
Để khắc phục những sai lầm loại này, giáo viên cần nhấn mạnh cho học
sinh thấy rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn 1 - a không có
nghĩa là phương trình có nghiệm duy nhất.
Tuy nhiên có những học sinh không mắc phải sai lầm ấy họ biết lập
luận rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn 1 - a thì hoặc là phương
trình có nghiệm kép và bản thân nghiệm kép là lớn hơn 1- a, hoặc phương
trình có hai nghiệm phân biệt nhưng trong đó có một nghiệm lớn hơn 1- a,
còn nghiệm kia bé hơn hoặc bằng 1 - a.
14
t
y = 2m-1
y
0
-4
2 4






<−≤




S
0
TH2:



<−<
>∆
21
xa1x
0
TH3:



<−=
>∆
21
xa1x
0
và cần làm cho học sinh hiểu rằng x
1
≤ 1 - a < x
2
⇒ af(1 - a) ≤ 0 nhưng
ngược lại af(1 - a) ≤ 0 thì chỉ kéo theo x
1
≤ 1 - a ≤ x
2
chứ không nhất thiết

(x-1) (x+1) = log
2
(x-1) + log
2
(x+1) (|x| > 1)
* log
a
(-7)
2
= 2log
a
-7
* log
a
x
2
= 2log
a
x (0 < a≠ 1)
15
y
x
x
2
x
1
= α
0



x
1
0
α



<=
=
21
0
xαx
Δ
Đây là loại sai lầm do học sinh không nắm vững khái niệm, tính chất,
giả thiết của định lý.
Để tránh những sai lầm kiểu này giáo viên cần phân tích một cách rõ
ràng trực quan cho học sinh hiểu vấn đề.
* Hàm số y = logax xác định khi



≠<
>
10
0
a
x
dẫn tới log3(-4), log3(-
8), loga(-7) không tồn tại.
* logaxα = αlogax với điều kiện

1
2
4
1
)6x(log)x4(log3)2x(log
2
3
++−=−+
Đa số học sinh lập luận bài toán như sau:
Điều kiện:
42
6
4
2
06
04
02
3
2
<<−⇒





−>
<
−>
⇔


−≠
<<−
2
46
x
x
Tuy nhiên, có nhiều học sinh không mắc phải sai lầm ấy, nhưng khi bắt tay
vào giải thì không ít học sinh cả học sinh khá cũng lập luận bài toán 4.3 như sau:
Phương trình
16
)(log)(log)(log 6343323
4
1
4
1
4
1
++−=−+⇔ xxx



−=
=
⇔+−=+⇔
++−=−+⇔
8x
2x
)6x)(x4()2x(4
)6x(log)x4(log
4

<<−+−−=+
⇔+−−=+⇔
+−=+⇔
++−=−+⇔
2x624víi2xx2)4(x
4x224víi2xx)2x(4
242xx2x4.
6)x)(x(4log2x4.log
6)(xlogx)(4log
4
1
log2xlog
2
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1




a
|x| + log
a
|y|
log
a

y
x
= log
a
|x| - log
a
|y| (0 < a ≠ 1)
2. Biểu thức log
a
N
2n
( n là số nguyên) có nghĩa với N ≠ 0 là số thực bất kỳ
log
a
N
2n
= 2nlog
a
|N| =



<

x
+ 2m + 1 < 0
(1) nghiệm đúng với
0x <∀
.
- Thực tiễn dạy học cho thấy học sinh khi giải bài toán trên thường mắc
phải sai lầm kiểu sau:
Đặt 2
x
= t vì x < 0 ⇔ 2
x
< 2
0
⇔ 0 < t < 1
Khi đó (1) có dạng: f(t) = t
2
+2mt +2m+1 < 0 (2)
),( 10∈∀t
Vậy (1) nghiệm đúng mọi x < 0 ⇔ (2) nghiệm đúng
),( 10∈∀t
21m
2
1
-
0m1
02m4
01m2
01m2m

1

>
>
>∆
Không ít học sinh còn lập luận: Đặt 2
x
= t điều kiện t > 0.
Vậy (1) nghiệm đúng
0<∀x
⇔ (2): t
2
+ 2mt + 2m + 1 < 0 nghiệm
đúng mọi t > 0.
21m
2
1
0m
01m2
01m2m
0
2
S
0)0(af
0

2
−<<−⇔





]
18
⇔



<
<
0)1(af
0)0(af
được mô tả cụ thể trên trục số:
+ (0,1) +
t
1
- t
2
Có thể giải bài toán như sau:
Đặt 2
x
= t, điều kiện t > 0 khi đó (1) có dạng
f(t) = t
2
+2mt +2m +1 < 0 (2) vì x < 0 ⇔ 2
x
< 2
0
⇔ t < 1
Vậy (1) nghiệm đúng với mọi x < 0 ⇔ (2) nghiệm đúng với mọi t
thuộc (0,1) (*)
Điều kiện (*) được thỏa mãn khi f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt t

1
bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 0.
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y =
xcosxsin
22
44 +
Đối với bài toán trên có rất nhiều phương pháp giải, nhưng không ít
em mắc phải sai lầm kiểu:
8442
444
444
1xcos0
1xsin0
xcosxsin
1xcos0
1xsin0
2
2
22
2
2
≤+≤⇒





≤≤
≤≤

2
vô nghiệm.
Tương tự khi miny = 2 thì dấu
bằng không xảy ra.
19
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
y = f(x)
A
B
g(x)
Hình
Để vạch ra những sai lầm
này thầy giáo có thể vẽ lên bảng
hai đồ thị:
Nhìn vào hình vẽ rõ ràng là
f(x) ≥ g(x) và f(x
B
) = g(x
B
) nhưng
minf(x) = miny = f(x
A
) < f(x
B
).
Có thể nói một nguyên nhân khác nữa dẫn đến sai lầm trên là do học sinh đã
áp dụng mệnh đề "nếu f(x)
≥
g(x) và xảy ra f(x) = g(x) = C (hằng số) thì
min f(x) = C".

xcosxsin
22
≤+⇒
dấu bằng xảy ra khi sinx = 0 hoặc cosx = 0
Vậy maxy = 5; miny = 4.
20
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả nghiên cứu
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ tương
đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra như
sau:
Bài kiểm tra 45 phút:
Câu1: Giải phương trình 3
x
=
3
1
x
2
Câu2: Cho phương trình:
m39
22
)1x(x2x
=−
−−
.
a. Giải phương trình với m = 0
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
Câu 3: Tìm a để phương trình
)1x(log

cực, kích thích tính mò mẫm, ham mê tìm tòi tự nghiên cứu; giúp học sinh
hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản để, từ đó tạo cho học sinh thói quen độc lập
suy nghĩ để giải quyết các tình huống có vấn đề và tự làm sáng tỏ cho mình.
Điều đó cho thấy tính hiệu quả của việc vận dụng hợp lý các phương
tiện dạy học trực quan vào quá trình dạy học cho học sinh, do đó giáo viên
cần chú ý vận dụng khai thác triệt để trên mỗi chủ đề toán cụ thể ở trường
THPT.
Rất mong được các thầy cô góp ý, bổ sung để nội dung được hoàn thiện
và mang lại hiệu cao trong dạy học.
Xin chân thành cảm ơn!
22