PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Đặt vấn đề
Nhằm giúp học sinh có định hướng tốt môn toán cho kỳ thi TN THPT , ta đưa ra một số
bài toán khảo sát hàm số nằm trong nội dung kiến chương trình ,để học sinh có cơ hội
làm quen được dạng toán của kỳ thi . Với một số bài toán dưới đây không là tất cả , mà
nó chỉ là nét điển hình chung để phác hoạ lên kiến thức yêu cầu của một bài toán khảo sát
hàm số . Mong HĐBM cùng với các thầy cô cùng tham luận để nâng cao chất lượng dạy
và học toán của tỉnh nhà .
II. Nội dung thực hiện
Yêu cầu kiến thức
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
• Biện luận số nghiệm phương trình , số giao điểm giữa hai đồ thị .
• Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước .
• Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc .
• Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm .
• Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước .
• Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
• Một số dạng toán liên quan đến đơn điệu , cực trị , giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất
và đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Yêu cầu đối với học sinh
• Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ
thị ba hàm số
3 2 4 2
ax b
y ax bx cx d; y ax bx c; y
cx d
+
= + + + = + + =

1
2
x =
.
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ
0y =
.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3 2
3 0x x m− + =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
9
4
k =
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
( )
: 3 2010d y x= +

( )
2
: 2010
72
x
d y = − +
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1, 4M −
.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - -
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
1
2
: 2010
3
d y x= +
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
( )
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị (C).
4. Tìm m để đường thẳng
( )
2

4. Tìm m để đường thẳng
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất .
5. Tìm m để đường thẳng
( ) ( )
3
: 1d y m x= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 6. Cho hàm số
( ) ( )
2
2 1y x x= - +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đồ thị (C’)
( ) ( )
2 2y x m= − −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
1
3
: 2010
8
d y x= − +
4. Tìm m để đường thẳng
( ) ( )

và tiếp xúc đồ thị (C) .
Bài 8. Cho hàm số
( )
3 2
3 1 2y x m x= − + + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m =
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
4
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :
3 2
3 2 0x x k− − =
.
3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực đại và cực tiểu .
4. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.
5. Tìm tất cả những điểm
( )
M C∈
sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến
(C) .
Bài 9. Cho hàm số
3 2
8 4 16

.
2. Dựa vào đồ thị (C
0
) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :

3
4 3 0x x k− + =
3. Tìm m để họ đồ thị (C
m
) có hai cực trị .
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (C
m
).
5. Tìm quĩ tích cực trị của họ đồ thị (C
m
) .
b. Hàm số trùng phương
( )
0a ≠
Bài 1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C)
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
5
4 2
y = ax + bx + c
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

4 2
1y x x= + +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
21
16
y =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
: 6 2010d y x= +
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
2
1
: 2010
6
d y x= +
.
Bài 4. Cho hàm số

có 4 nghiệm thực phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
: 15 2010d y x= +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường
thẳng
( )
2
8
: 2010
45
d y x= − +
.
5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) .
Bài 6. Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình
4 2
8 4x x m− + =

5. Tìm m để đường thẳng
( )
: 3d y mx= +
cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt .
Bài 8. Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y mx m= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình
4 2
6 0x x k− + =
.
3. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
4
2
3 4
2
x
x− < −
.
4. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
3x =

.
2. Tìm k để phương trình
4 2
8 10 0x x k− + =
có hai nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
: 2 45 1 0d x y+ − =
.
4. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
5. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
8
ax + b
y =
cx +d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
c. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)

−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
9
: 2010
2
d y x= − +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
2
1
: 1
8
d y x= −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
3

d y x= − +
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
2
1
: 2
3
d y mx m= − +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ dương .
Bài 4. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
3. Tìm m để đường thẳng
( )
1
: 2 7d y mx m= − −
cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân
biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .

biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
10
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số
nguyên .
Bài 6. Cho hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường phân giác của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
6
3;
5
M
 
−
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C) .

trên
0;
2
π
 
 
 
.
4. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
10
2;
3
M
 
−
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai
đường tiệm cận của (C) là một hằng số .
Bài 8. Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
−
=
+
(C)

 
.
5. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
( )
2
3
:
2
x
d y
− −
=
.
Bài 9. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi
khoảng cách từ đó đến trục tung .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .
4. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
5. Tìm m để phương trình
sin 2

4. Chứng tỏ giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) .
5. Tìm m để phương trình
2 2
2
x
m
x
−
=
+
có 4 nghiệm phân biệt .
BÀI GIẢI
a. Hàm số bậc ba
( )
0a ≠
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
12
3 2
y = ax + bx + cx + d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
3 2 0x x m− + − =

b) Bảng biến thiên
2
y' 3x 3= −
y' 0 x 1= ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;+∞
,
nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 1= −
,
CÑ
y 4=
, đạt cực tiểu tại
x 1=
,
CT
y 0=
.
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I

x 0 y 2= ⇒ =
:
( )
0;2
+ Giao điểm với Ox:
( ) ( )
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ −
= −



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
( )
U 0;2

< <
, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba
nghiệm.
3. (điểm)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
M 2;4
là
( )
y' 2 9=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
14
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
y 9x 14= −
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
0
1
y

.
5. (điểm)
Điểm thuộc (C) có tung độ
0
y 0=
, có hoành độ
01
x 2= −
hoặc
02
x 1=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;0−
là
( )
y' 2 9− =
.
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là
y 9x 18= +
và
y 0=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
15
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
b. Hàm số trùng phương
( )

= +∞
b) Bảng biến thiên
( )
3 2
y' 4x 4x 4x x 1= − = −
y' 0 x 0= ⇔ =
và
x 1= ±
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )
1;+∞
, nghịch
biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
0;1
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 0
=
,
CÑ
y 0=
, đạt cực tiểu tại

3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
2
y'' 12x 4= −
1
y'' 0 x
3
= ⇔ = ±
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0
1
x
3
= ±
Tọa độ điểm uốn
1,2
1 5
U ;
3 9
 
± −
 ÷
 ÷
 
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 0= ⇒ =
:
( )
0;0

thị (C) của hàm số
4 2
y x 2x= −
và đường thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 1< −
, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô
nghiệm.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
17
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Với
m 1= −
hoặc
m 0>
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương
trình có hai nghiệm.
Với
− < <1 m 0
, (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có
bốn nghiệm.
3. (điểm)
Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
2=x

=y' 2 24
,
( )
− = −y' 2 24
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
và tại
điểm
( )
−2;8
là
= − −y 24x 40
.
5. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 24=
.
Khi đó, ta có:
( )
( )

.
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y = −
.
9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
4=k
.
10.Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x
điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
{ }
= −¡D \ 1
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
•
( )
−

= > ∀ ≠ −
+
2
1
y' 0, x 1
x 1
Bảng biến thiên:
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
x
y’
y
-∞
-1
+∞
2
+
+
+∞
-∞
2
19
ax + b
y =
cx +d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −

7
x
y
1
2
−
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm
( )
−I 1;2
của hai tiệm cận làm tâm đối
xứng.
2. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
=
0
4
y
3
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
 ÷
 
1 4

, có hoành độ
= −
0
3
x
5
,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
− −
 ÷
 
3 1
;
5 2
là
 
− =
 ÷
 
3 5
y'
5 2
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
− −
 ÷
 
3 1

2 2
x 1
= ⇔ + = ± ⇔ = −
+
hoặc
02
3
x
2
= −
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
 
− =
 ÷
 
hoặc
01
3
y 4
2
 
− =
 ÷
 
.

− + + − =
 ÷
 
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1= −
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3
 
∆ = − + = − >
 ÷
 

1
m
9
⇔ ≠
.
Vậy
1
m
9
∀ ≠
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I