Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tịnh tiến
•
v
T
r
: M
a
M′ ⇔
'MM v=
uuuuur
r
•
v
T
r
(M) = M′,
v
T
r
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN=
uuuuuur uuuur
•
v
T
r
: M(x; y)
a

d
(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

=

= −

Đ
Oy
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

=


= −

= −

Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

= −

IV. Phép quay
• Q
(I,
α
)
: M
a
M′ ⇔
'
( ; ')
IM IM
IM IM

α < α ≤

=

π

π−α ≤ α < π

• Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

= −

=

Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
a

M′(x′; y′). Khi đó:
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b

= + −

= + −

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
∆
ABC thành
∆
A
′
B
′
C
′
thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
1
Hình học 11 Phan Công Trứ
∆
ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,
ngoại tiếp của
∆
A
′

. Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua
phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với
'AA BA=
uuur uuur
).
3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi
AB DM=
uuur uuuur
và
·
·
CBM CDM=
. Chứng minh:
·
·
ACD BCM=
.
HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
4. Cho tứ giác ABCD có
µ
A
= 60
0
,
µ

A
′
ED.
6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến
v
T
r
trong
các trường hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho

sao cho
( )
/
v
T M M=
r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4;
5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –
5)
9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của
đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp
sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r

9 4
x y
+ =
. Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh
của (E) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):
2 2
1
16 9
x y
− =
. Tìm phương trình của Hypebol
(H′) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo

r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
r
= (2; m). Tìm m để phép tịnh
tiến
v
T
r
biến d thành chính nó.
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Gọi H
′
là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối
xứng trục BC. Quĩ tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ
BC
.
2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một
điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất.

1
; Đ
Oy
(A) = A
2
. B, C là các giao
điểm của A
1
A
2
với các cạnh Ox, Oy.
5. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử
Đ
AB
(M) = M
1
, Đ
AC
(M) = M
2
. Tìm vị trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng
M
1
M
2
có độ dài ngắn nhất.
HD: M là chân đường cao vẽ từ A của
∆
ABC.
3

2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0

2
= 225
16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và một điểm A thay đổi. Gọi H
là trực tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng
minh rằng H′ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quĩ tích của điểm H.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ
I
(H
′
) = H
⇒
Quĩ tích điểm H là đường tròn
(O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ

J
(M) = N, Đ
J
(O) = O
′
.
·
'OIO
= 1v
⇒
Tập hợp các
điểm I là đường tròn đường kính OO′.
4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC,
AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP,
CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình
hành mới.
HD: Xét phép Đ
O
.
5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng
tâm với:
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)

= 144
10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2):
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
IV. PHÉP QUAY
1. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh
∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q
(A,90

, CAB
1
, CAB
1
. Chứng minh rằng các đoạn thẳng
AA
1
, BB
1
, CC
1
bằng nhau.
HD: Xét các phép quay Q
(A,60
0
)
,

Q
(B,60
0
)
.
5. Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao
cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và
·
DOE
= 120
0
.

⊥
BK.
8. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm
O góc α với:
a) α = 90
0
b) α = –90
0
c) α = 180
0
9. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
10. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2

HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
b) Xét các phép vị tự V
(C,2)
(Q) = M;
1
( , )
2
C
V
(Q) = N.
4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường
tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn
(O).
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp
∆MPQ, trực tâm H của ∆MPQ.
HD: a) Kẻ OI
⊥
d, OI cắt PQ tại N.
2
.OI ON r=
uur uuur

⇒
N cố định.
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O
1
) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O
′

) =
2
( , )
3
A
V
(O
1
).
6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với
AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn.
AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC.
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD
⇒
CDNE là hình
thang.
c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn
(K,
3
R
) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép
1
( , )
3
I
V
.

2
−
13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
: x – 2y + 1 = 0 và ∆
2
: x – 2y +
4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vị tự V
(I,k)
biến ∆
1
thành ∆
2
.
14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c) x
2
+ y
2
= 4
15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y – 3)
2

tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh
điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác định một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác định các tâm vị tự của hai đường
tròn nếu R′ = 2R và OO′ =
3
2
R.
6. Cho
v
r
= (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d
1
: 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d′ =
v
T
r
(d).
b) Tìm toạ độ vectơ
u
r
vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r

0
b) α = 40
0
.
12. Cho
v
r
= (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến
theo vectơ
v
r
.
13. Cho đường thẳng d: y =
2 2
. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ
số k =
1
2
và phép quay tâm O góc 45
0
.
14. Cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 4. Viết phương trình đường tròn (C′)

2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt
phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD)
và (ABD).
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến
của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).
5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên
trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD),
(DMN) và (ABC).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao
điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
10
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN
không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của
CD và AD với mặt phẳng (MNK).
4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên
trong ∆BCD. Tìm giao điểm của:

với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại
A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố định.
11
Hình học 11 Phan Công Trứ
5.Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B
1
, B′. Qua B
dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C
1
, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB
1
, CC
1
cắt nhau tại O
1
. Giả sử O′O
1
kéo dài cắt SA tại I.
a) Chứng minh: AO
1
, SO′, BC đồng qui.
b) Chứng minh: I, B
1
, B′ và I, C
1
, C′ thẳng hàng.
VẤN ĐỀ 4: Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng
Muốn xác định thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như
sau:
•

a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.
b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia
các cạnh SA, BC, CD.
HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB,
G là trọng tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình
chóp với (CGM).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).
HD: b) Thiết diện là tứ giác c) Tìm (AGM)
∩
(SAC). Thiết diện là tứ giác.
12
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
7.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh
SD.
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
HD: a) Gọi O=AC
∩
BD thì I=SO
∩
BN, J=AI
∩
MN
b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.
8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD.

trong hai đường thẳng đó.
•
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp
chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình,
định lí Talét đảo, …)
2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
13
a
b
P
Hình học 11 Phan Công Trứ
1.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh IJ//CD.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC,
AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
4.Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng
song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần
lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I,
J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
14
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của
(BCI) với mặt (SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi
hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
HD: b)
2
5
(a+b).
4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi
K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện
là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
HD: b)
2
5 51
288
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là
tam giác đều. Ngoài ra
·
SAD
= 90
0
. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song
với SC.

•
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa
a và song song với b.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường
thẳng d
′
nào đó nằm trong (P).
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song
với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =
1
3
AE, BN =
1
3
BD. Chứng minh MN // (CDFE).
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với
(MNP).
c) Gọi G
1
, G
2
là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G
1
G

a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD: c) MN // BC
2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A,
µ
B
= 60
0
, AB = a. Gọi O là
trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi
M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA,
cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
HD: b) S
MNPQ
=
(4 3 )
4
x a x−
. S
MNPQ
đạt lớn nhất khi x =
2
3
a
3.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua
MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).

• Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
•
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d
và song song với (P).
•
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song
với nhau.
•
Cho một điểm A
∉
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với
(P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
•
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt
phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
•
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau.
•
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất
kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
•
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
′
lần lượt lấy các
điểm A, B, C và A
′
, B
′

HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số
k.
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
18
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB,
CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường
phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
HD: c) Chú ý:
ED FS
EC FB
=
4.Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các
đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các
đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
5.Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt
trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ
NP BA=
uuur uuur
.
a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt
phẳng cố định.

2
2 2
2
3
0
2
( ) 3
2
thieát dieän
b x a
neáu x
a
S
b a x a
neáu x a
a

< <


=

−

< <


2.Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn
thẳng MN nằm trong (Q).
19

). Tính diện tích thiết diện
khi biết diện tích tam giác BCD là S.
c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G
1
M luôn song song với
mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.
HD: b)
4
9
S
5.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm của A′B′.
a) Chứng minh CB′ // (AHC′).
b) Tìm giao điểm của AC′ với (BCH).
c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC′ và song song với AH và CB′. Xác
định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng
trụ.
HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC
′
, B
′
C
′
, A
′
B
′
, AB, AC
theo các tỉ số 1, 1, 3,
1
3

. x =
2
a
.
c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O.
20
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
Chu vi nhỏ nhất: 3a
2
; chu vi lớn nhất: 2a(
2
+ 1).
8.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′.
a) Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (BA′C′).
b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA′ và BC. Tìm giao điểm của B′C′
với mặt phẳng (AA′N) và giao điểm của MN với mp(AB′C′).
9.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC′), (BCA′) và
(CAB′) có một điểm chung O ở trên đoạn GG′ nối trọng tâm ∆ABC và trọng
tâm ∆A′B′C′. Tính
OG
OG
′
. HD:
1
2
BÀI TẬP ÔN
1.Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a.
Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết
·
0

= 6a
2
hoặc –2a
2
.
b) S = x(a – x)
3
;
2 2
a
x =
c) x =
2
a
d) OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2
= 4OG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2

−
−
.
3.Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt
nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt
tại A′, B′, C′.
21
Hình học 11 Phan Công Trứ
a) Tìm giao điểm D′ của SD với (P).
b) Tìm điều kiện của (P) để A′B′ // C′D′.
c) Với điều kiện nào của (P) thì A′B′C′D′ là hình bình hành? CMR khi đó:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
′ ′ ′ ′
+ = +
d) Tính diện tích tứ giác A′B′C′D′.
HD: b) (P) // SE.
c) (P) // (SEF). Gọi G
′
= A
′
C
′∩
B
′
D
′
. Chứng minh:
2SA SC SG
SA SC SG

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là
đường thẳng cố định khi M di động.
d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp B.AMNN′ với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng
(BMN).
HD: a) Hình bình hành. Tập hợp các điểm N
′
là d
3
, giao tuyến của (P) với
mặt phẳng qua d
2
và song song với d
1.
b) MN nhỏ nhất khi AN
′
vuông góc d
3
tại N
′
.
d)
2
3
8
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di
động trên AD và SC sao cho:
MA PS
x

3
2
ka
c) k=
2
6
3 1;
9
a
−
7.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB′,
AC′, B′C sao cho
AM C N CP
x
AB AC CB
′
= = =
′ ′ ′
.
a) Tìm x để (MNP) // (A′BC′). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi
mp(MNP), biết tam giác A′BC′ là tam giác đều cạnh a.
b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.
HD: a) x =
2
1 2 3
;
3 9
a
b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC
′

' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB,
O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+ =
uur uur
r
;
2OA OB OI+ =
uuur uuur uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ
ý. Ta có:
23
Hỡnh hc 11 Phan Cụng Tr
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu
ý. Ta cú:
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ iu kin hai vect cựng phng:
( 0) ! :a vaứ b cuứng phửụng a k R b ka =
r r r
r r r
+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
;
1

r r
khụng ng phng,
x
r
tu ý.
Khi ú: ! m, n, p R:
x ma nb pc= + +
r
r r r
3. Tớch vụ hng ca hai vect
Gúc gia hai vect trong khụng gian:
ã ã
0 0
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = =
uuur uuur
r r r r
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
, 0u v
r
r r
. Khi ú:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Vi
0 0u hoaởc v= =
r r
r r
. Qui c:
. 0u v =

A′B′C′D′ có cùng trọng tâm.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
•
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong
các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
thì
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng
•
Để phân tích một vectơ
x
r
theo ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng, ta tìm các
số m, n, p sao cho:
x ma nb pc= + +
r
r r r

HD: a)
, ,MN FH PQ
uuuur uuur uuur
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
, ,IL JK AH
uur uuur uuur
có giá cùng song song với (BDG).
8. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE,
EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,AJ GI HK
uur uur uuur
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
1
3
FM CN
FA CE
= =
. Các
đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q.
Chứng minh ba vectơ
, ,MN PQ CF
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
9.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và
DD′; G và G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A′D′MN và BCC′D′.
Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với
nhau.